Многозначная функция - Multivalued function

Эта диаграмма представляет собой многозначный, но не правильный (однозначный) функция, потому что элемент 3 в Икс связан с двумя элементами, б и c, в Y.

В математика, а многозначная функция, также называемый многофункциональный, многозначная функция, многозначная функция, похож на функция, но может связывать несколько значений с каждым входом. Точнее, многозначная функция из домен $Икс$ к codomain $Y$ ассоциирует каждый $Икс$ в $Икс$ к одному или нескольким значениям $у$ в $Y$ ; Таким образом, это последовательное двоичное отношение.^{[нужна цитата ]} Некоторые авторы допускают, чтобы многозначная функция не имела значения для некоторых входных данных (в этом случае многозначная функция является просто бинарным отношением).^{[нужна цитата ]}

Однако в некоторых контекстах, например в комплексный анализ (Икс = Y = ℂ), авторы предпочитают имитировать теорию функций, поскольку они расширяют концепции обычных (однозначных) функций. В этом контексте обычный функция часто называют однозначная функция чтобы избежать путаницы.

Период, термин многозначная функция возник в результате комплексного анализа, из аналитическое продолжение. Часто бывает так, что человеку известна ценность сложного аналитическая функция ${ displaystyle f (z)}$ в некоторых район точки ${ Displaystyle г = а}$ . Это относится к функциям, определенным теорема о неявной функции или Серия Тейлор вокруг ${ Displaystyle г = а}$ . В такой ситуации можно расширить область определения однозначной функции ${ displaystyle f (z)}$ вдоль кривых в комплексной плоскости, начиная с ${ displaystyle a}$ . При этом обнаруживается, что значение расширенной функции в точке ${ displaystyle z = b}$ зависит от выбранной кривой от ${ displaystyle a}$ к ${ displaystyle b}$ ; поскольку ни одно из новых значений не является более естественным, чем другие, все они включены в многозначную функцию. Например, пусть ${ displaystyle f (z) = { sqrt {z}} ,}$ быть обычным квадратный корень функция от положительных действительных чисел. Можно расширить его область до окрестности ${ displaystyle z = 1}$ в комплексной плоскости, а затем далее по кривым, начинающимся с ${ displaystyle z = 1}$ , так что значения вдоль данной кривой непрерывно изменяются от ${ displaystyle { sqrt {1}} = 1}$ . Продолжая до отрицательных действительных чисел, мы получаем два противоположных значения квадратного корня, например ${ displaystyle { sqrt {-1}} = pm i}$ , в зависимости от того, была ли расширена область через верхнюю или нижнюю половину комплексной плоскости. Это явление очень частое и встречается в $п$ корни, логарифмы, и обратные тригонометрические функции.

Чтобы определить однозначную функцию из сложной многозначной функции, можно выделить одно из нескольких значений как основная стоимость, производящая однозначную функцию на всей плоскости, которая разрывна вдоль некоторых граничных кривых. В качестве альтернативы, работа с многозначной функцией позволяет иметь что-то, что везде непрерывно, за счет возможных изменений значений при следовании замкнутому пути (монодромия ). Эти проблемы решаются в теории Римановы поверхности: рассмотреть многозначную функцию ${ displaystyle f (z)}$ как обычная функция без отбрасывания каких-либо значений, можно умножить область на многоуровневую покрывающее пространство, а многообразие которая является римановой поверхностью, связанной с ${ displaystyle f (z)}$ .

Примеры

Каждый настоящий номер больше нуля имеет два действительных квадратные корни, так что квадратный корень можно рассматривать как многозначную функцию. Например, мы можем написать ${ displaystyle { sqrt {4}} = pm 2 = {2, -2 }}$ ; хотя у нуля есть только один квадратный корень, ${ displaystyle { sqrt {0}} = {0 }}$ .
Каждый ненулевой комплексное число имеет два квадратных корня, три кубические корни, и вообще п пкорни. Единственный пкорень -й корень 0 равен 0.
В комплексный логарифм функция многозначна. Значения, принятые ${ Displaystyle журнал (а + би)}$ для реальных чисел ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ находятся ${ displaystyle log { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i arg (a + bi) +2 pi ni}$ для всех целые числа ${ displaystyle n}$ .
Обратные тригонометрические функции многозначны, поскольку тригонометрические функции периодичны. У нас есть

{ displaystyle tan left ({ textstyle { frac { pi} {4}}} right) = tan left ({ textstyle { frac {5 pi} {4}}} right ) = загар влево ({ textstyle { frac {-3 pi} {4}}} right) = загар влево ({ textstyle { frac {(2n + 1) pi} {4 }}} right) = cdots = 1.}

Как следствие, arctan (1) интуитивно связано с несколькими значениями:

π

/4, 5

π

/4, −3

π

/ 4 и так далее. Мы можем рассматривать arctan как однозначную функцию, ограничивая область определения tan Икс к −

π

/2 < Икс <

π

/2 - домен, над которым загар Икс монотонно возрастает. Таким образом, диапазон arctan (Икс) становится −

π

/2 < у <

π

/2. Эти значения из ограниченного домена называются основные ценности.

В неопределенный интеграл можно рассматривать как многозначную функцию. Неопределенный интеграл функции - это набор функций, производная которых является этой функцией. В постоянная интеграции следует из того, что производная постоянной функции равна 0.
В argmax многозначно, например ${ displaystyle operatorname {argmax} _ {x in mathbb {R}} cos (x) = {2 pi k ; | ; k in mathbb {Z} }}$

Все это примеры многозначных функций, возникающих из не-инъективные функции. Поскольку исходные функции не сохраняют всю информацию своих входов, они не обратимы. Часто ограничение многозначной функции представляет собой частичный обратный исходной функции.

Многозначные функции комплексного переменного имеют точки разветвления. Например, для пфункция корня и логарифма, 0 - точка ветвления; для функции арктангенса мнимые единицы я и -я точки ветвления. Используя точки ветвления, эти функции могут быть переопределены как однозначные, ограничив диапазон. Подходящий интервал можно найти с помощью срезанная ветка, своего рода кривая, соединяющая пары точек ветвления, уменьшая таким образом многослойность Риманова поверхность функции в один слой. Как и в случае с реальными функциями, ограниченный диапазон можно назвать главный филиал функции.

Многозначный анализ

Многозначный анализ изучение декораций в духе математический анализ и общая топология.

Вместо того, чтобы рассматривать совокупности только точек, многозначный анализ рассматривает совокупности множеств. Если набор наборов снабжен топологией или наследует соответствующую топологию от лежащего в основе топологического пространства, то сходимость наборов может быть изучена.

Значительная часть многозначного анализа возникла благодаря изучению математическая экономика и оптимальный контроль, частично как обобщение выпуклый анализ; период, термин "вариационный анализ "используется такими авторами, как Р. Тиррелл Рокафеллар и Роджер Джей Би Мокрый, Джонатан Борвейн и Адриан Льюис, и Борис Мордухович. В теории оптимизации сходимость аппроксимирующих субдифференциалы к субдифференциалу важна для понимания необходимых или достаточных условий для любой точки минимизации.

Существуют многозначные расширения следующих понятий точечного анализа: непрерывность, дифференциация, интеграция,^[1] теорема о неявной функции, сжимающие отображения, теория меры, теоремы о неподвижной точке,^[2] оптимизация, и теория топологической степени.

Уравнения обобщены на включения.

Типы многозначных функций

Можно выделить несколько концепций, обобщающих непрерывность, такой как закрытый график собственность и верхняя и нижняя полунепрерывность^[а]. Существуют также различные обобщения мера многофункциональности.

Приложения

Многофункциональность возникает в теория оптимального управления, особенно дифференциальные включения и связанные предметы как теория игры, где Теорема Какутани о неподвижной точке для мультифункций был применен, чтобы доказать существование Равновесия Нэша (в контексте теории игр многозначную функцию обычно называют переписка). Это среди многих других свойств, слабо связанных с аппроксимируемостью полунепрерывных мультифункций верхней части через непрерывные функции, объясняет, почему полунепрерывность верхней части более предпочтительна, чем полунепрерывность нижней части.

Тем не менее, полунепрерывные нижние мультифункции обычно обладают непрерывным выбором, как указано в Теорема Майкла о выборе, что дает еще одну характеристику паракомпакт пробелы.^[3]^[4] Другие теоремы выбора, такие как непрерывный направленный выбор Брессана-Коломбо, Теорема Куратовского и измеримого выбора Рыль-Нардзевского, Измеримый отбор Аумана и отбор Фрышковского для разложимых отображений важны в оптимальный контроль и теория дифференциальные включения.

В физике многозначные функции играют все более важную роль. Они составляют математическую основу для Дирак с магнитные монополи, по теории дефекты в кристаллах и в результате пластичность материалов, для вихри в сверхтекучие жидкости и сверхпроводники, и для фазовые переходы в этих системах, например таяние и удержание кварка. Они являются источником калибровочное поле структуры во многих областях физики.^{[нужна цитата ]}

Контраст с

Смотрите также

Жирная ссылка, гиперссылка "один ко многим"
Интервальный конечный элемент
Частичная функция

Примечания

^ Некоторые авторы используют термин «полунепрерывный» вместо «полунепрерывный».

дальнейшее чтение

К. Д. Алипрантис и К. К. Бордер, Бесконечномерный анализ. Путеводитель автостопом, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006 г.
Я. Андрес и Л. Горневич, Принципы топологической неподвижной точки для краевых задач, Kluwer Academic Publishers, 2003 г.
Ж.-П. Обен и А. Челлина, Дифференциальные включения, многозначные карты и теория жизнеспособности, Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Берлин, 1984 г.
Ж.-П. Обен и Х. Франковска, Установленный анализ, Биркхойзер, Базель, 1990 г.
К. Даймлинг, Многозначные дифференциальные уравнения., Вальтер де Грюйтер, 1992
Гелету, А. (2006). «Введение в топологические пространства и многозначные карты» (PDF). Конспект лекций. Technische Universität Ilmenau.
Х. Кляйнерт, Многозначные поля в конденсированных средах, электродинамике и гравитации, World Scientific (Сингапур, 2008 г.) (также доступны онлайн )
Х. Кляйнерт, Калибровочные поля в конденсированных средах, Vol. I: Сверхпоток и вихревые линии, 1–742, Vol. II: Напряжения и дефекты, 743–1456, World Scientific, Сингапур, 1989 г. (также доступно в Интернете: Vol. я и Vol. II )
Д. Реповш и П.В. Семенов, Непрерывный выбор многозначных отображений, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 1998 г.
Э. У. Тарафдар и М. С. Р. Чоудхури, Топологические методы многозначного нелинейного анализа, World Scientific, Сингапур, 2008 г.
Mitroi, F.-C .; Никодем, К .; Вонсович, С. (2013). «Неравенства Эрмита-Адамара для выпуклых многозначных функций». Demonstratio Mathematica. 46 (4): 655–662. Дои:10.1515 / dema-2013-0483.

[1] Ауманн, Роберт Дж. (1965). «Интегралы от многозначных функций». Журнал математического анализа и приложений. 12 (1): 1–12. Дои:10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1.

[kakutani-2] Какутани, Шизуо (1941). «Обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке». Математический журнал герцога. 8 (3): 457–459. Дои:10.1215 / S0012-7094-41-00838-4.

[4] Эрнест Майкл (Март 1956 г.). «Непрерывный выбор. I» (PDF). Анналы математики. Вторая серия. 63 (2): 361–382. Дои:10.2307/1969615. HDL:10338.dmlcz / 119700. JSTOR 1969615.

[5] Душан Реповш; П.В. Семенов (2008). «Эрнест Майкл и теория непрерывного отбора». Приложение топологии. 155 (8): 755–763. arXiv:0803.4473. Дои:10.1016 / j.topol.2006.06.011.

[3] Некоторые авторы используют термин «полунепрерывный» вместо «полунепрерывный».

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]