Случайная динамическая система - Random dynamical system

в математический поле динамические системы, а случайная динамическая система является динамической системой, в которой уравнения движения в них есть элемент случайности. Случайные динамические системы характеризуются пространство состояний S, а набор из карты ${displaystyle Gamma }$ из S в себя, которое можно представить как совокупность всех возможных уравнений движения, и распределение вероятностей Q на съемочной площадке ${displaystyle Gamma }$ который представляет собой случайный выбор карты. Движение в случайной динамической системе можно неформально рассматривать как состояние ${displaystyle Xin S}$ эволюционирует в соответствии с последовательностью карт, случайно выбранных в соответствии с распределением Q.^[1]

Примером случайной динамической системы является стохастическое дифференциальное уравнение; в этом случае распределение Q обычно определяется условия шума. Он состоит из базовый поток, "шум" и коцикл динамическая система на «физическом» фазовое пространство. Другой пример - случайная динамическая система с дискретным состоянием; обсуждаются некоторые элементарные противоречия между описанием стохастической динамики цепью Маркова и случайными динамическими системами.^[2]

Мотивация 1: Решения стохастического дифференциального уравнения

Позволять ${displaystyle f:mathbb {R} ^{d} o mathbb {R} ^{d}}$ быть ${displaystyle d}$-размерный векторное поле, и разреши ${displaystyle varepsilon >0}$. Предположим, что решение ${displaystyle X(t,omega ;x_{0})}$ к стохастическому дифференциальному уравнению

${displaystyle left{{egin{matrix}mathrm {d} X=f(X),mathrm {d} t+varepsilon ,mathrm {d} W(t);X(0)=x_{0};end{matrix}}ight.}$

существует для всего положительного времени и некоторого (небольшого) интервала отрицательного времени, зависящего от ${displaystyle omega in Omega }$, куда ${displaystyle W:mathbb {R} imes Omega o mathbb {R} ^{d}}$ обозначает ${displaystyle d}$-размерный Винеровский процесс (Броуновское движение ). Неявно этот оператор использует классический Винер вероятностное пространство

${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} ):=left(C_{0}(mathbb {R} ;mathbb {R} ^{d}),{mathcal {B}}(C_{0}(mathbb {R} ;mathbb {R} ^{d})),gamma ight).}$

В этом контексте винеровский процесс является координационным процессом.

Теперь определим карта потока или же (оператор решения) ${displaystyle varphi :mathbb {R} imes Omega imes mathbb {R} ^{d} o mathbb {R} ^{d}}$ к

${displaystyle varphi (t,omega ,x_{0}):=X(t,omega ;x_{0})}$

(если правая часть четко определенный ). потом ${displaystyle varphi }$ (точнее пара ${displaystyle (mathbb {R} ^{d},varphi )}$) является (локальной, левосторонней) случайной динамической системой. Процесс генерации «потока» из решения стохастического дифференциального уравнения приводит нас к самостоятельному изучению подходящим образом определенных «потоков». Эти «потоки» представляют собой случайные динамические системы.

Мотивация 2: связь с цепью Маркова

I.i.d случайная динамическая система в дискретном пространстве описывается тройкой ${displaystyle (S,Gamma ,Q)}$.

• ${displaystyle S}$ это пространство состояний, ${displaystyle {s_{1},s_{2},cdots ,s_{n}}}$.
• ${displaystyle Gamma }$ это семейство карт ${displaystyle Sightarrow S}$. Каждая такая карта имеет ${displaystyle n imes n}$ матричное представление, называемое детерминированная матрица перехода. Это двоичная матрица, но она имеет ровно одну запись 1 в каждой строке и нули в противном случае.
• ${displaystyle Q}$ является вероятностной мерой ${displaystyle sigma }$-поле ${displaystyle Gamma }$.

Дискретная случайная динамическая система выглядит следующим образом:

1. Система в каком-то состоянии ${displaystyle x_{0}}$ в ${displaystyle S}$, карта ${displaystyle alpha _{1}}$ в ${displaystyle Gamma }$ выбирается по вероятностной мере ${displaystyle Q}$ и система переходит в состояние ${displaystyle x_{1}=alpha _{1}(x_{0})}$ на шаге 1.
2. Независимо от предыдущих карт, другая карта ${displaystyle alpha _{2}}$ выбирается по вероятностной мере ${displaystyle Q}$ и система переходит в состояние ${displaystyle x_{2}=alpha _{2}(x_{1})}$.
3. Процедура повторяется.

Случайная величина ${displaystyle X_{n}}$ строится путем композиции независимых случайных отображений, ${displaystyle X_{n}=alpha _{n}circ alpha _{n-1}circ dots circ alpha _{1}(X_{0})}$. Четко, ${displaystyle X_{n}}$ это Цепь Маркова.

И наоборот, может ли и как данный МС быть представлен композициями i.i.d. случайные преобразования? Да, может, но не уникальный. Доказательство существования аналогично теореме Биркгофа – фон Неймана для дважды стохастическая матрица.

Вот пример, иллюстрирующий существование и неединственность.

Пример: Если пространство состояний ${displaystyle S={1,2}}$ и множество преобразований ${displaystyle Gamma }$ выражается в терминах детерминированных матриц перехода. Тогда матрица марковского перехода${displaystyle M=left({egin{array}{cc}0.4&0.6�.7&0.3end{array}}ight)}$ может быть представлено следующим разложением алгоритма min-max, ${displaystyle M=0.6left({egin{array}{cc}0&11&0end{array}}ight)+0.3left({egin{array}{cc}1&0�&1end{array}}ight)+0.1left({egin{array}{cc}1&01&0end{array}}ight).}$

А пока может быть другое разложение. ${displaystyle M=0.18left({egin{array}{cc}0&1�&1end{array}}ight)+0.28left({egin{array}{cc}1&01&0end{array}}ight)+0.42left({egin{array}{cc}0&11&0end{array}}ight)+0.12left({egin{array}{cc}1&0�&1end{array}}ight).}$

Формальное определение

Формально,^[3] а случайная динамическая система состоит из базового потока, «шума» и коциклической динамической системы на «физическом» фазовом пространстве. В деталях.

Позволять ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )}$ быть вероятностное пространство, то шум Космос. Определить базовый поток ${displaystyle vartheta :mathbb {R} imes Omega o Omega }$ следующим образом: за каждый "раз" ${displaystyle sin mathbb {R} }$, позволять ${displaystyle vartheta _{s}:Omega o Omega }$ быть сохраняющим меру измеримая функция:

${displaystyle mathbb {P} (E)=mathbb {P} (vartheta _{s}^{-1}(E))}$ для всех ${displaystyle Ein {mathcal {F}}}$ и ${displaystyle sin mathbb {R} }$;

Предположим также, что

1. ${displaystyle vartheta _{0}=mathrm {id} _{Omega }:Omega o Omega }$, то функция идентичности на ${displaystyle Omega }$;
2. для всех ${displaystyle s,tin mathbb {R} }$, ${displaystyle vartheta _{s}circ vartheta _{t}=vartheta _{s+t}}$.

То есть, ${displaystyle vartheta _{s}}$, ${displaystyle sin mathbb {R} }$, образует группа сохраняющего меру преобразования шума ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )}$. Для односторонних случайных динамических систем можно рассматривать только положительные индексы ${displaystyle s}$; для случайных динамических систем с дискретным временем можно рассматривать только целочисленные ${displaystyle s}$; в этих случаях карты ${displaystyle vartheta _{s}}$ только сформирует коммутативный моноид вместо группы.

Хотя это верно для большинства приложений, обычно в формальное определение случайной динамической системы не входит требование, чтобы сохраняющая меру динамическая система ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} ,vartheta )}$ является эргодический.

Теперь позвольте ${displaystyle (X,d)}$ быть полный отделяемый метрическое пространство, то фазовое пространство. Позволять ${displaystyle varphi :mathbb {R} imes Omega imes X o X}$ быть ${displaystyle ({mathcal {B}}(mathbb {R} )otimes {mathcal {F}}otimes {mathcal {B}}(X),{mathcal {B}}(X))}$-измеримая функция такая, что

1. для всех ${displaystyle omega in Omega }$, ${displaystyle varphi (0,omega )=mathrm {id} _{X}:X o X}$, тождественная функция на ${displaystyle X}$;
2. для (почти) всех ${displaystyle omega in Omega }$, ${displaystyle (t,omega ,x)mapsto varphi (t,omega ,x)}$ является непрерывный в обоих ${displaystyle t}$ и ${displaystyle x}$;
3. ${displaystyle varphi }$ удовлетворяет (грубый) свойство коцикла: за почти все ${displaystyle omega in Omega }$,

${displaystyle varphi (t,vartheta _{s}(omega ))circ varphi (s,omega )=varphi (t+s,omega ).}$

В случае случайных динамических систем, управляемых винеровским процессом ${displaystyle W:mathbb {R} imes Omega o X}$, базовый поток ${displaystyle vartheta _{s}:Omega o Omega }$ будет дан

${displaystyle W(t,vartheta _{s}(omega ))=W(t+s,omega )-W(s,omega )}$.

Это можно прочитать как высказывание ${displaystyle vartheta _{s}}$ "вовремя начинает шум ${displaystyle s}$ вместо времени 0 ». Таким образом, свойство коцикла можно интерпретировать как утверждение, что развитие начального условия ${displaystyle x_{0}}$ с некоторым шумом ${displaystyle omega }$ за ${displaystyle s}$ секунд, а затем через ${displaystyle t}$ секунд с таким же шумом (при старте с ${displaystyle s}$ метка секунд) дает тот же результат, что и эволюция ${displaystyle x_{0}}$ через ${displaystyle (t+s)}$ секунд с тем же шумом.

Аттракторы для случайных динамических систем

Понятие аттрактор для случайной динамической системы не так просто определить, как в детерминированном случае. По техническим причинам необходимо «перемотать время назад», как в определении обратный аттрактор.^[4] Более того, аттрактор зависит от реализации ${displaystyle omega }$ шума.

Смотрите также

• Теория хаоса
• Процесс диффузии
• Стохастический контроль

Рекомендации

1. Бхаттачарья, Раби; Маджумдар, Мукул (2003). «Случайные динамические системы: обзор». Экономическая теория. 23 (1): 13–38. Дои:10.1007 / s00199-003-0357-4.
2. Ye, Феликс X.-F .; Ван, Юэ; Цянь, Хун (август 2016 г.). «Стохастическая динамика: цепи Маркова и случайные преобразования». Дискретные и непрерывные динамические системы - серия B. 21 (7): 2337–2361. Дои:10.3934 / dcdsb.2016050.
3. Арнольд, Людвиг (1998). Случайные динамические системы. ISBN  9783540637585.
4. Крауэль, Ганс; Дебюше, Арно; Фландоли, Франко (1997). «Случайные аттракторы». Журнал динамики и дифференциальных уравнений. 9 (2): 307–341. Bibcode:1997JDDE .... 9..307C. Дои:10.1007 / BF02219225.