Анализ вероятностных границ - Probability bounds analysis

Анализ вероятностных границ (PBA) представляет собой набор методов распространения неопределенности для проведения качественных и количественных расчетов с учетом неопределенностей различного рода. Он используется для проецирования частичной информации о случайных величинах и других величинах с помощью математических выражений. Например, он вычисляет надежные границы распределения суммы, произведения или более сложной функции, учитывая только надежные границы распределений входных данных. Такие оценки называются коробки вероятности, и ограничить кумулятивные распределения вероятностей (скорее, чем плотности или массовые функции ).

Эта ограничивающий подход позволяет аналитикам производить расчеты, не требуя чрезмерно точных предположений о значениях параметров, зависимости между переменными или даже форме распределения. Анализ границ вероятности - это, по сути, комбинация методов стандартных интервальный анализ и классический теория вероятности. Анализ границ вероятности дает тот же ответ, что и интервальный анализ, когда доступна только информация о диапазоне. Он также дает те же ответы, что и Моделирование Монте-Карло работает, когда информации достаточно, чтобы точно указать входные распределения и их зависимости. Таким образом, это обобщение как интервального анализа, так и теории вероятностей.

Разнообразные методы, включающие анализ границ вероятности, предоставляют алгоритмы для оценки математических выражений при наличии неопределенности относительно входных значений, их зависимостей или даже формы самого математического выражения. Вычисления дают результаты, которые гарантированно включают все возможные распределения выходной переменной, если входная p-боксы также обязательно приложили соответствующие дистрибутивы. В некоторых случаях рассчитанный p-блок также будет наилучшим из возможных в том смысле, что границы не могут быть более жесткими без исключения некоторых возможных распределений.

P-блоки обычно просто ограничивают возможные распределения. Границы часто также включают распределения, которые сами по себе невозможны. Например, набор вероятностных распределений, которые могут возникнуть в результате добавления случайных значений без предположения о независимости от двух (точных) распределений, обычно является правильным. подмножество всех распределений, заключенных в p-блок, вычисленных для суммы. То есть внутри выходного p-блока есть распределения, которые не могут возникнуть ни при какой зависимости между двумя входными распределениями. Однако выходной p-блок всегда будет содержать все возможные распределения, при условии, что входные p-блоки обязательно включают соответствующие базовые распределения. Этого свойства часто бывает достаточно для использования в анализ риска и другие области, требующие расчетов в условиях неопределенности.

История ограничивающей вероятности

Идея ограничивающей вероятности имеет очень давнюю традицию на протяжении всей истории теории вероятностей. Действительно, в 1854 г. Джордж Буль использовал понятие интервальных границ вероятности в своей Законы мысли.^[1][2] Также датируемый второй половиной XIX века, неравенство приписывается Чебышев описал границы распределения, когда известны только среднее значение и дисперсия переменной, а соответствующие неравенство приписывается Марков нашел границы положительной переменной, когда известно только среднее значение.Кибург^[3] рассмотрел историю интервальных вероятностей и проследил развитие критических идей в течение ХХ века, включая важное понятие несравнимых вероятностей, одобренное Кейнс. Особого внимания заслуживает Фреше вывод в 1930-х годах оценок расчетов, включающих полные вероятности без предположений о зависимости. Граничные вероятности сохраняются и по сей день (например, теория Уолли неточная вероятность.^[4])

Методы анализа границ вероятности, которые можно было бы регулярно использовать при оценке рисков, были разработаны в 1980-х годах. Hailperin^[2] описал вычислительную схему для ограничивающих логических вычислений, расширяющую идеи Буля. Ягер^[5] описал элементарные процедуры, с помощью которых границы извилины можно вычислить в предположении независимости. Примерно в то же время Макаров,^[6] и независимо, Рюшендорф^[7] решил проблему, первоначально поставленную Колмогоров, о том, как найти верхнюю и нижнюю границы для распределения вероятностей суммы случайных величин, маргинальные распределения которых, но не их совместное распределение, известны. Франк и др.^[8] обобщил результат Макарова и выразил его в терминах связки. С того времени формулы и алгоритмы для сумм были обобщены и распространены на разности, произведения, частные и другие бинарные и унарные функции при различных предположениях зависимости.^{[9][10][11][12][13][14]}

Арифметические выражения

Арифметические выражения, включающие такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление, минимумы, максимумы, степени, экспоненты, логарифмы, квадратные корни, абсолютные значения и т. Д., Обычно используются в анализ рисков и моделирование неопределенности. Свертка - это операция нахождения распределения вероятностей суммы независимых случайных величин, заданных распределениями вероятностей. Мы можем расширить этот термин до нахождения распределений других математических функций (продуктов, различий, частных и более сложных функций) и других предположений о взаимозависимостях переменных. Существуют удобные алгоритмы для вычисления этих обобщенных сверток при различных предположениях о зависимостях между входными данными.^{[5][9][10][14]}

Математические детали

Позволять ${\displaystyle \mathbb {D} }$ обозначим пространство функций распределения на действительные числа ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ т.е.

${\displaystyle \mathbb {D} =\{D|D:\mathbb {R} \to [0,1],D(x)\leq D(y){\text{ for all }}x<y\}.}$

П-бокс - это пятерка

${\displaystyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},m,v,\mathbf {F} \right\},}$

где ${\displaystyle {\overline {F}},{\underline {F}}\in \mathbb {D} ,m,v}$ - реальные интервалы, а ${\displaystyle \mathbf {F} \subset \mathbb {D} .}$ Эта пятерка обозначает набор функций распределения ${\displaystyle F\in \mathbf {F} \subset \mathbb {D} }$ такой, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} :\qquad &{\overline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\underline {F}}(x)\\[6pt]&\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\in m&&{\text{expectation condition}}\\&\int _{\mathbb {R} }x^{2}dF(x)-\left(\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\right)^{2}\in v&&{\text{variance condition}}\end{aligned}}}$

Если функция удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям, она называется внутри p-box. В некоторых случаях может отсутствовать информация о моментах или семействе распределения, кроме того, что закодировано в двух функциях распределения, которые составляют края p-блока. Тогда пятерка, представляющая p-блок ${\displaystyle \{B_{1},B_{2},[-\infty ,\infty ],[0,\infty ],\mathbb {D} \}}$ можно обозначить более компактно как [B₁, B₂]. Эта запись похожа на обозначение интервалов на реальной прямой, за исключением того, что конечные точки являются распределениями, а не точками.

Обозначение ${\displaystyle X\sim F}$ обозначает тот факт, что ${\displaystyle X\in \mathbb {R} }$ - случайная величина, управляемая функцией распределения F, это,

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbb {R} \to [0,1]\\x\mapsto \Pr(X\leq x)\end{cases}}}$

Давайте обобщим обозначение тильды для использования с p-блоками. Мы напишем Икс ~ B иметь в виду это Икс случайная величина, функция распределения которой неизвестна, за исключением того, что она находится внутри B. Таким образом, Икс ~ F ∈ B можно свести к X ~ B без явного упоминания функции распределения.

Если Икс и Y независимые случайные величины с распределениями F и г соответственно, то Икс + Y = Z ~ ЧАС данный

${\displaystyle H(z)=\int _{z=x+y}F(x)G(y)dz=\int _{\mathbb {R} }F(x)G(z-x)dx=F*G.}$

Эта операция называется свертка на F и г. Аналогичная операция с p-блоками проста для сумм. Предположим

${\displaystyle X\sim A=[A_{1},A_{2}],\quad {\text{and}}\quad Y\sim B=[B_{1},B_{2}].}$

Если Икс и Y стохастически независимы, то распределение Z = Икс + Y находится внутри p-box

${\displaystyle \left[A_{1}*B_{1},A_{2}*B_{2}\right].}$

Нахождение границ распределения сумм Z = Икс + Y не делая никаких предположений о зависимости между Икс и Y на самом деле проще, чем проблема независимости. Макаров^[6][8][9] показало, что

${\displaystyle Z\sim \left[\sup _{z=x+y}\max(F(x)+G(y)-1,0),\inf _{z=x+y}\min(F(x)+G(y),1)\right]}$

Эти оценки вытекают из Фреше – Хёффдинг связка границы. Проблема также может быть решена с помощью методов математическое программирование.^[13]

Свертка при промежуточном предположении, что Икс и Y имеют положительная зависимость также легко вычислить, как и свертку при крайних предположениях идеальный позитив или идеальный негатив зависимость между Икс и Y.^[14]

Обобщенные свертки для других операций, таких как вычитание, умножение, деление и т. Д., Можно получить с помощью преобразований. Например, вычитание p-блока А − B можно определить как А + (−B), где отрицание p-бокса B = [B₁, B₂] является [B₂(−Икс), B₁(−Икс)].

Логические выражения

Логическое или Логические выражения с привлечением союзы (И операции), дизъюнкции (ИЛИ операций), исключительные дизъюнкции, эквивалентности, условия и т. д. возникают при анализе деревьев отказов и деревьев событий, общих для оценок риска. Если вероятности событий характеризуются интервалами, как предполагает Логический^[1] и Кейнс^[3] среди прочего, эти двоичные операции просто оценить. Например, если вероятность события A находится в интервале P (A) = а = [0,2, 0,25], а вероятность события B находится в P (B) = б = [0,1, 0,3], то вероятность соединение наверняка в интервале

P (A и B) = а × б

= [0.2, 0.25] × [0.1, 0.3]

= [0.2 × 0.1, 0.25 × 0.3]

= [0.02, 0.075]

до тех пор, пока A и B можно считать независимыми событиями. Если они не являются независимыми, мы все же можем оценить конъюнкцию с помощью классического Неравенство Фреше. В этом случае мы можем сделать вывод, по крайней мере, о том, что вероятность совместного события A и B определенно находится в интервале

P (A & B) = env (max (0, а+б−1), мин (а, б))

= env (max (0, [0,2, 0,25] + [0,1, 0,3] −1), min ([0,2, 0,25], [0,1, 0,3]))

= env ([max (0, 0,2 + 0,1–1), max (0, 0,25 + 0,3–1)], [min (0,2,0,1), min (0,25, 0,3)])

= env ([0,0], [0,1, 0,25])

= [0, 0.25]

где env ([Икс₁,Икс₂], [y₁,y₂]) равно [min (Икс₁,y₁), Макс(Икс₂,y₂)]. Точно так же вероятность дизъюнкция наверняка в интервале

P (A v B) = а + б − а × б = 1 − (1 − а) × (1 − б)

= 1 − (1 − [0.2, 0.25]) × (1 − [0.1, 0.3])

= 1 − [0.75, 0.8] × [0.7, 0.9]

= 1 − [0.525, 0.72]

= [0.28, 0.475]

если A и B - независимые события. Если они не независимы, неравенство Фреше ограничивает дизъюнкцию

P (A v B) = env (max (а, б), мин (1, а + б))

= env (max ([0,2, 0,25], [0,1, 0,3]), min (1, [0,2, 0,25] + [0,1, 0,3]))

= env ([0,2, 0,3], [0,3, 0,55])

= [0.2, 0.55].

Также возможно вычислить границы интервала для конъюнкции или дизъюнкции при других предположениях о зависимости между A и B.Например, можно предположить, что они положительно зависимы, и в этом случае результирующий интервал не будет таким узким, как ответ, предполагающий независимость но жестче, чем ответ неравенства Фреше. Сопоставимые вычисления используются для других логических функций, таких как отрицание, исключительная дизъюнкция и т. Д. Когда вычисляемое логическое выражение становится сложным, может потребоваться вычислить его, используя методы математического программирования.^[2] чтобы получить наилучшие оценки выражения. Аналогичная проблема возникает в случае вероятностная логика (см. например Герла 1994). Если вероятности событий характеризуются распределениями вероятностей или p-блоками, а не интервалами, то аналогичные вычисления могут быть выполнены для получения результатов распределения или p-блоков, характеризующих вероятность главного события.

Сравнение величин

Вероятность того, что неопределенное число, представленное p-блоком D меньше нуля - интервал Pr (D < 0) = [F(0), F̅(0)], где F̅(0) - левая граница вероятностного бокса D и F(0) - его правая граница, обе оцениваются как ноль. Затем два неопределенных числа, представленные прямоугольниками вероятности, можно сравнить по числовой величине со следующими кодировками:

А < B = Pr (А − B < 0),

А > B = Pr (B − А < 0),

А ≤ B = Pr (А − B ≤ 0), и

А ≥ B = Pr (B − А ≤ 0).

Таким образом, вероятность того, что А меньше чем B совпадает с вероятностью того, что их разница меньше нуля, и эту вероятность можно сказать, что это значение выражения А < B.

Подобно арифметическим и логическим операциям, эти сравнения величин обычно зависят от стохастической зависимости между А и B, и вычитание в кодировке должно отражать эту зависимость. Если их зависимость неизвестна, разницу можно вычислить без каких-либо предположений с помощью операции Фреше.

Расчет на основе выборки

Некоторые аналитики^{[15][16][17][18][19][20]} использовать подходы на основе выборки для вычисления границ вероятности, в том числе Моделирование Монте-Карло, Латинский гиперкуб методы или выборка по важности. Эти подходы не могут гарантировать математическую строгость результата, потому что такие методы моделирования являются приближениями, хотя их производительность, как правило, можно улучшить, просто увеличив число повторений в моделировании. Таким образом, в отличие от аналитических теорем или методов, основанных на математическом программировании, вычисления на основе выборки обычно не могут дать проверенные вычисления. Однако методы, основанные на выборке, могут быть очень полезны при решении множества проблем, связанных с вычислением. трудно решить аналитически или даже строго связать. Одним из важных примеров является использование выборки с отклонением Коши, чтобы избежать проклятие размерности в распространении интервал неопределенность из-за проблем большой размерности.^[21]

Связь с другими подходами к распространению неопределенности

PBA относится к классу методов, использующих неточные вероятности одновременно представлять алеаторические и эпистемологические неопределенности. PBA - это обобщение обоих интервальный анализ и вероятностный свертка например, что обычно реализуется с Моделирование Монте-Карло. PBA также тесно связана с надежный байесовский анализ, который иногда называют Байесовский анализ чувствительности. PBA - альтернатива моделирование методом Монте-Карло второго порядка.

Приложения

Основная статья: Применение p-блоков и анализа вероятностных границ

П-боксы и анализ границ вероятности были использованы во многих приложениях, охватывающих многие дисциплины в области инженерии и экологии, в том числе:

• Инженерный дизайн^[22]
• Экспертиза^[23]
• Анализ распределения чувствительности видов^[24]
• Анализ чувствительности в аэрокосмическая техника изгибающей нагрузки передней юбки Ариана 5 пусковая установка^[25]
• ODE модели химический реактор динамика^[26][27]
• Фармакокинетический вариабельность вдыхаемых Летучие органические соединения^[28]
• Моделирование подземных вод^[29]
• Граница неудача вероятность для серийных систем^[30]
• Тяжелый металл загрязнение почвы загар металлургический завод Brownfield^[31][32]
• Распространение неопределенности для соленость модели риска^[33]
• Оценка безопасности системы электроснабжения^[34]
• Оценка риска загрязненных земель^[35]
• Инженерные системы для питья очистка воды^[36]
• Вычисление уровни просеивания почвы^[37]
• Анализ рисков для здоровья человека и окружающей среды Агентство по охране окружающей среды США из Печатная плата загрязнение на Housatonic River Суперфонд сайт^[38][39]
• Экологическая оценка для Calcasieu Estuary Сайт суперфонда^[40]
• Аэрокосмическая техника для сверхзвуковое сопло толчок^[41]
• Верификация и валидация в научных вычислениях для инженерных задач^[42]
• Токсичность для мелких млекопитающих окружающей среды Меркурий загрязнение^[43]
• Моделирование времени прохождения загрязнения в грунтовые воды^[44]
• Анализ надежности^[45]
• Вымирающие виды оценка для повторного введения Опоссум Ледбитера^[46]
• Контакт с насекомоядный птицы в сельское хозяйство пестицид^[47]
• Изменение климата прогнозы^[31][48][49]
• Время ожидания в системы массового обслуживания^[50]
• Вымирание анализ рисков для пятнистая сова на Олимпийский полуостров^[51]
• Биозащита против введения инвазивные виды или сельскохозяйственный вредители^[52]
• Заключительный элемент структурный анализ^[53][54][55]
• Оценки затрат^[56]
• Ядерный запас сертификация^[57]
• Гидроразрыв риски для загрязнение воды^[58]

Смотрите также

• Коробка вероятности
• Надежный байесовский анализ
• Неточная вероятность
• Моделирование Монте-Карло второго порядка
• Моделирование Монте-Карло
• Интервальный анализ
• Теория вероятности
• Анализ риска

использованная литература

1. Буль, Джордж (1854). Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей. Лондон: Уолтон и Маберли.
2. Хаильперин, Теодор (1986). Логика и вероятность Буля. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  978-0-444-11037-4.
3. Кибург, Е.П., младший (1999). Интервальные вероятности. Документ SIPTA о неточной вероятности.
4. Уолли, Питер (1991). Статистические рассуждения с неточными вероятностями. Лондон: Чепмен и Холл. ISBN  978-0-412-28660-5.
5. Ягер, Р. Р. (1986). Арифметические и другие операции над структурами Демпстера – Шафера. Международный журнал человеко-машинных исследований 25: 357–366.
6. Макаров, Г.Д. (1981). Оценки функции распределения суммы двух случайных величин при фиксированных маргинальных распределениях. Теория вероятностей и ее приложения 26: 803–806.
7. Рюшендорф, Л. (1982). Случайные величины с максимальными суммами. Достижения в прикладной теории вероятностей 14: 623–632.
8. Франк, М.Дж., Р. Б. Нельсен и Б. Швейцер (1987). Наилучшие оценки для распределения суммы - проблема Колмогорова. Теория вероятностей и смежные области 74: 199–211.
9. Уильямсон Р.С. и Т. Даунс (1990). Вероятностная арифметика I: Численные методы вычисления сверток и границ зависимости. Международный журнал приблизительных рассуждений 4: 89–158.
10. Ферсон, С., В. Крейнович, Л. Гинзбург, Д.С. Майерс, К. Сенц. (2003). Построение ящиков вероятностей и структур Демпстера – Шейфера В архиве 22 июля 2011 г. Wayback Machine. SAND2002-4015. Национальные лаборатории Сандиа, Альбукерке, Нью-Мексико.
11. Берлеант Д. (1993). Автоматически проверенные рассуждения с использованием интервалов и функций плотности вероятности. Интервальные вычисления 1993 (2) : 48–70.
12. Берлеант, Д., Дж. Андерсон и К. Гудман-Штраус (2008). Арифметика для ограниченных семейств распределений: учебник по алгоритму DEnv. Страницы 183–210 в Обработка знаний с интервалом и мягкими вычислениямипод редакцией К. Ху, Р. Б. Кирфотта, А. де Корвина и В. Крейновича, Springer (ISBN  978-1-84800-325-5).
13. Берлеант Д. и К. Гудман-Штраус (1998). Ограничение результатов арифметических операций над случайными величинами неизвестной зависимости с помощью интервалов. Надежные вычисления 4: 147–165.
14. Ферсон, С., Р. Нельсен, Дж. Хаджагос, Д. Берлеант, Дж. Чжан, В.Т. Такер, Л. Гинзбург и В.Л. Оберкампф (2004). Зависимость в вероятностном моделировании, теории Демпстера – Шейфера и анализе вероятностных границ. Sandia National Laboratories, SAND2004-3072, Альбукерке, Нью-Мексико.
15. Альварес, Д. А., 2006. О вычислении границ вероятности событий с использованием бесконечных случайных множеств. Международный журнал приблизительных рассуждений 43: 241–267.
16. Баральди, П., Попеску, И. С., Зио, Э., 2008. Прогнозирование времени до отказа случайно деградирующего компонента с помощью гибридного метода Монте-Карло и возможностного метода. IEEE Proc. Международная конференция по прогнозированию и управлению здоровьем.
17. Батарсе, О. Г., Ван, Ю., 2008. Надежное моделирование с входными неопределенностями с использованием интервального подхода. IEEE Proc. Зимняя симуляционная конференция.
18. Рой, Кристофер Дж. И Майкл С. Балч (2012). Целостный подход к количественной оценке неопределенности применительно к сверхзвуковой тяге сопла. Международный журнал количественной оценки неопределенности 2 (4): 363–81 Дои:10.1615 / Int.J.UncertaintyQuantification.2012003562.
19. Чжан, Х., Маллен, Р. Л., Муханна, Р. Л. (2010). Интервальные методы Монте-Карло для определения надежности конструкций. Структурная безопасность 32: 183–190.
20. Чжан, Х., Дай, Х., Бир, М., Ван, В. (2012). Анализ структурной надежности на основе малых выборок: метод интервального квази-Монте-Карло. Механические системы и обработка сигналов 37 (1–2): 137–51 Дои:10.1016 / j.ymssp.2012.03.001.
21. Трехо, Р., Крейнович, В. (2001). Оценка ошибок для косвенных измерений: рандомизированные и детерминированные алгоритмы для программ «черного ящика». Справочник по рандомизированным вычислениям, С. Раджасекаран, П. Пардалос, Дж. Рейф и Дж. Ролим (ред.), Kluwer, 673–729.
22. Огенбо, Дж. М., и С. Дж. Дж. Паредис (2007). Анализ границ вероятности как общий подход к анализу чувствительности при принятии решений в условиях неопределенности В архиве 2012-03-21 в Wayback Machine. Журнал транзакций легковых автомобилей: механические системы SAE 2007 (раздел 6) 116: 1325–1339, SAE International, Варрендейл, Пенсильвания.
23. Л. Фландер, В. Диксон, М. Макбрайд и М. Бургман. (2012). Облегченная экспертная оценка экологических рисков: сбор и анализ неточных данных. Международный журнал оценки и управления рисками 16: 199–212.
24. Диксон, У.Дж. (2007). Использование анализа границ вероятности для определения и распространения неопределенности в распределениях чувствительности видов. Серия технических отчетов No. 163, Институт экологических исследований имени Артура Райла, Департамент устойчивого развития и окружающей среды. Гейдельберг, Виктория, Австралия.
25. Обергуггенбергер, М., Дж. Кинг и Б. Шмельцер (2007). Неточные вероятностные методы анализа чувствительности в машиностроении. Материалы 5-го Международного симпозиума по неточной вероятности: теории и приложения, Прага, Чехия.
26. Enszer, J.A., Y. Lin, S. Ferson, G.F. Корлисс и М.А.Штадтерр (2011). Анализ вероятностных границ для нелинейных динамических моделей процессов. Журнал Айше 57: 404–422.
27. Энзер, Джошуа Алан, (2010). Подтвержденный анализ вероятностей для динамических нелинейных систем. Диссертация, Университет Нотр-Дам.
28. Нонг, А., и К. Кришнан (2007). Оценка фактора фармакокинетической изменчивости у разных людей для вдыхаемых летучих органических химикатов с использованием вероятностного подхода. Нормативная токсикология и фармакология 48: 93–101.
29. Гийонне, Д., Ф. Бланшар, К. Харпет, И. Менар, Б. Ком и К. Бодри (2005). Projet IREA - Traitement des incertifts en évaluation des risques d'exposition, Приложение B, Cas «Eaux souterraines». Сообщение BRGM / RP-54099-FR, Bureau de Recherches Géologiques et Minières, Франция. В архиве 2012-03-11 в Wayback Machine
30. Фец, Томас; Тонон, Фульвио (2008). «Оценки вероятностей для систем рядов с переменными, ограниченными наборами вероятностных мер». Международный журнал надежности и безопасности. 2 (4): 309. Дои:10.1504 / IJRS.2008.022079.
31. Аугустссон, А., М. Филипссон, Т. Оберг, Б. Бергбек (2011). Изменение климата - фактор неопределенности в анализе риска загрязненных земель. Наука об окружающей среде в целом 409: 4693–4700.
32. Бодри, К., Д. Гийонне, Х. Баруди, С. Денис и П. Бегассат (2005). Оценка воздействия свинца на детей на заброшенном металлургическом заводе: анализ неопределенности. 9-я Международная конференция FZK / TNO по загрязненным почвам - ConSoil2005, Бордо, Франция, страницы 1071–1080.
33. Диксон, У.Дж. (2007). Распространение неопределенности в моделях риска засоления популяции. Технический отчет Серия технических отчетов No. 164, Институт исследования окружающей среды Артура Райла. Гейдельберг, Виктория, Австралия
34. Каранки Д.Р., Х.С. Кушваха, А. Верма и С. Аджит. (2009). Анализ неопределенности на основе подхода вероятностных границ (p-box) в вероятностной оценке безопасности. Анализ риска 29: 662–75.
35. Сандер, П., Б. Бергбек и Т. Эберг (2006). Неопределенные числа и неопределенность в выборе входных распределений - Последствия для вероятностная оценка риска загрязненных земель. Анализ риска 26: 1363–1375.
36. Миннери, Дж. Г., Дж. Дж. Дж. Джаканджело, Л. Боден, Д.Дж. Vorhees и W. Heiger-Bernays (2009). Анализ чувствительности прямого испытания целостности под давлением мембран, используемых при очистке питьевой воды. Экологические науки и технологии 43(24): 9419–9424.
37. Реган, H.M., B.E. Сэмпл и С. Ферсон (2002). Сравнение детерминированного и вероятностного расчета уровней экологического экранирования почв. Экологическая токсикология и химия 21: 882–890.
38. Агентство по охране окружающей среды США (регион I), Сайт GE / Housatonic River в Новой Англии
39. Мур, Дуэйн Р.Дж.; Бретон, Роджер Л .; Делонг, Тод Р .; Ферсон, Скотт; Лорти, Джон П .; Макдональд, Дрю Б.; МакГрат, Ричард; Павлиш, Анджей; Свирский, Susan C .; Тид, Р. Скотт; Томпсон, Райан П .; Уитфилд Ослунд, Мелисса (2016). «Оценка экологического риска норки и короткохвостой землеройки, подверженной воздействию ПХБ, диоксинов и фуранов в районе реки Хаусатоник». Комплексная экологическая оценка и управление. 12 (1): 174–184. Дои:10.1002 / ieam.1661. PMID  25976918.
40. Агентство по охране окружающей среды США (Программа суперфонда региона 6), Лечебное исследование устья Калькасье В архиве 20 января 2011 г. Wayback Machine
41. Рой, С.Дж., и М.С. Балч (2012). Целостный подход к количественной оценке неопределенности применительно к сверхзвуковой тяге сопла. Международный журнал количественной оценки неопределенности 2: 363-381. Дои:10.1615 / Int.J.UncertaintyQuantification.2012003562.
42. Oberkampf, W.L., and C.J. Roy. (2010). Проверка и проверка в научных вычислениях. Издательство Кембриджского университета.
43. Реган, Х.М., Б.К. Надежда и С. Ферсон (2002). Анализ и изображение неопределенности в модели подверженности пищевой сети. Оценка рисков для человека и окружающей среды 8: 1757–1777.
44. Ферсон, С., и У.Т. Такер (2004). Надежность анализа рисков для загрязненных подземных вод. Моделирование качества подземных вод и управление ими в условиях неопределенности, под редакцией С. Мишры, Американское общество инженеров-строителей Рестон, штат Вирджиния.
45. Креспо, Луис Дж .; Кенни, Шон П .; Гизи, Дэниел П. (2013). «Анализ надежности полиномиальных систем с учетом неопределенностей p-box». Механические системы и обработка сигналов. 37 (1–2): 121–136. Bibcode:2013MSSP ... 37..121C. Дои:10.1016 / j.ymssp.2012.08.012.
46. Ферсон С. и М. Бургман (1995). Корреляции, границы зависимости и риски исчезновения. Биологическое сохранение 73: 101–105.
47. Ферсон, С., Д.Р.Дж. Мур, П.Дж. Ван ден Бринк, Т.Л. Эстес, К. Галлахер, Р. О'Коннор и Ф. Вердонк. (2010). Анализ предельной неопределенности. Страницы 89–122 в Применение анализа неопределенности к экологическим рискам, связанным с пестицидамипод редакцией У. Дж. Уоррен-Хикса и А. Харта. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида.
48. Криглер, Э. и Х. Хелд (2005). Использование функций убеждений для оценки будущего изменения климата. Международный журнал приблизительных рассуждений 39: 185–209.
49. Криглер, Э. (2005). Неточный вероятностный анализ для комплексной оценки изменения климата, Кандидат наук. докторская диссертация, Потсдамский университет, Германия.
50. Батарсех, О.Г.Й., (2010). Интервальный подход к моделированию неопределенности входных данных в моделировании дискретных событий. Кандидат наук. докторская диссертация, Университет Центральной Флориды.
51. Гольдвассер, Л., Л. Гинзбург и С. Ферсон (2000). Изменчивость и ошибка измерения при анализе риска исчезновения: северная пятнистая сова на Олимпийском полуострове. Страницы 169–187 в Количественные методы сохранения биологии, под редакцией С. Ферсона и М. Бургмана, Springer-Verlag, Нью-Йорк.
52. Хейс, К. (2011). Неопределенность и методы анализа неопределенности: вопросы количественного и качественного моделирования рисков с применением для импорта оценки рисков проекта ACERA (0705). Номер отчета: EP102467, CSIRO, Хобарт, Австралия.
53. Чжан, Х., Р.Л. Маллен и Р.Л. Муханна (2010). Конечный элементный структурный анализ с использованием неточных вероятностей на основе представления p-box. Материалы 4-го международного семинара по надежным инженерным вычислениям (REC 2010).
54. Чжан, Х., Р. Маллен, Р. Муханна (2012). Структурный анализ безопасности с блоками вероятностей.Международный журнал надежности и безопасности 6: 110–129.
55. Пателли, Э; де Анжелис, М. (2015). «Метод линейной выборки для анализа крайних случаев при наличии случайных и эпистемических неопределенностей». Безопасность и надежность сложных инженерных систем. С. 2585–2593. Дои:10.1201 / b19094-339. ISBN  978-1-138-02879-1.
56. Мель, Кристофер Х. (2013). «П-боксы для анализа неопределенности затрат». Механические системы и обработка сигналов. 37 (1–2): 253–263. Bibcode:2013MSSP ... 37..253M. Дои:10.1016 / j.ymssp.2012.03.014.
57. Сенц, К. и С. Ферсон (2011). Вероятностный ограничивающий анализ при количественной оценке запасов и неопределенностей. Техника надежности и системная безопасность 96: 1126–1136.
58. Розелл, Дэниел Дж. И Шелдон Дж. Ривен (2012). Риск загрязнения воды, связанный с добычей природного газа из сланцев Марцеллус. Анализ риска 32: 1382–1393.

Дальнейшие ссылки

• Бернардини, Альберто; Тонон, Фульвио (2010). Граничная неопределенность в гражданском строительстве: теоретические основы. Берлин: Springer. ISBN  978-3-642-11189-1.
• Ферсон, Скотт (2002). Программное обеспечение RAMAS Risk Calc 4.0: оценка рисков с неопределенными числами. Бока-Ратон, Флорида: Lewis Publishers. ISBN  978-1-56670-576-9.
• Герла, Г. (1994). «Выводы в вероятностной логике». Искусственный интеллект. 70 (1–2): 33–52. Дои:10.1016/0004-3702(94)90102-3.
• Оберкампф, Уильям Л .; Рой, Кристофер Дж. (2010). Проверка и проверка в научных вычислениях. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-11360-1.

внешние ссылки

• Анализ вероятностных границ при оценке экологических рисков
• Интервалы и распределения вероятностей
• Проект эпистемической неопределенности
• Общество неточной вероятности: теории и приложения