Геминепрерывность - Hemicontinuity - Wikipedia

В математика, понятие непрерывность из функции не сразу расширяется до многозначные отображения или соответствия между двумя наборами А и B. Двойственные концепции верхняя гемонепрерывность и более низкая геминепрерывность облегчить такое расширение. Соответствие, обладающее обоими свойствами, называется непрерывный по аналогии с одноименным свойством для функций.

Грубо говоря, функция является полунепрерывной сверху, когда (1) сходящаяся последовательность точек в области отображается на последовательность наборов в диапазоне, который (2) содержит другую сходящуюся последовательность, тогда изображение предельной точки в области должно содержать предел последовательности в диапазоне. Нижняя геминепрерывность существенно меняет это положение, говоря, что если последовательность в домене сходится, учитывая точку в диапазоне предела, то вы можете найти подпоследовательность, изображение которой содержит сходящуюся последовательность к данной точке.

Верхняя гемиконтинуальность

Это соответствие всюду полунепрерывно вверху, но не полунепрерывно внизу в Икс: для последовательности точек {Икс_м} что сходится к Икс, у нас есть у (у в f (x)) такая, что никакая последовательность {y_м} сходится к у где каждый у_м в f (x_м).

Соответствие Γ: А → B как говорят верхний полунепрерывный в момент а если для любого открытого района V группы Γ (а) существует окрестность U из а такой, что для всех Икс в U, Γ (Икс) является подмножеством V.

Последовательная характеристика

Для соответствия Γ: А → B с замкнутыми значениями, если Γ: А → B верхняя полунепрерывная на ${\displaystyle a\in A}$ тогда ${\displaystyle \forall a_{n}\in A}$, ${\displaystyle \forall b\in B}$ и ${\displaystyle \forall b_{n}\in \Gamma (a_{n})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }b_{n}=b\implies b\in \Gamma (a)}$

Если B компактно, верно и обратное.

Теорема о замкнутом графике

График соответствия Γ: А → B множество, определяемое ${\displaystyle Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}}$.

Если Γ: А → B является полунепрерывным сверху соответствием с замкнутой областью (т. е. множеством точек а ∈ А где Γ (а) не является пустым множеством замкнутым) и замкнутыми значениями (т.е. Γ (а) закрыто для всех а в А), то Gr (Γ) замкнуто. Если B компактно, то верно и обратное.^[1]

Более низкая геминепрерывность

Это соответствие всюду полунепрерывно снизу, но не полунепрерывно сверху в Икс, потому что граф (множество) не замкнут.

Соответствие Γ: А → B как говорят нижняя полунепрерывная в момент а если для любого открытого набора V пересекающие Γ (а) существует окрестность U из а такое, что Γ (Икс) пересекает V для всех Икс в U. (Здесь V пересекает S означает непустое пересечение ${\displaystyle V\cap S\neq \emptyset }$).

Последовательная характеристика

Γ: А → B нижняя полунепрерывная на а если и только если

${\displaystyle \forall a_{m}\in A,\,a_{m}\rightarrow a,\forall b\in \Gamma (a),\exists a_{m_{k}}}$ последовательность ${\displaystyle a_{m},\,\exists b_{k}\in \Gamma (a_{m_{k}}),\,b_{k}\rightarrow b}$

Теорема открытого графа

Соответствие Γ: А → B имеют открытые нижние секции если набор ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}}$открыт в А для каждого б ∈ B. Если значения Γ - все открытые множества в B, то говорят, что Γ имеет открытые верхние секции.

Если Γ имеет открытый граф Gr(Γ), то Γ имеет открытые верхнее и нижнее сечения, а если Γ имеет открытые нижние сечения, то он полунепрерывен снизу.^[2]

Теорема об открытом графике утверждает, что если Γ: А → P (р^п) - выпуклозначное соответствие с открытыми верхними сечениями, то Γ имеет открытый граф в А × р^п тогда и только тогда, когда Γ полунепрерывна снизу.^[2]

Характеристики

Теоретико-множественные, алгебраические и топологические операции над многозначными отображениями (например, объединение, композиция, сумма, выпуклая оболочка, замыкание) обычно сохраняют тип непрерывности. Но к этому следует подходить с должной осторожностью, поскольку, например, существует пара полунепрерывных снизу соответствий, пересечение которых не является полунепрерывным снизу. Это можно исправить, усилив свойства непрерывности: если одна из этих полунепрерывных снизу мультифункций имеет открытый граф, то их пересечение снова будет полунепрерывным снизу.

Решающее значение для многозначного анализа (с точки зрения приложений) имеет исследование однозначного выбор и приближения к многозначным отображениям. Обычно нижние полунепрерывные соответствия допускают однозначный выбор (Теорема Майкла о выборе, Теорема Брессана – Коломбо о непрерывном выборе по направлениям, Выбор разложимых отображений Фрышковского). Точно так же полунепрерывные сверху отображения допускают приближения (например, теорема Анселя – Гранаса – Горневича – Крышевского).

Последствия для преемственности

Если соответствие одновременно верхнее полунепрерывное и нижнее полунепрерывное, оно называется непрерывным. Непрерывная функция во всех случаях является полунепрерывной как верхней, так и нижней полунепрерывной.

Другие концепции непрерывности

Верхнюю и нижнюю полунепрерывность можно рассматривать как обычную непрерывность:

Γ: А → B ниже [соотв. верхний] полунепрерывно тогда и только тогда, когда отображение Γ: А → P (B) непрерывна, где гиперпространство P (B) был наделен нижним [соотв. верхний] Топология Виеториса.

(Для понятия гиперпространства сравните также набор мощности и функциональное пространство ).

Использование нижнего и верхнего Хаусдорфа единообразие мы также можем определить так называемые верхний и полунепрерывные снизу отображения по Хаусдорфу (также известный как метрически полунепрерывные снизу / верхние карты).

Смотрите также

• Дифференциальное включение
• Расстояние Хаусдорфа
• Многозначная функция - Обобщение функции, которая может производить несколько выходов для каждого входа
• Полунепрерывность

Примечания

1. Предложение 1.4.8 Обен, Жан-Пьер; Франковская, Элен (1990). Установленный анализ. Базель: Биркхойзер. ISBN  3-7643-3478-9.
2. Чжоу, J.X. (август 1995 г.). «О существовании равновесия для абстрактных экономик». Журнал математического анализа и приложений. 193 (3): 839–858. Дои:10.1006 / jmaa.1995.1271.

Рекомендации

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Граница, Ким С. (2007). Бесконечный анализ измерений: автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer. ISBN  978-3-540-32696-0.
• Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения: многозначные карты и теория жизнеспособности. Grundl. der Math. Wiss. 264. Берлин: Springer. ISBN  0-387-13105-1.
• Обен, Жан-Пьер; Франковская, Элен (1990). Установленный анализ. Базель: Биркхойзер. ISBN  3-7643-3478-9.
• Деймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения.. Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-013212-5.
• Мас-Колелл, Андреу; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономический анализ. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 949–951. ISBN  0-19-507340-1.
• Хорошо, Эфе А. (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями. Издательство Принстонского университета. С. 216–226. ISBN  0-691-11768-3.