Теория разорения - Ruin theory

«Теория риска» перенаправляется сюда. Для другого использования см. План Тирпица.

В актуарная наука и прикладная вероятность теория разорения (иногда теория риска^[1] или же теория коллективного риска) использует математические модели для описания уязвимости страховщика перед банкротством / банкротством. В таких моделях ключевыми величинами, представляющими интерес, являются вероятность разорения, распределение излишка непосредственно перед разорением и дефицит во время разорения.

Классическая модель

Примерный путь процесса сложного пуассоновского риска

Теоретическая основа теории разорения, известная как модель Крамера – Лундберга (или классическая модель комбинированного пуассоновского риска, классический процесс риска^[2] или процесс риска Пуассона) был введен в 1903 году шведским актуарием Филип Лундберг.^[3] Работа Лундберга была переиздана в 1930-х гг. Харальд Крамер.^[4]

Модель описывает страховую компанию, которая испытывает два противоположных денежных потока: входящие денежные премии и исходящие претензии. Премии поступают с постоянной скоростью c > 0 от клиентов и претензии поступают в соответствии с Пуассоновский процесс ${displaystyle N_{t}}$ с интенсивностью λ и есть независимые и одинаково распределенные неотрицательные случайные величины ${displaystyle xi _{i}}$ с распределением F и значит μ (они образуют составной процесс Пуассона ). Итак, для страховщика, который начинает с первоначального профицита Икс, совокупные активы ${displaystyle X_{t}}$ даны:^[5]

${displaystyle X_{t}=x+ct-sum _{i=1}^{N_{t}}xi _{i}quad { ext{ for t}}geq 0.}$

Центральная цель модели - исследовать вероятность того, что уровень профицита страховщика в конечном итоге упадет ниже нуля (что сделает фирму банкротом). Эта величина, называемая вероятностью окончательного разорения, определяется как

${displaystyle psi (x)=mathbb {P} ^{x}{ au <infty }}$

где время разорения ${displaystyle au =inf{t>0,:,X(t)<0}}$ с условием, что ${displaystyle inf varnothing =infty }$. Это можно точно вычислить, используя Формула Поллачека – Хинчина в качестве^[6] (функция разорения здесь эквивалентна хвостовой функции стационарного распределения времени ожидания в Очередь M / G / 1^[7])

${displaystyle psi (x)=left(1-{frac {lambda mu }{c}}ight)sum _{n=0}^{infty }left({frac {lambda mu }{c}}ight)^{n}(1-F_{l}^{ast n}(x))}$

куда ${displaystyle F_{l}}$ является преобразованием хвостового распределения ${displaystyle F}$,

${displaystyle F_{l}(x)={frac {1}{mu }}int _{0}^{x}left(1-F(u)ight){ ext{d}}u}$

и ${displaystyle cdot ^{ast n}}$ обозначает ${displaystyle n}$-складывать свертка.В случае, когда размеры требований распределены экспоненциально, это упрощается до^[7]

${displaystyle psi (x)={frac {lambda mu }{c}}e^{-left({frac {1}{mu }}-{frac {lambda }{c}}ight)x}.}$

Модель Спарре Андерсена

Э. Спарре Андерсен расширил классическую модель в 1957 г.^[8] позволяя заявленным временам между поступлениями иметь произвольные функции распределения.^[9]

${displaystyle X_{t}=x+ct-sum _{i=1}^{N_{t}}xi _{i}quad { ext{ for }}tgeq 0,}$

где процесс номера претензии ${displaystyle (N_{t})_{tgeq 0}}$ это процесс обновления и ${displaystyle (xi _{i})_{iin mathbb {N} }}$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Кроме того, модель предполагает, что ${displaystyle xi _{i}>0}$ почти наверняка и это ${displaystyle (N_{t})_{tgeq 0}}$ и ${displaystyle (xi _{i})_{iin mathbb {N} }}$ независимы. Модель также известна как модель риска возобновления.

Ожидаемая функция дисконтированного штрафа

Майкл Р. Пауэрс^[10] и Гербер и Шиу^[11] проанализировали поведение излишка страховщика через ожидаемая дисконтированная штрафная функция, который в литературе о руинах обычно называют функцией Гербера-Шиу. Спорный вопрос, должна ли эта функция называться функцией Пауэрса-Гербера-Шиу из-за вклада Пауэрса.^[10]

В Полномочия 'обозначение, это определяется как

${displaystyle m(x)=mathbb {E} ^{x}[e^{-delta au }K_{ au }]}$,

куда ${displaystyle delta }$ сила дисконтирования интереса, ${displaystyle K_{ au }}$ - общая штрафная функция, отражающая экономические издержки страховщика на момент разорения, и ожидаемые ${displaystyle mathbb {E} ^{x}}$ соответствует вероятностной мере ${displaystyle mathbb {P} ^{x}}$. Эта функция называется ожидаемой дисконтированной стоимостью неплатежеспособности Пауэрса.^[10]

В обозначениях Гербера и Шиу это дается как

${displaystyle m(x)=mathbb {E} ^{x}[e^{-delta au }w(X_{ au -},X_{ au })mathbb {I} ( au <infty )]}$,

куда ${displaystyle delta }$ - сила дисконтирования интереса и ${displaystyle w(X_{ au -},X_{ au })}$ - штрафная функция, фиксирующая экономические затраты страховщика в момент разорения (предполагается, что она зависит от излишка до разорения ${displaystyle X_{ au -}}$ и дефицит при разорении ${displaystyle X_{ au }}$), а ожидание ${displaystyle mathbb {E} ^{x}}$ соответствует вероятностной мере ${displaystyle mathbb {P} ^{x}}$. Здесь индикаторная функция ${displaystyle mathbb {I} ( au <infty )}$ подчеркивает, что наказание применяется только тогда, когда происходит разорение.

Интерпретация ожидаемой дисконтированной штрафной функции интуитивно понятна. Поскольку функция измеряет актуарную приведенную стоимость штрафа, возникающего при ${displaystyle au }$, штрафная функция умножается на коэффициент дисконтирования ${displaystyle e^{-delta au }}$, а затем усредненное по распределению вероятностей времени ожидания до ${displaystyle au }$. Пока Гербер и Шиу^[11] применил эту функцию к классической модели составного Пуассона, Пауэрса^[10] утверждал, что профицит страховщика лучше моделируется семейством диффузионных процессов.

Существует множество величин, связанных с разорением, которые попадают в категорию ожидаемой дисконтированной штрафной функции.

Особый случай	Математическое представление	Выбор штрафной функции
Вероятность окончательного разорения	${displaystyle mathbb {P} ^{x}{ au <infty }}$	${displaystyle delta =0,w(x_{1},x_{2})=1}$
Совместное (дефектное) распределение излишка и дефицита	${displaystyle mathbb {P} ^{x}{X_{ au -}<x,X_{ au }<y}}$	${displaystyle delta =0,w(x_{1},x_{2})=mathbb {I} (x_{1}<x,x_{2}<y)}$
Неправильное распределение иска, приводящее к разорению	${displaystyle mathbb {P} ^{x}{X_{ au -}-X_{ au }<z}}$	${displaystyle delta =0,w(x_{1},x_{2})=mathbb {I} (x_{1}+x_{2}<z)}$
Трехмерное преобразование времени Лапласа, излишка и дефицита	${displaystyle mathbb {E} ^{x}[e^{-delta au -sX_{ au -}-zX_{ au }}]}$	${displaystyle w(x_{1},x_{2})=e^{-sx_{1}-zx_{2}}}$
Совместные моменты излишка и дефицита	${displaystyle mathbb {E} ^{x}[X_{ au -}^{j}X_{ au }^{k}]}$	${displaystyle delta =0,w(x_{1},x_{2})=x_{1}^{j}x_{2}^{k}}$

Другие связанные с финансами суммы, относящиеся к классу ожидаемой функции дисконтированных штрафов, включают бессрочный американский пут-опцион,^[12] условное требование в оптимальное время выполнения и многое другое.

Последние достижения

• Модель комбинированного риска-Пуассона с постоянным интересом
• Модель сложного риска Пуассона со стохастическим интересом
• Модель риска броуновского движения
• Общая модель диффузионного процесса
• Марково-модулированная модель риска
• Калькулятор коэффициента вероятности аварии (APF) - модель анализа рисков (@SBH)

Смотрите также

• Финансовый риск
• Интегральное уравнение Вольтерра # Теория руин

Рекомендации

1. Embrechts, P .; Клюппельберг, К.; Микош, Т. (1997). «1 Теория риска». Моделирование экстремальных событий. Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 33. п. 21. Дои:10.1007/978-3-642-33483-2_2. ISBN  978-3-540-60931-5.
2. Delbaen, F .; Haezendonck, J. (1987). «Классическая теория риска в экономической среде». Страхование: математика и экономика. 6 (2): 85. Дои:10.1016/0167-6687(87)90019-9.
3. Lundberg, F. (1903) Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Упсала.
4. Блом, Г. (1987). "Харальд Крамер 1893-1985". Анналы статистики. 15 (4): 1335. Дои:10.1214 / aos / 1176350596. JSTOR  2241677.
5. Киприану, А. Э. (2006). «Процессы Леви и приложения». Вводные лекции по флуктуациям процессов Леви с приложениями. Springer Berlin Heidelberg. С. 1–1. Дои:10.1007/978-3-540-31343-4_1. ISBN  978-3-540-31342-7.
6. Гузак, Мильенко; Перман, Михаил; Шикич, Хрвое; Вондрачек, Зоран (2004). «Вероятность разорения конкурирующих процессов претензий». Журнал прикладной теории вероятностей. Доверие прикладной вероятности. 41 (3): 679–690. Дои:10.1239 / jap / 1091543418. JSTOR  4141346.
7. Рольски, Томаш; Шмидли, Ханспетер; Шмидт, Фолькер; Teugels, Йозеф (2008). «Риск-процессы». Стохастические процессы для страхования и финансов. Серия Уайли по вероятности и статистике. С. 147–204. Дои:10.1002 / 9780470317044.ch5. ISBN  9780470317044.
8. Андерсен, Э. Спарре. «О коллективной теории риска в случае заражения претензий». Труды XV Международного конгресса актуариев. Vol. 2. № 6. 1957 год.
9. Торин, Олоф. "Некоторые комментарии к модели Спарре Андерсена в теории риска " Бюллетень ASTIN: международный журнал актуарных исследований в области страхования, кроме страхования жизни, и теории рисков (1974): 104.
10. Пауэрс, М. (1995). «Теория риска, доходности и платежеспособности». Страхование: математика и экономика. 17 (2): 101–118. Дои:10.1016 / 0167-6687 (95) 00006-E.
11. Gerber, H.U .; Шиу, Э. С. У. (1998). «О временной стоимости гибели». Североамериканский актуарный журнал. 2: 48. Дои:10.1080/10920277.1998.10595671.
12. Gerber, H.U .; Шиу, E.S.W. (1997). «От теории разорения к ценообразованию опционов» (PDF). Коллоквиум AFIR, Кэрнс, Австралия, 1997 г..

дальнейшее чтение

• Гербер, Х.У. (1979). Введение в математическую теорию риска. Филадельфия: Серия монографий Фонда С.С. Хойбнера 8.
• Асмуссен С. (2000). Вероятность разорения. Сингапур: World Scientific Publishing Co.