Теорема Прохорова - Prokhorovs theorem - Wikipedia

В теория меры Теорема Прохорова относится жесткость мер относительно компактность (и поэтому слабая конвергенция ) в пространстве вероятностные меры. Это зачислено в Советский математик Юрий Васильевич Прохоров, который рассматривал вероятностные меры на полных сепарабельных метрических пространствах. Термин «теорема Прохорова» также применяется к более поздним обобщениям прямых или обратных утверждений.

Заявление

Позволять ${\displaystyle (S,\rho )}$ быть отделяемый метрическое пространство. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ обозначают совокупность всех вероятностных мер, определенных на ${\displaystyle S}$ (с этими Борелевская σ-алгебра ).

Теорема.

1. Коллекция ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ вероятностных мер в обтяжку тогда и только тогда, когда закрытие ${\displaystyle K}$ является последовательно компактный в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ оснащен топология из слабая конвергенция.
2. Космос ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ с топологией слабой сходимости метризуемый.
3. Предположим, что кроме того, ${\displaystyle (S,\rho )}$ это полное метрическое пространство (так что ${\displaystyle (S,\rho )}$ это Польское пространство ). Есть полная метрика ${\displaystyle d_{0}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ эквивалент топологии слабой сходимости; более того, ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ туго тогда и только тогда, когда закрытие из ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})}$ компактный.

Следствия

Для евклидовых пространств мы имеем следующее:

• Если ${\displaystyle (\mu _{n})}$ плотный последовательность в ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ (набор вероятностных мер на ${\displaystyle m}$-размерный Евклидово пространство ), то существует подпоследовательность ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ и вероятностная мера ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$ такой, что ${\displaystyle \mu _{n_{k}}}$ слабо сходится к ${\displaystyle \mu }$.
• Если ${\displaystyle (\mu _{n})}$ это плотная последовательность в ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$ такое, что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ имеет такой же предел ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$, то последовательность ${\displaystyle (\mu _{n})}$ слабо сходится к ${\displaystyle \mu }$.

Расширение

Теорема Прохорова может быть расширена, чтобы рассмотреть комплексные меры или конечный подписанные меры.

Теорема:Предположим, что ${\displaystyle (S,\rho )}$ - полное сепарабельное метрическое пространство и ${\displaystyle \Pi }$ - семейство борелевских комплексных мер на ${\displaystyle S}$Следующие утверждения эквивалентны:

• ${\displaystyle \Pi }$ последовательно компактно; то есть каждая последовательность ${\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi }$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.
• ${\displaystyle \Pi }$ плотно и равномерно ограничено в общая норма вариации.

Комментарии

Поскольку теорема Прохорова выражает тесноту в терминах компактности, Теорема Арцела – Асколи часто используется для замены компактности: в функциональных пространствах это приводит к характеристике плотности с точки зрения модуль непрерывности или соответствующий аналог - см. герметичность в классическом винеровском пространстве и герметичность в пространстве Скорохода.

Есть несколько глубоких и нетривиальных расширений теоремы Прохорова. Однако эти результаты не затмевают важности и актуальности исходного результата для приложений.

Смотрите также

• Метрика Леви – Прохорова
• Жесткость мер
• слабая сходимость мер

Рекомендации

• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер.. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-19745-9.
• Богачев, Владимир (2006). Теория измерений, том 1 и 2. Springer. ISBN  978-3-540-34513-8.
• Прохоров, Юрий В. (1956). «Сходимость случайных процессов и предельные теоремы в теории вероятностей». Теория вероятностей и ее приложения. 1 (2): 157–214. Дои:10.1137/1101016.
• Дадли, Ричард. М. (1989). Реальный анализ и вероятность. Чепмен и Холл. ISBN  0-412-05161-3.