Процесс Гаусса – Маркова - Gauss–Markov process

Не путать с Теорема Гаусса – Маркова математической статистики.

Случайные процессы Гаусса – Маркова. (названный в честь Карл Фридрих Гаусс и Андрей Марков ) находятся случайные процессы которые удовлетворяют требованиям как для Гауссовские процессы и Марковские процессы.^[1][2] Стационарный процесс Гаусса – Маркова уникален.^{[нужна цитата ]} вплоть до масштабирования; такой процесс также известен как Процесс Орнштейна – Уленбека.

Каждый процесс Гаусса – Маркова Икс(т) обладает тремя следующими свойствами:

1. Если час(т) - ненулевая скалярная функция от т, тогда Z(т) = час(т)Икс(т) также является процессом Гаусса – Маркова
2. Если ж(т) - неубывающая скалярная функция от т, тогда Z(т) = Икс(ж(т)) также является процессом Гаусса – Маркова
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднем квадратическом, то существует ненулевая скалярная функция час(т) и строго возрастающей скалярной функцией ж(т) такие, что Икс(т) = час(т)W(ж(т)), где W(т) является стандартным Винеровский процесс

.^[3]

Свойство (3) означает, что любой невырожденный среднеквадратичный непрерывный процесс Гаусса – Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса (SWP).

Свойства

Основная статья: Процесс Орнштейна – Уленбека § Математические свойства.

Стационарный процесс Гаусса – Маркова с отклонение ${\displaystyle {\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}}$ и постоянная времени ${\displaystyle \beta ^{-1}}$ обладает следующими свойствами.

Экспоненциальный автокорреляция:

${\displaystyle {\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.\,}$

Сила спектральная плотность (PSD), которая имеет ту же форму, что и Распределение Коши:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.\,}$

(Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными факторами.)

Приведенное выше дает следующую спектральную факторизацию:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}.}$

что важно в Винеровская фильтрация и другие области.

Из всего вышеперечисленного также есть несколько банальных исключений.^{[требуется разъяснение ]}

использованная литература

1. К. Э. Расмуссен и К. И. Уильямс (2006). Гауссовские процессы для машинного обучения (PDF). MIT Press. п. Приложение Б. ISBN  026218253X.
2. Ламон, Пьер (2008). Трехмерное отслеживание и управление вездеходными роботами. Springer. стр.93 –95. ISBN  978-3-540-78286-5.
3. К. Б. Мехр и Дж. А. Макфадден. Некоторые свойства гауссовских процессов и их времена первого прохождения. Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая), Vol. 27, No. 3 (1965), стр. 505-522