Теория массового обслуживания - Queueing theory

Сюда перенаправляется "первым пришел - первым обслужен". Об альбоме Kool Keith см. Первым прибыл - первым обслужен Эквивалент в русском языке: поздний гость гложет и кость.

Сети очередей это системы, в которых отдельные очереди соединены сетью маршрутизации. На этом изображении серверы представлены кружками, очереди - серией прямоугольников, а сеть маршрутизации - стрелками. При изучении сетей очередей обычно пытаются получить равновесное распределение сети, хотя во многих приложениях изучение переходное состояние является фундаментальным.

Теория массового обслуживания математическое исследование очередей, или очереди.^[1] Модель организации очередей построена таким образом, чтобы можно было предсказать длину очереди и время ожидания.^[1] Теория массового обслуживания обычно считается разделом исследование операций потому что результаты часто используются при принятии бизнес-решений о ресурсах, необходимых для предоставления услуги.

Теория массового обслуживания берет свое начало в исследованиях Агнер Краруп Эрланг когда он создавал модели для описания системы компании Copenhagen Telephone Exchange, датской компании.^[1] С тех пор эти идеи нашли применение, в том числе телекоммуникации, транспортная инженерия, вычисление^[2]и особенно в промышленная инженерия, в проектировании заводов, магазинов, офисов и больниц, а также в управлении проектами.^[3][4]

Написание

Написание «в очереди» над «очередью» обычно встречается в области академических исследований. Фактически, один из ведущих профессиональных журналов - это Системы массового обслуживания.

Одиночные узлы очередей

Очередь или узел очередей можно рассматривать как почти черный ящик. Задания или «клиенты» прибывают в очередь, возможно, ждут какое-то время, требуют некоторого времени для обработки и затем удаляются из очереди.

Черный ящик. Работа поступает в очередь и удаляется из нее.

Однако узел организации очереди - это не совсем чистый черный ящик, поскольку необходима некоторая информация о внутренней части узла очереди. Очередь имеет один или несколько «серверов», каждый из которых может быть связан с поступающим заданием до тех пор, пока он не уйдет, после чего этот сервер будет свободен для соединения с другим поступающим заданием.

Узел массового обслуживания с 3 серверами. Сервер а простаивает, и поэтому ему передается поступление на обработку. Сервер б в настоящее время занят, и потребуется некоторое время, прежде чем он сможет завершить выполнение своей работы. Сервер c только что завершил обслуживание работы и, таким образом, будет следующим, кто получит новую работу.

Часто используется аналогия с кассиром в супермаркете. Существуют и другие модели, но эта часто встречается в литературе. Клиенты прибывают, обрабатываются кассиром и уходят. Каждый кассир обрабатывает одного клиента за раз, и, следовательно, это узел очереди только с одним сервером. Настройка, при которой покупатель немедленно уходит, если кассир занят, когда приходит покупатель, называется очередью без буфера (или без «зоны ожидания» или аналогичных терминов). Обстановка с зоной ожидания на срок до п клиентов называется очередью с размером буфера п.

Процесс рождения-смерти

Поведение отдельной очереди (также называемой «узлом очереди») может быть описано с помощью процесс рождения – смерти, который описывает поступления и выбывания из очереди, а также количество заданий (также называемых «клиентами» или «запросами» или любое количество других вещей, в зависимости от поля), находящихся в настоящее время в системе. Прибытие увеличивает количество вакансий на 1, а отъезд (работа, завершающая свою услугу) уменьшается. k Автор: 1.

Процесс рождения – смерти. Значения в кружках представляют состояние процесса рождения-смерти. Для системы массового обслуживания k - количество заданий в системе (обслуживаемых или ожидающих, если в очереди есть буфер ожидающих заданий). Система переходит между значениями k "рождениями" и "смертями", которые происходят со скоростью, определяемой различными значениями λ_я и μ_я, соответственно. Кроме того, для очереди, как правило, считается, что скорости поступления и отправления не зависят от количества заданий в очереди, поэтому предполагается единая средняя скорость поступления / ухода за единицу времени в очереди. Согласно этому предположению, этот процесс имеет скорость поступления λ = λ₁, λ₂, ..., λ_k и скорость вылета μ = μ₁, μ₂, ..., μ_k (см. следующий рисунок).

Очередь с 1 сервером, скорость прибытия λ и скорость вылета μ.

Уравнения баланса

В устойчивое состояние уравнения для процесса рождения и смерти, известного как уравнения баланса, являются следующими. Здесь ${\displaystyle P_{n}}$ обозначает вероятность устойчивого состояния быть в состоянии п.

${\displaystyle \mu _{1}P_{1}=\lambda _{0}P_{0}}$

${\displaystyle \lambda _{0}P_{0}+\mu _{2}P_{2}=(\lambda _{1}+\mu _{1})P_{1}}$

${\displaystyle \lambda _{n-1}P_{n-1}+\mu _{n+1}P_{n+1}=(\lambda _{n}+\mu _{n})P_{n}}$

Первые два уравнения подразумевают

${\displaystyle P_{1}={\frac {\lambda _{0}}{\mu _{1}}}P_{0}}$

и

${\displaystyle P_{2}={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}+{\frac {1}{\mu _{2}}}(\mu _{1}P_{1}-\lambda _{0}P_{0})={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}={\frac {\lambda _{1}\lambda _{0}}{\mu _{2}\mu _{1}}}P_{0}.}$

По математической индукции

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda _{n-1}\lambda _{n-2}\cdots \lambda _{0}}{\mu _{n}\mu _{n-1}\cdots \mu _{1}}}P_{0}=P_{0}\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}.}$

Условие ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=P_{0}+P_{0}\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}=1}$ приводит к:

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{1+\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}},}$

что вместе с уравнением для ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (n\geq 1)}$, полностью описывает требуемые вероятности установившегося состояния.

Обозначения Кендалла

Одиночные узлы очередей обычно описываются с помощью Обозначения Кендалла в виде A / S /c куда А описывает распределение продолжительности между каждым поступлением в очередь, S распределение времени обслуживания для рабочих мест и c количество серверов в узле.^[5][6] В качестве примера обозначений M / M / 1 очередь это простая модель, в которой один сервер обслуживает задания, поступающие в соответствии с Пуассоновский процесс (где продолжительность между прибытием экспоненциально распределенный ) и имеют экспоненциально распределенное время обслуживания (M обозначает Марковский процесс ). В Очередь M / G / 1, G означает «общий» и указывает на произвольный распределение вероятностей на время обслуживания.

Пример анализа очереди M / M / 1

Рассмотрим очередь с одним сервером и следующими характеристиками:

• λ: частота прибытия (ожидаемое время между прибытием каждого клиента, например, 30 секунд);
• μ: величина, обратная среднему времени обслуживания (ожидаемое количество последовательных завершений обслуживания за одно и то же время, например, за 30 секунд);
• п: параметр, характеризующий количество клиентов в системе;
• п_п: вероятность присутствия п клиенты в системе в устойчивом состоянии.

Далее, пусть E_п представляют количество раз, когда система входит в состояние п, и L_п представляют количество раз, когда система выходит из состояния п. Тогда для всех п, |E_п − L_п| ∈ {0, 1}. То есть количество раз, когда система покидает состояние, отличается не более чем на 1 от количества раз, когда она входит в это состояние, поскольку она либо вернется в это состояние в какой-то момент в будущем (E_п = L_п) или нет (|E_п − L_п| = 1).

Когда система переходит в установившееся состояние, скорость прибытия должна быть равна скорости отправления.

Таким образом, уравнения баланса

${\displaystyle \mu P_{1}=\lambda P_{0}}$

${\displaystyle \lambda P_{0}+\mu P_{2}=(\lambda +\mu )P_{1}}$

${\displaystyle \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_{n}}$

подразумевать

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda }{\mu }}P_{n-1},\ n=1,2,\ldots }$

Дело в том, что ${\displaystyle P_{0}+P_{1}+\cdots =1}$ приводит к геометрическое распределение формула

${\displaystyle P_{n}=(1-\rho )\rho ^{n}}$

куда ${\displaystyle \rho ={\frac {\lambda }{\mu }}<1.}$

Простая очередь с двумя уравнениями

Распространенная базовая система очередей относится к Erlang, и является модификацией Закон Литтла. Учитывая скорость прибытия λ, процент отсева σ, и скорость вылета μ, длина очереди L определяется как:

${\displaystyle L={\frac {\lambda -\sigma }{\mu }}.}$

Предполагая экспоненциальное распределение ставок, время ожидания W можно определить как долю обслуженных прибывших. Это равно экспоненциальной выживаемости тех, кто не бросает учебу в течение периода ожидания, что дает:

${\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}=e^{-W{\mu }}}$

Второе уравнение обычно переписывается как:

${\displaystyle W={\frac {1}{\mu }}\mathrm {ln} {\frac {\lambda }{\mu }}}$

Двухэтапная модель одного блока широко распространена в эпидемиологии.^[7]

Обзор развития теории

В 1909 г. Агнер Краруп Эрланг, датский инженер, работавший в Копенгагенской телефонной станции, опубликовал первую статью о том, что теперь будет называться теорией очередей.^[8][9][10] Он смоделировал количество телефонных звонков, поступающих на АТС, с помощью Пуассоновский процесс и решил Очередь M / D / 1 в 1917 г. и M / D /k в очереди модель 1920 года.^[11] В обозначениях Кендалла:

• M означает марковский или без памяти и означает, что прибытие происходит в соответствии с процессом Пуассона;
• D означает детерминированный и означает задания, поступающие в очередь, которые требуют фиксированного объема обслуживания;
• k описывает количество серверов в узле очередности (k = 1, 2, ...).

Если на узле больше заданий, чем серверов, то задания будут стоять в очереди и ждать обслуживания.

Очередь M / G / 1 решена Феликс Поллачек в 1930 г.^[12] решение позже преобразовано в вероятностные термины Александр Хинчин и теперь известный как Формула Поллачека – Хинчина.^[11][13]

После 1940-х годов теория массового обслуживания стала предметом исследовательского интереса математиков.^[13] В 1953 г. Дэвид Джордж Кендалл решил GI / M /k очередь^[14] и ввел современное обозначение очередей, теперь известное как Обозначения Кендалла. В 1957 году Поллачек изучил GI / G / 1, используя интегральное уравнение.^[15] Джон Кингман дал формулу для среднее время ожидания в Очередь G / G / 1: Формула Кингмана.^[16]

Леонард Клейнрок работал над применением теории массового обслуживания к переключение сообщений (в начале 1960-х) и коммутация пакетов (в начале 1970-х). Первым его вкладом в эту область была докторская диссертация в Массачусетский Институт Технологий в 1962 г., опубликована в виде книги в 1964 г. в области коммутации сообщений. Его теоретическая работа, опубликованная в начале 1970-х годов, послужила основой для использования коммутации пакетов в ARPANET, предшественник Интернета.

В матричный геометрический метод и матричные аналитические методы разрешили очереди с фазовый распределенный Следует учитывать распределение времени между прибытиями и обслуживания.^[17]

Системы со связанными орбитами являются важной частью теории массового обслуживания в приложениях к беспроводным сетям и обработке сигналов. ^[18]

Такие проблемы, как показатели производительности для M / G /k очередь остаются открытой проблемой.^[11][13]

Сервисные дисциплины

Пример очереди «первым пришел - первым обслужен» (FIFO).

На узлах очередей могут использоваться различные политики планирования:

Первым пришел-первым вышел

Также называемый первым прибыл - первым обслужен Эквивалент в русском языке: поздний гость гложет и кость (FCFS),^[19] этот принцип гласит, что клиенты обслуживаются по одному и что клиент, который ждал дольше всего, обслуживается первым.^[20]

Последний пришел - первый ушел

Этот принцип также обслуживает клиентов по одному, но клиент с самым коротким время ожидания будут обслуживаться в первую очередь.^[20] Также известен как куча.

Совместное использование процессора

Объем услуг распределяется между клиентами поровну.^[20]

Приоритет

В первую очередь обслуживаются клиенты с высоким приоритетом.^[20] Очереди с приоритетом могут быть двух типов: без вытеснения (когда обслуживаемое задание не может быть прервано) и с вытеснением (где обслуживаемое задание может быть прервано заданием с более высоким приоритетом). Никакая работа не теряется ни в одной из моделей.^[21]

Сначала самая короткая работа

Следующая работа, которую нужно обслужить, - это работа с наименьшим размером

Первоочередное кратчайшее задание

Следующее задание, которое нужно обслужить, - это задание с исходным наименьшим размером.^[22]

Наименьшее оставшееся время обработки

Следующее задание - это задание с наименьшими оставшимися требованиями к обработке.^[23]

Сервисный центр

• Единый сервер: клиенты выстраиваются в очередь, и есть только один сервер
• Несколько параллельных серверов - Единая очередь: клиенты выстраиваются в очередь, есть несколько серверов.
• Несколько серверов - несколько очередей: есть много счетчиков, и клиенты могут решать, куда идти в очередь.

Ненадежный сервер

Сбои сервера происходят в соответствии со стохастическим процессом (обычно Пуассоном) и сопровождаются периодами настройки, в течение которых сервер недоступен. Прерванный клиент остается в зоне обслуживания до тех пор, пока сервер не будет отремонтирован.^[24]

Ожидание клиента

• Отказ: клиенты решают не вставать в очередь, если она слишком длинная
• Жульничество: клиенты переключаются между очередями, если думают, что благодаря этому их обслужат быстрее
• Возврат: клиенты покидают очередь, если они слишком долго ждали обслуживания

Необслуживаемые прибывающие клиенты (либо из-за того, что очередь не имеет буфера, либо из-за отказа или отказа клиента) также известны как отсевы, а средняя частота отсева является важным параметром, описывающим очередь.

Сети массового обслуживания

Сети очередей - это системы, в которых несколько очередей связаны так называемой маршрутизацией клиентов. Когда клиент обслуживается на одном узле, он может присоединиться к другому узлу и встать в очередь на обслуживание или покинуть сеть.

Для сетей м узлов, состояние системы можно описать м–Мерный вектор (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_м) куда Икс_я представляет количество клиентов на каждом узле.

Простейшая нетривиальная сеть очередей называется тандемные очереди.^[25] Первые значительные результаты в этой области были Сети Джексона,^[26][27] для чего эффективный стационарное распределение продуктовой формы существует и анализ среднего значения^[28] который позволяет вычислять средние показатели, такие как пропускная способность и время пребывания.^[29] Если общее количество клиентов в сети остается постоянным, сеть называется закрытой, и было показано, что она имеет стационарное распределение в форме продукта в Теорема Гордона – Ньюэлла.^[30] Этот результат был распространен на Сеть BCMP^[31] где показано, что сеть с очень общим временем обслуживания, режимами и маршрутизацией клиентов также демонстрирует стационарное распределение в форме продукта. В нормализующая константа можно рассчитать с помощью Алгоритм Бузена, предложенный в 1973 г.^[32]

Также были исследованы сети клиентов, Сети Келли где клиенты разных классов имеют разные уровни приоритета на разных узлах обслуживания.^[33] Другой тип сети - это G-сети впервые предложено Эрол Геленбе в 1993 г ​​.:^[34] эти сети не предполагают экспоненциального распределения времени, как классическая сеть Джексона.

Алгоритмы маршрутизации

В сетях с дискретным временем, где существует ограничение на то, какие узлы обслуживания могут быть активными в любое время, алгоритм планирования с максимальным весом выбирает политику обслуживания, чтобы обеспечить оптимальную пропускную способность в случае, если каждое задание посещает только одного человека. ^[19] сервисный узел. В более общем случае, когда задания могут посещать более одного узла, маршрутизация противодавления дает оптимальную пропускную способность. А сетевой планировщик должен выбрать алгоритм очередности, что влияет на характеристики более крупной сети^{[нужна цитата ]}. Смотрите также Стохастическое планирование для получения дополнительной информации о диспетчеризации систем массового обслуживания.

Пределы среднего поля

Модели среднего поля рассмотреть предельное поведение эмпирическая мера (доля очередей в разных состояниях) как количество очередей (м выше) уходит в бесконечность. Воздействие других очередей на любую данную очередь в сети аппроксимируется дифференциальным уравнением. Детерминированная модель сходится к тому же стационарному распределению, что и исходная модель.^[35]

Приближение интенсивного движения / диффузии

Основная статья: Приближение интенсивного движения

В системе с высокой степенью занятости (загрузка около 1) приближение интенсивного трафика может использоваться для аппроксимации процесса длины очереди с помощью отраженное броуновское движение,^[36] Процесс Орнштейна – Уленбека, или более общий диффузионный процесс.^[37] Число измерений броуновского процесса равно числу узлов очереди, при этом распространение ограничено неотрицательными ортодоксальный.

Пределы жидкости

Основная статья: Предел жидкости

Жидкостные модели - это непрерывные детерминированные аналоги сетей массового обслуживания, полученные путем принятия предела, когда процесс масштабируется во времени и пространстве, что позволяет использовать неоднородные объекты. Эта масштабированная траектория сходится к детерминированному уравнению, которое позволяет доказать устойчивость системы. Известно, что сеть массового обслуживания может быть стабильной, но иметь нестабильный предел текучей среды.^[38]

Смотрите также

• Модель Эренфеста
• Единица Эрланга
• Сетевое моделирование
• Управление производством проекта
• Зона очереди
• Задержка в очереди
• Система управления очередью
• Практическое правило организации очереди
• Случайное раннее обнаружение
• Теория обновления
• Пропускная способность
• Планирование (вычисление)
• Пробка
• Модель генерации трафика
• Поточная сеть

Рекомендации

1. Сундарапандиан, В. (2009). «7. Теория массового обслуживания». Вероятность, статистика и теория массового обслуживания. PHI Learning. ISBN  978-8120338449.
2. Лоуренс В. Дауди, Вирджилио А.Ф. Алмейда, Даниэль А. Менассе. «Производительность по дизайну: планирование мощности компьютера на примере».
3. Шлехтер, Кира (2 марта 2009 г.). «Медицинский центр Херши откроет переделанное отделение неотложной помощи». Патриот-Новости.
4. Мэйхью, Лес; Смит, Дэвид (декабрь 2006 г.). Использование теории очередей для анализа времени завершения работ в отделениях неотложной помощи и неотложной помощи в свете 4-часовой цели правительства. Бизнес-школа Касс. ISBN  978-1-905752-06-5. Получено 2008-05-20.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
5. Теймс, Х.С., Алгоритмический анализ очередей », глава 9 в« Первом курсе стохастических моделей », Wiley, Chichester, 2003 г.
6. Кендалл, Д. (1953). «Случайные процессы, происходящие в теории очередей и их анализ методом вложенной цепи Маркова». Анналы математической статистики. 24 (3): 338–354. Дои:10.1214 / aoms / 1177728975. JSTOR  2236285.
7. Эрнандес-Суарес, Карлос (2010). «Применение теории очередей к моделям эпидемий SIS и SEIS». Математика. Biosci. 7 (4): 809–823. Дои:10.3934 / mbe.2010.7.809. PMID  21077709.
8. "Агнер Краруп Эрланг (1878-1929) | plus.maths.org". Pass.maths.org.uk. 1997-04-30. Получено 2013-04-22.
9. Asmussen, S. R .; Боксма, О. (2009). «От редакции». Системы массового обслуживания. 63 (1–4): 1–2. Дои:10.1007 / s11134-009-9151-8. S2CID  45664707.
10. Эрланг, Агнер Краруп (1909). «Теория вероятностей и телефонные разговоры» (PDF). Ныт Тидсскрифт для Matematik B. 20: 33–39. Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-10-01.
11. Кингман, Дж. Ф. С. (2009). «Первый век Эрланга - и следующий». Системы массового обслуживания. 63 (1–4): 3–4. Дои:10.1007 / s11134-009-9147-4. S2CID  38588726.
12. Pollaczek, F., Ueber eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie, Math. З. 1930 г.
13. Уиттл, П. (2002). «Прикладная теория вероятностей в Великобритании». Исследование операций. 50 (1): 227–239. Дои:10.1287 / opre.50.1.227.17792. JSTOR  3088474.
14. Кендалл Д.Г. Стохастические процессы, происходящие в теории очередей, и их анализ методом вложенной цепи Маркова, Ann. Математика. Стат. 1953 г.
15. Поллачек, Ф., Problèmes Stochastiques posés par le phénomène de education d'une queue
16. Кингман, Дж. Ф. С.; Атья (октябрь 1961 г.). «Единая очередь сервера в условиях интенсивного трафика». Математические труды Кембриджского философского общества. 57 (4): 902. Дои:10.1017 / S0305004100036094. JSTOR  2984229.
17. Рамасвами, В. (1988). «Стабильная рекурсия для вектора установившегося состояния в марковских цепях типа m / g / 1». Коммуникации в статистике. Стохастические модели. 4: 183–188. Дои:10.1080/15326348808807077.
18. Морозов Э. (2017). «Анализ устойчивости многоклассовой повторной системы со связанными орбитальными очередями». Материалы 14-го Европейского семинара. 17: 73–90. Дои:10.1007/978-3-319-66583-2-6 (неактивно 07.11.2020).
19. Мануэль, Лагуна (2011). Моделирование бизнес-процессов, симуляция и дизайн. Pearson Education India. п. 178. ISBN  9788131761359. Получено 6 октября 2017.
20. Пенттинен А., Глава 8 - Системы массового обслуживания, Конспект: S-38.145 - Введение в теорию телетрафика.
21. Харчол-Балтер, М. (2012). «Планирование: не вытесняющие, основанные на размере политики». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем. С. 499–507. Дои:10.1017 / CBO9781139226424.039. ISBN  9781139226424.
22. Харчол-Балтер, М. (2012). «Планирование: упреждающие, основанные на размере политики». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем. С. 508–517. Дои:10.1017 / CBO9781139226424.040. ISBN  9781139226424.
23. Харчол-Балтер, М. (2012). «Планирование: SRPT и справедливость». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем. С. 518–530. Дои:10.1017 / CBO9781139226424.041. ISBN  9781139226424.
24. Димитриу, И. (2019). «Мультиклассовая повторная система со связанными орбитами и перерывами в обслуживании: проверка условий стабильности». Работа FRUCT 24. 7: 75–82.
25. http://www.stats.ox.ac.uk/~winkel/bs3a07l13-14.pdf#page=4
26. Джексон, Дж. Р. (1957). «Сети очередей». Исследование операций. 5 (4): 518–521. Дои:10.1287 / opre.5.4.518. JSTOR  167249.
27. Джексон, Джеймс Р. (октябрь 1963 г.). «Системы массового обслуживания, похожие на рабочие места». Наука управления. 10 (1): 131–142. Дои:10.1287 / mnsc.1040.0268. JSTOR  2627213.
28. Reiser, M .; Лавенберг, С. С. (1980). "Анализ среднего значения закрытых многоцепочечных сетей массового обслуживания". Журнал ACM. 27 (2): 313. Дои:10.1145/322186.322195. S2CID  8694947.
29. Ван Дейк, Н. М. (1993). «О теореме прихода для сетей связи». Компьютерные сети и системы ISDN. 25 (10): 1135–2013. Дои:10.1016 / 0169-7552 (93) 90073-D.
30. Гордон, В. Дж .; Ньюэлл, Г.Ф. (1967). «Замкнутые системы массового обслуживания с экспоненциальными серверами». Исследование операций. 15 (2): 254. Дои:10.1287 / opre.15.2.254. JSTOR  168557.
31. Baskett, F .; Чанди, К. Мани; Muntz, R.R .; Паласиос, Ф. (1975). «Открытые, закрытые и смешанные сети очередей с разными классами заявок». Журнал ACM. 22 (2): 248–260. Дои:10.1145/321879.321887. S2CID  15204199.
32. Бузен, Дж. П. (1973). «Вычислительные алгоритмы для замкнутых сетей массового обслуживания с экспоненциальными серверами» (PDF). Коммуникации ACM. 16 (9): 527–531. Дои:10.1145/362342.362345. S2CID  10702.
33. Келли, Ф. (1975). «Сети очередей с разными типами клиентов». Журнал прикладной теории вероятностей. 12 (3): 542–554. Дои:10.2307/3212869. JSTOR  3212869.
34. Геленбе, Эрол (Сентябрь 1993 г.). «G-сети с инициированным движением клиентов». Журнал прикладной теории вероятностей. 30 (3): 742–748. Дои:10.2307/3214781. JSTOR  3214781.
35. Боббио, А .; Gribaudo, M .; Телек, М. С. (2008). «Анализ крупномасштабных взаимодействующих систем методом среднего поля». 2008 Пятая Международная конференция по количественной оценке систем. п. 215. Дои:10.1109 / QEST.2008.47. ISBN  978-0-7695-3360-5. S2CID  2714909.
36. Chen, H .; Уитт, В. (1993). «Диффузионные приближения для открытых сетей массового обслуживания с перерывами в обслуживании». Системы массового обслуживания. 13 (4): 335. Дои:10.1007 / BF01149260. S2CID  1180930.
37. Ямада, К. (1995). «Диффузионное приближение для открытых сетей массового обслуживания, зависящих от состояния в условиях интенсивного трафика». Анналы прикладной теории вероятностей. 5 (4): 958–982. Дои:10.1214 / aoap / 1177004602. JSTOR  2245101.
38. Брамсон, М. (1999). «Устойчивая сеть массового обслуживания с нестабильной жидкостной моделью». Анналы прикладной теории вероятностей. 9 (3): 818–853. Дои:10.1214 / aoap / 1029962815. JSTOR  2667284.

дальнейшее чтение

• Гросс, Дональд; Карл М. Харрис (1998). Основы теории массового обслуживания. Вайли. ISBN  978-0-471-32812-4. В сети
• Цукерман, Моше. Введение в теорию массового обслуживания и стохастические модели телетрафика (PDF).
• Дейтель, Харви М. (1984) [1982]. Введение в операционные системы (пересмотренное первое издание). Эддисон-Уэсли. п.673. ISBN  978-0-201-14502-1. глава 15, стр. 380–412
• Ньюэлл, Гордрон Ф. (1 июня 1971 г.). Приложения теории массового обслуживания. Чепмен и Холл.
• Леонард Клейнрок, Информационный поток в больших коммуникационных сетях, (Массачусетский технологический институт, Кембридж, 31 мая 1961 г.) Предложение о приеме на степень доктора философии. Тезис
• Леонард Клейнрок. Информационный поток в больших коммуникационных сетях(Ежеквартальный отчет RLE, июль 1961 г.)
• Леонард Клейнрок. Сети связи: стохастический поток сообщений и задержка(Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1964)
• Клейнрок, Леонард (2 января 1975 г.). Системы массового обслуживания: Том I - Теория. Нью-Йорк: Wiley Interscience. стр.417. ISBN  978-0471491101.
• Клейнрок, Леонард (22 апреля 1976 г.). Системы массового обслуживания: Том II - Компьютерные приложения. Нью-Йорк: Wiley Interscience. стр.576. ISBN  978-0471491118.
• Lazowska, Edward D .; Джон Захоржан; Г. Скотт Грэм; Кеннет С. Севчик (1984). Количественная производительность системы: анализ компьютерной системы с использованием моделей сетей массового обслуживания. Prentice-Hall, Inc. ISBN  978-0-13-746975-8.

внешняя ссылка

• Калькулятор теории массового обслуживания
• Учебное пособие и калькуляторы Teknomo по теории массового обслуживания
• Имитация аварийной эвакуации при пожаре в офисе на YouTube
• Курс Virtamo по теории массового обслуживания
• Страница теории массового обслуживания Майрона Хлынки
• Основы теории массового обслуживания
• Бесплатный онлайн-инструмент для решения некоторых классических систем массового обслуживания
• JMT: графическая среда с открытым исходным кодом для теории массового обслуживания
• LINE: универсальный движок для решения моделей очередей
• Что вы больше всего ненавидите в ожидании в очереди: (Дело не в продолжительности ожидания.), Сет Стивенсон, Шифер, 2012 - популярное введение