Модель Хестона - Heston model

В финансах Модель Хестона, названный в честь Стивен Хестон, это математическая модель описывая эволюцию непостоянство из лежащий в основе актив.^[1] Это стохастическая волатильность модель: такая модель предполагает, что волатильность актива не является постоянной и даже не детерминированной, а следует случайный процесс.

Базовая модель Хестона

Базовая модель Хестона предполагает, что S_т, цена актива, определяется случайным процессом:^[2]

${displaystyle dS_{t}=mu S_{t},dt+{sqrt {u _{t}}}S_{t},dW_{t}^{S},}$

куда ${displaystyle u _{t}}$, мгновенная дисперсия равна Процесс CIR:

${displaystyle du _{t}=kappa ( heta -u _{t}),dt+xi {sqrt {u _{t}}},dW_{t}^{u },}$

и ${displaystyle W_{t}^{S},W_{t}^{u }}$ находятся Винеровские процессы (т. е. непрерывные случайные блуждания) с корреляцией ρ или, что то же самое, с ковариацией ρ dt.

Параметры в приведенных выше уравнениях представляют следующее:

• ${displaystyle mu }$ - норма доходности актива.
• ${displaystyle heta }$ - долгосрочная дисперсия или дисперсия долгосрочной средней цены; в качестве т стремится к бесконечности, ожидаемое значение ν_т стремится к θ.
• ${displaystyle kappa }$ - скорость, с которой ν_т возвращается к θ.
• ${displaystyle xi }$ - волатильность волатильности, или «объем от объема», и определяет дисперсию ν_т.

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), то процесс ${displaystyle u _{t}}$ строго положительный ^[3]

${displaystyle 2kappa heta >xi ^{2},.}$

Риск-нейтральная мера

Видеть Риск-нейтральная мера для полной статьи

Фундаментальная концепция ценообразования деривативов - это Риск-нейтральная мера;^{[нужна цитата ]} это объясняется более подробно в статье выше. Для наших целей достаточно отметить следующее:

1. Чтобы установить цену на производный финансовый инструмент, выплата которого зависит от одного или нескольких базовых активов, мы оцениваем ожидаемую стоимость его дисконтированной выплаты с учетом нейтрального риска.
2. Нейтральная к риску мера, также известная как эквивалентная мера мартингала, - это мера, которая эквивалентна реальной мере и не требует арбитража: согласно такой мере дисконтированная цена каждого из базовых активов является мартингейлом. . Видеть Теорема Гирсанова.
3. В рамках схем Блэка-Шоулза и Хестона (где фильтрации генерируются только из линейно независимого набора винеровских процессов) любую эквивалентную меру можно описать в очень широком смысле, добавив дрейф к каждому из винеровских процессов.
4. Выбирая определенные значения для описанных выше дрейфов, мы можем получить эквивалентную меру, которая удовлетворяет условию отсутствия арбитража.

Рассмотрим общую ситуацию, когда у нас есть ${displaystyle n}$ базовые активы и линейно независимый набор ${displaystyle m}$ Винеровские процессы. Множество эквивалентных мер изоморфно р^м, пространство возможных заносов. Считаем множество эквивалентных мартингальных мер изоморфным многообразию ${displaystyle M}$ встроенный в р^м; сначала рассмотрим ситуацию, когда у нас нет активов и ${displaystyle M}$ изоморфен р^м.

Теперь рассмотрим каждый из базовых активов как обеспечивающий ограничение на набор эквивалентных показателей, поскольку ожидаемый процесс дисконтирования должен быть равен константе (а именно, его начальному значению). Добавляя по одному активу за раз, мы можем рассматривать каждое дополнительное ограничение как уменьшение размера ${displaystyle M}$ по одному измерению. Отсюда видно, что в описанной выше общей ситуации размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна ${displaystyle m-n}$.

В модели Блэка-Шоулза у нас есть один актив и один винеровский процесс. Размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна нулю; следовательно, можно показать, что существует единственное значение для дрейфа и, следовательно, единственная нейтральная к риску мера, при которой дисконтированный актив ${displaystyle e^{-ho t}S_{t}}$ будет мартингейл.^{[нужна цитата ]}

В модели Хестона у нас по-прежнему есть один актив (волатильность не считается непосредственно наблюдаемой или торгуемой на рынке), но теперь у нас есть два винеровских процесса - первый в стохастическом дифференциальном уравнении (SDE) для актива и второй в SDE для стохастической волатильности. Здесь размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна единице; не существует единой безрисковой меры.^{[нужна цитата ]}

Это, конечно, проблематично; хотя теоретически для определения цены производного инструмента можно использовать любую из безрисковых мер, вполне вероятно, что каждая из них будет давать разную цену. Теоретически, однако, только одна из этих безрисковых мер будет совместима с рыночными ценами на опционы, зависящие от волатильности (например, европейские колл-опционы или, точнее говоря, свопы дисперсии ). Следовательно, мы могли бы добавить актив, зависящий от волатильности;^{[нужна цитата ]} тем самым мы добавляем дополнительное ограничение и, таким образом, выбираем единую безрисковую меру, совместимую с рынком. Эта мера может быть использована для ценообразования.

Выполнение

• Недавнее обсуждение реализации модели Хестона дано в статье Кала и Якеля.^[4]

• Информация о том, как использовать преобразование Фурье для определения значений параметров, приведена в статье Карра и Мадана.^[5]

• Расширение модели Хестона со стохастическими процентными ставками дается в статье Гжелака и Остерли.^[6]

• Вывод цен опционов в закрытой форме для модели Хестона, зависящей от времени, представлен в статье Gobet et al.^[7]

• Вывод цен опционов в закрытой форме для двойной модели Хестона представлен в статьях Кристофферсена.

^[8] и Готье.^[9]

• Явное решение уравнения цены Хестона с точки зрения волатильности было разработано Курицыном,^[10] которые можно комбинировать с известными слабыми решениями уравнения волатильности и теоремой Гирсанова, чтобы получить явные слабые решения модели Хестона. Такие решения полезны для эффективного моделирования.

• Существует несколько известных параметризаций поверхности летучести на основе модели Хестона (Schonbusher, SVI и gSVI).
• Использование модели в контексте локальной стохастической волатильности описано в статье Ван Дер Вейста.^[11]

Калибровка

Калибровка модели Хестона часто формулируется как проблема наименьших квадратов, с целевая функция минимизация разницы между ценами, наблюдаемыми на рынке, и ценами, рассчитанными по модели Хестона.

Цены обычно такие же, как у ванильных опций. Иногда модель также калибруется по временной структуре обмена дисперсией, как у Гийома и Схоутенса.^[12] Еще один подход - включить варианты прямого старта или барьерные варианты, чтобы уловить улыбку вперед.

В рамках модели Хестона цена опционов ванили задается аналитически, но для вычисления интеграла требуется численный метод. Le Floc'h^[13] суммирует различные применяемые квадратуры и предлагает эффективную адаптивную квадратуру Филона.

Проблема калибровки связана с градиент целевой функции по параметрам Хестона. Аппроксимация градиента методом конечных разностей имеет тенденцию создавать искусственные числовые проблемы при калибровке. Намного лучше положиться на автоматическая дифференциация техники. Например, касательный режим алгоритмического дифференцирования может применяться с использованием двойные числа прямо. В качестве альтернативы Cui et al.^[14] дать явные формулы для аналитического градиента. Последнее было получено путем введения эквивалентной, но поддающейся обработке формы характеристической функции Хестона.

Смотрите также

• Стохастическая волатильность
• Риск-нейтральная мера (другое название эквивалентной меры мартингейла)
• Теорема Гирсанова
• Мартингейл (теория вероятностей)
• Модель волатильности SABR
• Код MATLAB для реализации Kahl, Jäckel и Lord

Рекомендации

1. Хестон, Стивен Л. (1993). «Закрытое решение для опционов со стохастической волатильностью с приложениями к облигациям и валютным опционам». Обзор финансовых исследований. 6 (2): 327–343. Дои:10.1093 / rfs / 6.2.327. JSTOR  2962057.
2. Уилмотт, П. (2006), Пол Уилмотт о количественных финансах (2-е изд.), С. 861
3. Albrecher, H .; Mayer, P .; Schoutens, W .; Тистерт, Дж. (Январь 2007 г.), "Ловушка Маленького Хестона", Журнал Wilmott: 83–92, CiteSeerX  10.1.1.170.9335
4. Kahl, C .; Jäckel, П. (2005). «Несложные логарифмы в модели Хестона» (PDF). Журнал Wilmott: 74–103.
5. Carr, P .; Мадан, Д. (1999). «Оценка опционов с использованием быстрого преобразования Фурье» (PDF). Журнал вычислительных финансов. 2 (4): 61–73. CiteSeerX  10.1.1.6.9994. Дои:10.21314 / JCF.1999.043.
6. Grzelak, L.A .; Остерли, C.W. (2011). «О модели Хестона со стохастическими процентными ставками». SIAM J. Финансовая математика. 2: 255–286. Дои:10.1137/090756119.
7. Benhamou, E .; Gobet, E .; Мири, М. (2009). "Модель Хестона, зависящая от времени". CiteSeerX  10.1.1.657.6271. Дои:10.2139 / ssrn.1367955. SSRN  1367955.
8. Christoffersen, P .; Heston, S .; Джейкобс, К. (2009). «Форма и временная структура ухмылки индексного опциона: почему многофакторные модели стохастической волатильности работают так хорошо». SSRN  1447362.
9. Gauthier, P .; Посамай, Д. (2009), Эффективное моделирование модели двойного Хестона, SSRN  1434853
10. Курицын, М. (2018). «Явные решения Хестона и стохастическая аппроксимация для ценообразования опционов в зависимости от пути». Международный журнал теоретических и прикладных финансов. 21 (бумага 1850006): 1850006. arXiv:1608.02028. Дои:10.1142 / S0219024918500061.
11. ван дер Вейст, Роэль (2017). «Численные решения для стохастической модели локальной волатильности».
12. Гийом, Флоренция (23 апреля 2013 г.). "Модель Хестона: Калибровка обмена отклонениями". SSRN. SSRN  2255550.
13. Ле Флок, Фабьен (2018). «Адаптивная квадратура Филона для моделей стохастической волатильности». Журнал вычислительных финансов. 22 (3): 65–88. Дои:10.21314 / JCF.2018.356.
14. Йиран Цуй; Себастьян дель Баньо Роллин; Гвидо Германо (26 мая 2016 г.). «Полная и быстрая калибровка модели стохастической волатильности Хестона». arXiv:1511.08718 [q-fin.CP ].

• Дамгани, Бабак Махдави; Кос, Эндрю (2013). «Деарбитраж со слабой улыбкой: применение для искажения риска». Уилмотт. 2013 (1): 40–49. Дои:10.1002 / wilm.10201.