Метрика Леви – Прохорова - Lévy–Prokhorov metric

В математика, то Метрика Леви – Прохорова (иногда известный как Метрика Прохорова) это метрика (то есть определение расстояния) на наборе вероятностные меры на данном метрическое пространство. Он назван в честь французского математика. Поль Леви и советский математик Юрий Васильевич Прохоров; Прохоров ввел его в 1956 г. как обобщение более раннего Метрика Леви.

Определение

Позволять ${displaystyle (M,d)}$ быть метрическое пространство с этими Борелевская сигма-алгебра ${displaystyle {mathcal {B}}(M)}$. Позволять ${displaystyle {mathcal {P}}(M)}$ обозначают совокупность всех вероятностные меры на измеримое пространство ${displaystyle (M,{mathcal {B}}(M))}$.

Для подмножество ${displaystyle Asubseteq M}$определить ε-окрестность из ${displaystyle A}$ к

${displaystyle A^{varepsilon }:={pin M~|~exists qin A, d(p,q)<varepsilon }=igcup _{pin A}B_{varepsilon }(p).}$

куда ${displaystyle B_{varepsilon }(p)}$ это открытый мяч радиуса ${displaystyle varepsilon }$ сосредоточен на ${displaystyle p}$.

В Метрика Леви – Прохорова ${displaystyle pi :{mathcal {P}}(M)^{2} o [0,+infty )}$ определяется путем установки расстояния между двумя вероятностными мерами ${displaystyle mu }$ и ${displaystyle u }$ быть

${displaystyle pi (mu ,u ):=inf left{varepsilon >0~|~mu (A)leq u (A^{varepsilon })+varepsilon { ext{and}} u (A)leq mu (A^{varepsilon })+varepsilon { ext{for all}} Ain {mathcal {B}}(M)ight}.}$

Для вероятностных мер ясно ${displaystyle pi (mu ,u )leq 1}$.

Некоторые авторы опускают одно из двух неравенств или выбирают только открыто или же закрыто ${displaystyle A}$; одно неравенство влечет за собой другое, и ${displaystyle ({ar {A}})^{varepsilon }=A^{varepsilon }}$, но ограничение открытыми наборами может изменить определенную таким образом метрику (если ${displaystyle M}$ не является Польский ).

Характеристики

• Если ${displaystyle (M,d)}$ является отделяемый, сходимость мер в метрике Леви – Прохорова равносильна слабая сходимость мер. Таким образом, ${displaystyle pi }$ это метризация топологии слабой сходимости на ${displaystyle {mathcal {P}}(M)}$.
• Метрическое пространство ${displaystyle left({mathcal {P}}(M),pi ight)}$ является отделяемый если и только если ${displaystyle (M,d)}$ отделимо.
• Если ${displaystyle left({mathcal {P}}(M),pi ight)}$ является полный тогда ${displaystyle (M,d)}$ завершено. Если все меры в ${displaystyle {mathcal {P}}(M)}$ иметь отделимый поддерживать, то имеет место и обратная импликация: если ${displaystyle (M,d)}$ завершено тогда ${displaystyle left({mathcal {P}}(M),pi ight)}$ завершено. В частности, это так, если ${displaystyle (M,d)}$ отделима.
• Если ${displaystyle (M,d)}$ отделимо и полно, подмножество ${displaystyle {mathcal {K}}subseteq {mathcal {P}}(M)}$ является относительно компактный если и только если это ${displaystyle pi }$- закрытие ${displaystyle pi }$-компактный.

Смотрите также

• Метрика Леви
• Теорема Прохорова
• Жесткость мер
• слабая сходимость мер
• Метрика Вассерштейна
• Радоновое расстояние

Рекомендации

• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер.. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. ISBN  0-471-19745-9. OCLC  41238534.
• Золотарев, В. (2001) [1994], «Метрика Леви – Прохорова», Энциклопедия математики, EMS Press