Закон нуля – единицы Энгельберта – Шмидта. - Engelbert–Schmidt zero–one law

В Закон нуля – единицы Энгельберта – Шмидта. - это теорема, которая дает математический критерий того, что событие, связанное с непрерывным неубывающим аддитивным функционалом броуновского движения, имеет вероятность 0 или 1 без возможности промежуточного значения. Этот закон нуля или единицы используется при исследовании вопросов конечности и асимптотики для стохастические дифференциальные уравнения.^[1] (А Винеровский процесс математическая формализация броуновского движения, используемая в формулировке теоремы.) Этот закон 0-1, опубликованный в 1981 году, назван в честь Ханса-Юргена Энгельберта.^[2] и вероятностный Вольфганг Шмидт^[3] (не путать с теоретиком чисел Вольфганг М. Шмидт ).

Закон Энгельберта – Шмидта 0–1

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ быть σ-алгебра и разреши ${\displaystyle F=({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$ быть увеличивающейся семьей суб-σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Позволять ${\displaystyle (W,F)}$ быть Винеровский процесс на вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.Предположим, что ${\displaystyle f}$ это Измеримый по Борелю функция вещественной прямой в [0, ∞]. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

(я) ${\displaystyle P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0}$.

(ii) ${\displaystyle P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1}$.

(iii) ${\displaystyle \int _{K}f(y)\,\mathrm {d} y<\infty \,}$ для всех компактных подмножеств ${\displaystyle K}$ реальной линии.^[4]

Расширение на стабильные процессы

В 1997 году Пио Андреа Занзотто доказал следующее расширение закона нуля или единицы Энгельберта – Шмидта. Он содержит результат Энгельберта и Шмидта как частный случай, поскольку винеровский процесс является вещественнозначным. стабильный процесс индекса ${\displaystyle \alpha =2}$.

Позволять ${\displaystyle X}$ быть ${\displaystyle \mathbb {R} }$-значен стабильный процесс индекса ${\displaystyle \alpha \in (1,2]}$ на отфильтрованных вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),P)}$.Предположим, что ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]}$ это Измеримый по Борелю Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

(я) ${\displaystyle P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0}$.

(ii) ${\displaystyle P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1}$.

(iii) ${\displaystyle \int _{K}f(y)\,\mathrm {d} y<\infty \,}$ для всех компактных подмножеств ${\displaystyle K}$ реальной линии.^[5]

Доказательство результата Занзотто почти идентично доказательству закона нуля или единицы Энгельберта – Шмидта. Ключевым объектом доказательства является местное время процесс, связанный со стабильными процессами индекса ${\displaystyle \alpha \in (1,2]}$, который, как известно, совместно непрерывен.^[6]

Смотрите также

• закон нуля или единицы

Рекомендации

1. Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен (2012). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer. п. 215.
2. Ханс-Юрген Энгельберт на Проект "Математическая генеалогия"
3. Вольфганг Шмидт на Проект "Математическая генеалогия"
4. Engelbert, H.J .; Шмидт, В. (1981). «О поведении некоторых функционалов винеровского процесса и приложениях к стохастическим дифференциальным уравнениям». В Арато, М .; Vermes, D .; Балакришнан, А.В. (ред.). Стохастические дифференциальные системы. Конспект лекций в области управления и информатики, т. 36. Берлин; Гейдельберг: Springer. С. 47–55. Дои:10.1007 / BFb0006406.
5. Занзотто, П. А. (1997). "О решениях одномерных стохастических дифференциальных уравнений, управляемых устойчивым движением Леви". Случайные процессы и их приложения. 68: 209–228. Дои:10.1214 / aop / 1023481008.
6. Бертуан Дж. (1996). Процессы Леви, теоремы V.1, V.15. Издательство Кембриджского университета.