Процесс Орнштейна – Уленбека - Ornstein–Uhlenbeck process

Не путать с Оператор Орнштейна – Уленбека.

Моделирование с θ = 1.0, σ = 3 и μ = (0, 0). Изначально в положении (10, 10) частица стремится переместиться в центральную точку μ.

3D-моделирование с θ = 1.0, σ = 3, μ = (0, 0, 0) и начальное положение (10, 10, 10).

В математике Процесс Орнштейна – Уленбека это случайный процесс с приложениями в финансовой математике и физических науках. Его первоначальное применение в физике было в качестве модели скорости массивного Броуновская частица под действием трения. Он назван в честь Леонард Орнштейн и Джордж Юджин Уленбек.

Процесс Орнштейна – Уленбека - это стационарный Процесс Гаусса – Маркова, что означает, что это Гауссовский процесс, а Марковский процесс, и однородна во времени. Фактически, это единственный нетривиальный процесс, который удовлетворяет этим трем условиям, вплоть до разрешения линейных преобразований пространственных и временных переменных.^[1] Со временем процесс стремится к своей средней функции: такой процесс называется средний возврат.

Процесс можно рассматривать как модификацию случайная прогулка в непрерывное время, или же Винеровский процесс, в котором свойства процесса были изменены, так что есть тенденция движения ходьбы назад к центральному месту, с большей привлекательностью, когда процесс находится дальше от центра. Процесс Орнштейна – Уленбека также можно рассматривать как непрерывное время аналог дискретное время AR (1) процесс.

Определение

Процесс Орнштейна – Уленбека ${\displaystyle x_{t}}$ определяется следующим стохастическое дифференциальное уравнение:

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

куда ${\displaystyle \theta >0}$ и ${\displaystyle \sigma >0}$ параметры и ${\displaystyle W_{t}}$ обозначает Винеровский процесс.^[2][3][4]

Иногда добавляется дополнительный термин дрейфа:

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

куда ${\displaystyle \mu }$ является константой. В финансовой математике это также известно как Модель Васичека.^[5]

Процесс Орнштейна – Уленбека иногда также записывают как Уравнение Ланжевена формы

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

куда ${\displaystyle \eta (t)}$, также известный как белый шум, заменяет предполагаемую производную ${\displaystyle dW_{t}/dt}$ винеровского процесса.^[6] Тем не мение, ${\displaystyle dW_{t}/dt}$ не существует, потому что винеровский процесс нигде не дифференцируем, и поэтому уравнение Ланжевена, строго говоря, является только эвристическим.^[7] В физике и инженерных дисциплинах это обычное представление для процесса Орнштейна – Уленбека и аналогичных стохастических дифференциальных уравнений путем неявного предположения, что шумовой член является производной дифференцируемой (например, Фурье) интерполяции винеровского процесса.

Представление уравнения Фоккера – Планка.

Процесс Орнштейна – Уленбека также можно описать с помощью функции плотности вероятности: ${\displaystyle P(x,t)}$, задающий вероятность нахождения процесса в состоянии ${\displaystyle x}$ вовремя ${\displaystyle t}$.^[8] Эта функция удовлетворяет Уравнение Фоккера – Планка

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

куда ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$. Это линейный параболическое уравнение в частных производных которые можно решить с помощью различных методов. Вероятность перехода ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ гауссиан со средним ${\displaystyle x'e^{-\theta (t-t')}}$ и дисперсия ${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t')}\right)}$:

${\displaystyle P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]}$

Это дает вероятность состояния ${\displaystyle x}$ происходит во время ${\displaystyle t}$ данное начальное состояние ${\displaystyle x'}$ вовремя ${\displaystyle t'<t}$. Эквивалентно, ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ является решением уравнения Фоккера-Планка с начальным условием ${\displaystyle P(x,t')=\delta (x-x')}$.

Математические свойства

Предполагая ${\displaystyle x_{0}}$ постоянно, среднее значение

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

и ковариация является

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right)}$

Процесс Орнштейна – Уленбека является примером Гауссовский процесс имеющий ограниченную дисперсию и допускающий стационарный распределение вероятностей, в отличие от Винеровский процесс; разница между ними заключается в их термине «дрейф». Для винеровского процесса член дрейфа постоянен, тогда как для процесса Орнштейна – Уленбека он зависит от текущего значения процесса: если текущее значение процесса меньше (долгосрочного) среднего, дрейф будет положительный; если текущее значение процесса больше, чем (долгосрочное) среднее значение, дрейф будет отрицательным. Другими словами, среднее значение действует как уровень равновесия для процесса. Это дает процессу его информативное название «возврат к среднему».

Свойства образцов путей

Однородный во времени процесс Орнштейна – Уленбека можно представить как масштабированный преобразованный во времени Винеровский процесс:

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}}}$

куда ${\displaystyle W_{t}}$ это стандартный винеровский процесс.^[1] Равнозначно с заменой переменной ${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$ это становится

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

Используя это отображение, можно перевести известные свойства ${\displaystyle W_{t}}$ в соответствующие заявления для ${\displaystyle x_{t}}$. Например, закон повторного логарифма за ${\displaystyle W_{t}}$ становится^[1]

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\sup {\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

Формальное решение

Стохастическое дифференциальное уравнение для ${\displaystyle x_{t}}$ можно формально решить вариация параметров.^[9] Письмо

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

Интеграция из ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle t}$ мы получили

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

после чего мы видим

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

Из этого представления первый момент (т. е. среднее) показано как

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

предполагая ${\displaystyle x_{0}}$ постоянно. Более того, Itō изометрия можно использовать для расчета ковариационная функция к

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

Числовая выборка

Используя дискретно дискретизированные данные через временные интервалы шириной ${\displaystyle t}$, то оценщики максимального правдоподобия поскольку параметры процесса Орнштейна – Уленбека асимптотически нормальны к своим истинным значениям.^[10] Точнее,^{[неудачная проверка ]}

${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma \end{pmatrix}}\right){\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$

три примера пути различных OU-процессов с θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
синий: Первоначальный значение а = 0 (в качестве. )
зеленый: Первоначальный значение а = 2 (п.н.)
красный: начальное значение нормально распределено, так что процесс имеет инвариантную меру

Интерпретация предела масштабирования

Процесс Орнштейна – Уленбека можно интерпретировать как предел масштабирования дискретного процесса, точно так же, как Броуновское движение это предел масштабирования случайные прогулки. Рассмотрим урну, содержащую ${\displaystyle n}$ синие и желтые шары. На каждом шаге случайным образом выбирается шар и заменяется шаром противоположного цвета. Позволять ${\displaystyle X_{n}}$ быть количеством синих шаров в урне после ${\displaystyle n}$ шаги. потом ${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ сходится по закону к процессу Орнштейна – Уленбека как ${\displaystyle n}$ стремится к бесконечности.

Приложения

В физических науках

Процесс Орнштейна – Уленбека является прототипом зашумленного процесс релаксации. Рассмотрим, например, Гуковская весна с пружинной жесткостью ${\displaystyle k}$ чья динамика очень чрезмерно демпфированный с коэффициентом трения ${\displaystyle \gamma }$.При наличии тепловых колебаний с температура ${\displaystyle T}$, длина ${\displaystyle x(t)}$длины пружины будет стохастически колебаться вокруг длины опоры пружины ${\displaystyle x_{0}}$; его стохастическая динамика описывается процессом Орнштейна – Уленбека с:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \sigma }$ происходит из Уравнение Стокса – Эйнштейна. ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma }$ для эффективной постоянной диффузии.

В физических науках стохастическое дифференциальное уравнение процесса Орнштейна – Уленбека переписывается как Уравнение Ланжевена

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-{\frac {k}{\gamma }}(x(t)-x_{0})+\xi (t)}$

куда ${\displaystyle \xi (t)}$ является белый гауссов шум с${\displaystyle \langle \xi (t_{1})\xi (t_{2})\rangle =2k_{B}T/\gamma \,\delta (t_{1}-t_{2}).}$Колебания коррелируют как

${\displaystyle \langle (x(t_{0})-x_{0})(x(t_{0}+t)-x_{0})\rangle ={\frac {k_{B}T}{k}}\exp(-|t|/\tau )}$

со временем корреляции ${\displaystyle \tau =\gamma /k}$.

В состоянии равновесия пружина накапливает среднюю энергию ${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$ в соответствии с теорема о равнораспределении.

В финансовой математике

Процесс Орнштейна – Уленбека - один из нескольких подходов, используемых для моделирования (с модификациями) процентных ставок, валюты обменные курсы, а цены на сырьевые товары - стохастически. Параметр ${\displaystyle \mu }$ представляет собой равновесное или среднее значение, поддерживаемое основы; ${\displaystyle \sigma }$ степень непостоянство вокруг него вызвано потрясения, и ${\displaystyle \theta }$ скорость, с которой эти шоки рассеиваются, и переменная возвращается к среднему значению. Одним из применений этого процесса является торговая стратегия, известная как парная торговля.^[11][12][13]

В эволюционной биологии

Процесс Орнштейна – Уленбека был предложен как усовершенствование модели броуновского движения для моделирования изменений в организме. фенотипы через некоторое время.^[14] Модель броуновского движения подразумевает, что фенотип может двигаться без ограничений, тогда как для большинства фенотипов естественный отбор требует слишком большого продвижения в любом направлении.

Обобщения

Можно распространить процессы Орнштейна – Уленбека на процессы, в которых фоновым движущим процессом является Леви процесс (вместо простого броуновского движения).^{[требуется разъяснение ]}

Кроме того, в финансах используются стохастические процессы, в которых волатильность увеличивается для больших значений ${\displaystyle X}$. В частности, процесс CKLS (Чан – Кароли – Лонгстафф – Сандерс)^[15] с заменой срока волатильности на ${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$ можно решить в закрытом виде для ${\displaystyle \gamma =1}$, а также для ${\displaystyle \gamma =0}$, что соответствует обычному процессу OU. Другой особый случай: ${\displaystyle \gamma =1/2}$, что соответствует Модель Кокса – Ингерсолла – Росса (CIR-модель).

Высшие измерения

Многомерная версия процесса Орнштейна – Уленбека, обозначаемая N-мерный вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$, можно определить из

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

куда ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ является N-мерный винеровский процесс, и ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ постоянны N×N матрицы.^[16] Решение

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

и среднее значение

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

Обратите внимание, что в этих выражениях используется матрица экспонента.

Процесс также можно описать с помощью функции плотности вероятности ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$, которая удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка^[17]

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

где матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ с компонентами ${\displaystyle D_{ij}}$ определяется ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$. Что касается 1d случая, процесс представляет собой линейное преобразование гауссовских случайных величин и, следовательно, сам должен быть гауссовским. Вследствие этого вероятность перехода ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$ является гауссовским, который может быть записан явно. Если действительные части собственных значений ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ больше нуля, стационарное решение ${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$ кроме того существует, данный

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right)}$

где матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ определяется из ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$.^[18]

Смотрите также

• Стохастическое исчисление
• Винеровский процесс
• Гауссовский процесс
• Математические финансы
• В Модель Васичека из процентные ставки
• Краткосрочная модель
• Распространение
• Теорема флуктуации-диссипации

Примечания

1. Дуб, J.L. (Апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики. 43 (2): 351–369. Дои:10.2307/1968873. JSTOR  1968873.
2. Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 358, ISBN  978-0-387-97655-6
3. Гард, Томас К. (1988), Введение в стохастические дифференциальные уравнения, Марсель Деккер, стр. 115, ISBN  978-0-8247-7776-0
4. Гардинер, C.W. (1985), Справочник по стохастическим методам (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 106, ISBN  978-0-387-15607-1
5. Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. С. 375, 381. ISBN  978-0-19-957474-2.
6. Рискен (1984)
7. Лоулер, Грегори Ф. (2006). Введение в случайные процессы (2-е изд.). Чепмен и Холл / CRC. ISBN  978-1584886518.
8. Рискен, Х. (1984), Уравнение Фоккера-Планка: методы решения и приложения, Springer-Verlag, стр. 99–100, ISBN  978-0-387-13098-9
9. Гардинер (1985) стр. 106
10. Айт-Сахалия, Ю. (Апрель 2002 г.). "Оценка максимального правдоподобия диффузии с дискретной выборкой: закрытый приближенный подход". Econometrica. 70 (1): 223–262. Дои:10.1111/1468-0262.00274.
11. Оптимальная торговля с обращением к среднему: математический анализ и практическое применение. World Scientific Publishing Co. 2016. ISBN  978-9814725910.
12. Преимущества парной торговли: нейтральность рынка
13. Структура Орнштейна-Уленбека для парной торговли
14. Мартинс, Э. (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции по сравнительным данным». Амер. Нат. 144 (2): 193–209. Дои:10.1086/285670.
15. Чан и др. (1992)
16. Гардинер (1985), стр. 109
17. Гардинер (1985), стр. 97
18. Рискен (1984), стр. 156

Рекомендации

• Bibbona, E .; Панфило, Г .; Тавелла, П. (2008). «Процесс Орнштейна-Уленбека как модель белого шума, прошедшего фильтр нижних частот». Метрология. 45 (6): S117 – S126. Bibcode:2008Метро..45С.117Б. Дои:10.1088 / 0026-1394 / 45/6 / S17.
• Chan, K. C .; Karolyi, G.A .; Longstaff, F.A .; Сандерс, А. Б. (1992). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки». Журнал финансов. 47 (3): 1209–1227. Дои:10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04011.x.
• Дуб, J.L. (Апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики. 43 (2): 351–369. Дои:10.2307/1968873. JSTOR  1968873.
• Гиллеспи, Д. Т. (1996). «Точное численное моделирование процесса Орнштейна – Уленбека и его интеграла». Phys. Ред. E. 54 (2): 2084–2091. Bibcode:1996PhRvE..54.2084G. Дои:10.1103 / PhysRevE.54.2084. PMID  9965289.
• Люнг, Тим; Ли, Синь (2015). «Торговля с оптимальным возвратом к среднему с транзакционными издержками и выходом по стоп-лоссу». Международный журнал теоретических и прикладных финансов. 18 (3): 1550020. arXiv:1411.5062. Дои:10.1142 / S021902491550020X.
• Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера – Планка: метод решения и приложения.. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0387504988.
• Uhlenbeck, G.E .; Орнштейн, Л. С. (1930). «К теории броуновского движения». Phys. Rev. 36 (5): 823–841. Bibcode:1930ПхРв ... 36..823У. Дои:10.1103 / PhysRev.36.823.
• Мартинс, Э. (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции по сравнительным данным». Амер. Нат. 144 (2): 193–209. Дои:10.1086/285670.

внешняя ссылка

• Обзор статистического арбитража, коинтеграции и многомерного Орнштейна – Уленбека, Аттилио Меуччи
• Инструментарий стохастических процессов для управления рисками, Дамиано Бриго, Антонио Далессандро, Матиас Нойгебауэр и Фарес Трики
• Моделирование и калибровка процесса Орнштейна – Уленбека, М. А. ван ден Берг
• Оценка максимального правдоподобия процессов возврата к среднему значению, Хосе Карлос Гарсиа Франко
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах». Архивировано из оригинал на 2015-09-20. Получено 2015-07-03.