Теорема Куратовского и измеримого выбора Рыль-Нардзевского - Kuratowski and Ryll-Nardzewski measurable selection theorem

В математике Теорема Куратовского – Рылля – Нардзевского об измеримом выборе является результатом теория меры что дает достаточное условие для многофункциональный иметь измеримый функция выбора.^[1][2][3] Назван в честь польских математиков. Казимеж Куратовски и Чеслав Рылль-Нардзевский.

Многие классические результаты отбора следуют из этой теоремы^[4] и он широко используется в математическая экономика и оптимальный контроль.^[5]

Формулировка теоремы

Позволять ${\displaystyle X}$ быть Польское пространство, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ то Борель σ-алгебра из ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle (\Omega ,B)}$ а измеримое пространство и ${\displaystyle \psi }$ многофункциональный на ${\displaystyle \Omega }$ принимает значения в множестве непустых замкнутых подмножеств ${\displaystyle X}$.

Предположим, что ${\displaystyle \psi }$ является ${\displaystyle B}$-слабо измеримым, то есть для каждого открытого множества ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle X}$, у нас есть

${\displaystyle \{\omega :\psi (\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in B.}$

потом ${\displaystyle \psi }$ имеет отбор то есть ${\displaystyle B}$-${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$-измеримый.^[6]

Смотрите также

• Теорема выбора

Рекомендации

1. Алипрантис; Граница (2006). Бесконечномерный анализ. Путеводитель автостопом.
2. Кечрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств. Springer-Verlag. Теорема (12.13) на стр. 76.
3. Шривастава, С. (1998). Курс по борелевским множествам. Springer-Verlag. Разд. 5.2 «Теорема Куратовского и Рылль-Нардзевского».
4. Граф, Зигфрид (1982), «Избранные результаты по измеримым выборкам» (PDF), Материалы 10-й Зимней школы по абстрактному анализу., Circolo Matematico di Palermo
5. Каскалес, Бернардо; Кадец Владимир; Родригес, Хосе (2010). «Измеримость и селекция многофункциональных функций в банаховых пространствах» (PDF). Журнал выпуклого анализа. 17 (1): 229–240. Получено 28 июн 2018.
6. Богачев В. И., "Теория меры" Том II, стр. 36.