Геометрическое броуновское движение - Geometric Brownian motion

А геометрическое броуновское движение (GBM) (также известен как экспоненциальное броуновское движение) является непрерывным случайный процесс в которой логарифм случайно изменяющейся величины следует за Броуновское движение (также называемый Винеровский процесс ) с дрейф.^[1] Это важный пример случайных процессов, удовлетворяющих стохастическое дифференциальное уравнение (SDE); в частности, он используется в математические финансы моделировать цены на акции в Модель Блэка – Шоулза.

Техническое определение: SDE

Стохастический процесс S_т считается, что он следует за GBM, если он удовлетворяет следующим условиям стохастическое дифференциальное уравнение (SDE):

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

куда ${\displaystyle W_{t}}$ это Винеровский процесс или броуновское движение, и ${\displaystyle \mu }$ ('процентный дрейф') и ${\displaystyle \sigma }$ («процентная волатильность») являются константами.

Первый используется для моделирования детерминированных тенденций, а второй термин часто используется для моделирования набора непредсказуемых событий, происходящих во время этого движения.

Решение SDE

Для произвольного начального значения S₀ указанное выше СДУ имеет аналитическое решение (при Интерпретация Ито ):

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right).}$

Для вывода требуется использование Исчисление Ито. Применение Формула Ито приводит к

${\displaystyle d(\ln S_{t})=(\ln S_{t})'dS_{t}+{\frac {1}{2}}(\ln S_{t})''\,dS_{t}\,dS_{t}={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}\,dS_{t}}$

куда ${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}}$ это квадратичная вариация ДЗО.

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dW_{t}^{2}+2\sigma S_{t}^{2}\mu \,dW_{t}\,dt+\mu ^{2}S_{t}^{2}\,dt^{2}}$

Когда ${\displaystyle dt\to 0}$, ${\displaystyle dt}$ сходится к 0 быстрее, чем ${\displaystyle dW_{t}}$, поскольку ${\displaystyle dW_{t}^{2}=O(dt)}$. Таким образом, указанное выше бесконечно малое можно упростить с помощью

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt}$

Подключаем значение ${\displaystyle dS_{t}}$ в приведенном выше уравнении и упрощая, получаем

${\displaystyle \ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,.}$

Взяв экспоненту и умножив обе части на ${\displaystyle S_{0}}$ дает решение, заявленное выше.

Характеристики

Вышеупомянутое решение ${\displaystyle S_{t}}$ (для любого значения t) является лог-нормально распределенный случайная переменная с ожидаемое значение и отклонение данный^[2]

${\displaystyle \operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).}$

Их можно вывести, используя тот факт, что ${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)}$ это мартингейл, и это

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(t-s)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.}$

В функция плотности вероятности из ${\displaystyle S_{t}}$ является:

${\displaystyle f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).}$

Вывод функции плотности вероятности GBM

Чтобы получить функцию плотности вероятности для GBM, мы должны использовать Уравнение Фоккера-Планка для оценки временной эволюции PDF: ${\displaystyle {\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial S}}[\mu (t,S)p(t,S)]={1 \over {2}}{\partial ^{2} \over {\partial S^{2}}}[\sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],\quad p(0,S)=\delta (S)}$ куда ${\displaystyle \delta (S)}$ это Дельта-функция Дирака. Чтобы упростить вычисления, мы можем ввести логарифмическое преобразование ${\displaystyle x=\log(S/S_{0})}$, что приводит к форме GBM: ${\displaystyle dx=\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dW}$ Тогда эквивалентное уравнение Фоккера-Планка для эволюции PDF принимает вид: ${\displaystyle {\partial p \over {\partial t}}+\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right){\partial p \over {\partial x}}={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2}p \over {\partial x^{2}}},\quad p(0,x)=\delta (x)}$ Определять ${\displaystyle V=\mu -\sigma ^{2}/2}$ и ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$. Вводя новые переменные ${\displaystyle \xi =x-Vt}$ и ${\displaystyle \tau =Dt}$, производные в уравнении Фоккера-Планка могут быть преобразованы как: ${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}p&=D\partial _{\tau }p-V\partial _{\xi }p\\\partial _{x}p&=\partial _{\xi }p\\\partial _{x}^{2}p&=\partial _{\xi }^{2}p\end{aligned}}}$ Приводя к новой форме уравнения Фоккера-Планка: ${\displaystyle {\partial p \over {\partial \tau }}={\partial ^{2}p \over {\partial \xi ^{2}}},\quad p(0,\xi )=\delta (\xi )}$ Однако это каноническая форма уравнение теплопроводности. который имеет решение, данное тепловое ядро: ${\displaystyle p(\tau ,\xi )={1 \over {\sqrt {4\pi \tau }}}\exp \left(-{\xi ^{2} \over {4\tau }}\right)}$ Добавление исходных переменных приводит к PDF для GBM: ${\displaystyle p(t,S)={1 \over {S{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}}\exp \left\{-{\left[\log(S/S_{0})-\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)t\right]^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right\}}$

При выводе дополнительных свойств GBM можно использовать SDE, решением которой является GBM, или можно использовать явное решение, данное выше. Например, рассмотрим журнал случайных процессов (S_т). Это интересный процесс, потому что в модели Блэка – Шоулза он связан с возврат журнала от стоимости акций. С помощью Лемма Ито с ж(S) = журнал (S) дает

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}}$

Следует, что ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$.

Этот результат также может быть получен путем применения логарифма к явному решению GBM:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}}$

Принятие ожидания дает тот же результат, что и выше: ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$.

Моделирование траекторий образца

# Python код для сюжетаимпорт тупой так как нпимпорт matplotlib.pyplot так как pltму = 1п = 50dt = 0.1x0 = 100нп.случайный.семя(1)сигма = нп.оранжевая(0.8, 2, 0.2)Икс = нп.exp(    (му - сигма ** 2 / 2) * dt    + сигма * нп.случайный.нормальный(0, нп.sqrt(dt), размер=(len(сигма), п)).Т)Икс = нп.vstack([нп.те(len(сигма)), Икс])Икс = x0 * Икс.шлепок(ось=0)plt.участок(Икс)plt.легенда(нп.круглый(сигма, 2))plt.xlabel("$ t $")plt.ярлык("$ x $")plt.заглавие(    "Реализации геометрического броуновского движения с различными дисперсиями. п $  mu = 1 $ ")plt.шоу()

Многовариантная версия

GBM можно расширить до случая, когда существует несколько коррелированных ценовых путей.

Каждый ценовой путь следует основному процессу

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i},}$

где винеровские процессы коррелированы так, что ${\displaystyle \operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt}$ куда ${\displaystyle \rho _{i,i}=1}$.

Для многомерного случая это означает, что

${\displaystyle \operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).}$

Использование в финансах

Основная статья: Модель Блэка – Шоулза

Геометрическое броуновское движение используется для моделирования цен акций в модели Блэка – Шоулза и является наиболее широко используемой моделью поведения курса акций.^[3]

Вот некоторые из аргументов в пользу использования GBM для моделирования цен на акции:

• Ожидаемая доходность GBM не зависит от стоимости процесса (цены акций), что согласуется с тем, что мы ожидаем в реальности.^[3]
• Процесс GBM принимает только положительные значения, как и реальные цены на акции.
• Процесс GBM демонстрирует ту же «грубость» на своем пути, что и реальные цены на акции.
• Расчеты с процессами GBM относительно просты.

Однако GBM не является полностью реалистичной моделью, в частности, она не соответствует действительности по следующим пунктам:

• В реальных ценах на акции волатильность со временем меняется (возможно, стохастически ), но в GBM волатильность считается постоянной.
• В реальной жизни цены на акции часто демонстрируют скачки, вызванные непредсказуемыми событиями или новостями, но в GBM этот путь является непрерывным (без разрывов).

Расширения

В попытке сделать GBM более реалистичным в качестве модели цен на акции можно отказаться от предположения, что волатильность (${\displaystyle \sigma }$) постоянна. Если предположить, что волатильность детерминированный функция цены акции и времени, это называется местная волатильность модель. Если вместо этого мы предположим, что волатильность имеет собственную случайность - часто описываемую другим уравнением, управляемым другим броуновским движением, - модель называется стохастическая волатильность модель.

Смотрите также

• Броуновская поверхность

Рекомендации

1. Росс, Шелдон М. (2014). «Вариации на тему броуновского движения». Введение в вероятностные модели (11-е изд.). Амстердам: Эльзевир. С. 612–14. ISBN  978-0-12-407948-9.
2. Эксендал, Бернт К. (2002), Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями, Springer, стр. 326, ISBN  3-540-63720-6
3. Халл, Джон (2009). «12,3». Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (7-е изд.).

внешняя ссылка

• Геометрические модели броуновского движения для движения акций, за исключением редких случаев.
• Моделирование геометрического броуновского движения на R и C #
• Моделирование геометрического броуновского движения в Excel для моделирования цен на акции
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах».

• Сайт неньютоновского исчисления