Генератор бесконечно малых (случайные процессы) - Infinitesimal generator (stochastic processes)

Эта статья о генераторе бесконечно малых для общих случайных процессов. По поводу генераторов для частного случая цепей Маркова с конечным состоянием и непрерывным временем см. матрица скорости перехода.

В математика - в частности, в стохастический анализ - в бесконечно малый генератор из Валочный процесс (т.е. марковский процесс с непрерывным временем, удовлетворяющий определенным условиям регулярности) является оператор в частных производных который кодирует большой объем информации о процессе. Генератор используется в уравнениях эволюции, таких как Колмогорова обратное уравнение (который описывает эволюцию статистики процесса); это L² Эрмитово сопряженный используется в уравнениях эволюции, таких как Уравнение Фоккера – Планка (который описывает эволюцию функции плотности вероятности процесса).^{[нужна цитата ]}

Определение

Общий случай

Для d-мерного Валочный процесс ${displaystyle (X_{t})_{tgeq 0}}$ мы определяем генератор ${displaystyle A}$ к

${displaystyle Af(x):=lim _{tdownarrow 0}{frac {mathbb {E} ^{x}(f(X_{t}))-f(x)}{t}}}$

всякий раз, когда этот предел существует в ${displaystyle {overline {C_{c}^{0}(mathbb {R} ^{d})}}subset (C^{0}(mathbb {R} ^{d}),|cdot |_{infty })}$, т.е. в пространстве непрерывных функций ${displaystyle mathbb {R} ^{d} o mathbb {R} }$ исчезают на бесконечности.

Это определение аналогично определению бесконечно малый генератор ${displaystyle C^{0}}$-полугруппа.^{[требуется разъяснение ]}

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые броуновским движением

Позволять ${ extstyle X:[0,infty ) imes Omega ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ определено на вероятностное пространство ${ extstyle (Omega ,{mathcal {F}},P)}$ быть Ито диффузия удовлетворение стохастическое дифференциальное уравнение формы:

${displaystyle mathrm {d} X_{t}=b(X_{t}),mathrm {d} t+sigma (X_{t}),mathrm {d} B_{t}}$

куда ${displaystyle B}$ является м-размерный Броуновское движение и ${displaystyle b:mathbb {R} ^{n}ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ и ${displaystyle sigma :mathbb {R} ^{n}ightarrow mathbb {R} ^{n imes m}}$ - поля дрейфа и диффузии соответственно. Для точки ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$, позволять ${displaystyle mathbb {P} ^{x}}$ обозначают закон ${displaystyle X}$ с учетом исходных данных ${displaystyle X_{0}=x}$, и разреши ${displaystyle mathbb {E} ^{x}}$ обозначают ожидание относительно ${displaystyle mathbb {P} ^{x}}$.

В бесконечно малый генератор из ${displaystyle X}$ оператор ${displaystyle {mathcal {A}}}$, который определен, чтобы действовать на подходящие функции ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}ightarrow mathbb {R} }$ к:

${displaystyle {mathcal {A}}f(x)=lim _{tdownarrow 0}{frac {mathbb {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}}$

Набор всех функций ${displaystyle f}$ для которого этот предел существует в точке ${displaystyle x}$ обозначается ${displaystyle D_{mathcal {A}}(x)}$, пока ${displaystyle D_{mathcal {A}}}$ обозначает множество всех ${displaystyle f}$ для которого предел существует для всех ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$. Можно показать, что любой компактно поддерживаемый ${displaystyle C^{2}}$ (дважды дифференцируемый с непрерывный вторая производная) функция ${displaystyle f}$ лежит в ${displaystyle D_{mathcal {A}}}$ и что:

${displaystyle {mathcal {A}}f(x)=sum _{i}b_{i}(x){frac {partial f}{partial x_{i}}}(x)+{frac {1}{2}}sum _{i,j}{ig (}sigma (x)sigma (x)^{ op }{ig )}_{i,j}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i},partial x_{j}}}(x)}$

Или, с точки зрения градиент и скаляр и Внутренние продукты Фробениуса:

${displaystyle {mathcal {A}}f(x)=b(x)cdot abla _{x}f(x)+{frac {1}{2}}{ig (}sigma (x)sigma (x)^{ op }{ig )}:abla _{x}abla _{x}f(x)}$

Генераторы некоторых общих процессов

• Для цепей Маркова с конечным состоянием и непрерывным временем генератор может быть выражен как матрица скорости перехода
• Стандартное броуновское движение на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${displaystyle dX_{t}=dB_{t}}$, есть генератор ${ extstyle {1 over {2}}Delta }$, куда ${displaystyle Delta }$ обозначает Оператор Лапласа.
• Двумерный процесс ${displaystyle Y}$ удовлетворение:

${displaystyle mathrm {d} Y_{t}={mathrm {d} t choose mathrm {d} B_{t}}}$

куда ${displaystyle B}$ представляет собой одномерное броуновское движение, может рассматриваться как график этого броуновского движения и имеет генератор:

${displaystyle {mathcal {A}}f(t,x)={frac {partial f}{partial t}}(t,x)+{frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}(t,x)}$

• В Процесс Орнштейна – Уленбека на ${displaystyle mathbb {R} }$, которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${ extstyle dX_{t}= heta (mu -X_{t})dt+sigma dB_{t}}$, имеет генератор:

${displaystyle {mathcal {A}}f(x)= heta (mu -x)f'(x)+{frac {sigma ^{2}}{2}}f''(x)}$

• Точно так же граф процесса Орнштейна – Уленбека имеет генератор:

${displaystyle {mathcal {A}}f(t,x)={frac {partial f}{partial t}}(t,x)+ heta (mu -x){frac {partial f}{partial x}}(t,x)+{frac {sigma ^{2}}{2}}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}(t,x)}$

• А геометрическое броуновское движение на ${displaystyle mathbb {R} }$, которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${ extstyle dX_{t}=rX_{t}dt+alpha X_{t}dB_{t}}$, имеет генератор:

${displaystyle {mathcal {A}}f(x)=rxf'(x)+{frac {1}{2}}alpha ^{2}x^{2}f''(x)}$

Смотрите также

• Формула Дынкина

Рекомендации

• Калин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями. Сингапур: World Scientific Publishing. п. 315. ISBN  978-981-4678-93-3. (См. Главу 9)
• Эксендаль, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. Дои:10.1007/978-3-642-14394-6. ISBN  3-540-04758-1. (См. Раздел 7.3)