Теорема выбора - Selection theorem - Wikipedia

В функциональный анализ, раздел математики, теорема выбора - теорема, гарантирующая существование однозначных функция выбора из заданной многозначной карты. Существуют различные селекционные теоремы, и они важны в теориях дифференциальные включения, оптимальный контроль, и математическая экономика.[1]

Предварительные мероприятия

Учитывая два набора Икс и Y, позволять F быть многозначная карта из Икс и Y. Эквивалентно, это функция от Икс к набор мощности из Y.

Функция считается отбор из F, если

Другими словами, учитывая ввод Икс для которого исходная функция F возвращает несколько значений, новая функция ж возвращает единственное значение. Это частный случай функция выбора.

В аксиома выбора подразумевает, что функция выбора всегда существует; однако часто бывает важно, чтобы выборка имела некоторые «приятные» свойства, например, была непрерывной или измеримой. Именно здесь вступают в силу селекционные теоремы: они гарантируют, что если F удовлетворяет определенным свойствам, тогда у него есть выбор ж который является непрерывным или имеет другие желательные свойства.

Теоремы выбора для многозначных функций

1. В Теорема Майкла о выборе[2] говорит, что следующих условий достаточно для существования непрерывный выбор:

2. Теорема Дойча – Кендерова.[3] обобщает теорему Майкла следующим образом:

  • Икс это паракомпакт Космос;
  • Y это нормированное векторное пространство;
  • F является почти нижняя полунепрерывная, то есть на каждом , для каждого района из существует район из такой, что
  • Для всех Икс в Икс, набор F(Икс) непусто и выпуклый.

Эти условия гарантируют, что имеет непрерывный приблизительный выбор, то есть для каждого района из в есть непрерывная функция так что для каждого , .[3]

В более поздней заметке Сюй доказал, что теорема Дойча – Кендерова также верна, если является локально выпуклым топологическое векторное пространство.[4]

3. Теорема Яннелиса-Прабхакара о выборе[5] говорит, что следующих условий достаточно для существования непрерывный выбор:

4. В Теорема Куратовского и измеримого выбора Рыль-Нардзевского говорит, что следующих условий достаточно для существования измеримый выбор:

  • это Польское пространство и это Борель σ-алгебра;
  • - множество непустых замкнутых подмножеств .
  • а измеримое пространство, и а -слабо измеримая карта (то есть для каждого открытого подмножества у нас есть ).

потом имеет отбор то есть -измеримый.[6]

Смотрите также

Список селекционных теорем

Рекомендации

  1. ^ Граница, Ким С. (1989). Теоремы о неподвижной точке в приложениях к экономике и теории игр. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-26564-9.
  2. ^ Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывный выбор. I». Анналы математики. Вторая серия. 63 (2): 361–382. Дои:10.2307/1969615. HDL:10338.dmlcz / 119700. JSTOR  1969615. МИСТЕР  0077107.
  3. ^ а б Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывный отбор и приблизительный отбор для многозначных отображений и приложений к метрическим проекциям». Журнал СИАМ по математическому анализу. 14 (1): 185–194. Дои:10.1137/0514015.
  4. ^ Сюй, Югуан (декабрь 2001 г.). «Заметка о непрерывной теореме приближенного выбора». Журнал теории приближений. 113 (2): 324–325. Дои:10.1006 / jath.2001.3622.
  5. ^ Яннелис, Николас С .; Прабхакар, Н. Д. (1983-12-01). «Существование максимальных элементов и положений равновесия в линейных топологических пространствах». Журнал математической экономики. 12 (3): 233–245. Дои:10.1016/0304-4068(83)90041-1. ISSN  0304-4068.
  6. ^ Богачев В. И., "Теория меры" Том II, стр. 36.