Местное время (математика) - Local time (mathematics) - Wikipedia

Примерный путь процесса Itō вместе с его поверхностью местного времени.

в математический теория случайные процессы, местное время случайный процесс, связанный с семимартингал такие процессы как Броуновское движение, который характеризует количество времени, которое частица провела на заданном уровне. Местное время отображается в различных стохастическая интеграция формулы, такие как Формула Танаки, если подынтегральное выражение недостаточно гладкое. Это также изучается в статистической механике в контексте случайные поля.

Формальное определение

Для непрерывного вещественного семимартингала ${\displaystyle (B_{s})_{s\geq 0}}$, местное время ${\displaystyle B}$ в момент ${\displaystyle x}$ - случайный процесс, который неформально определяется

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s},}$

куда ${\displaystyle \delta }$ это Дельта-функция Дирака и ${\displaystyle [B]}$ это квадратичная вариация. Это понятие изобретено Поль Леви. Основная идея заключается в том, что ${\displaystyle L^{x}(t)}$ является (соответствующим образом масштабируемым и параметризованным по времени) показателем того, сколько времени ${\displaystyle B_{s}}$ провел в ${\displaystyle x}$ до времени ${\displaystyle t}$. Более строго, это можно записать как почти верный предел

${\displaystyle L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s},}$

которые всегда можно показать. Обратите внимание, что в частном случае броуновского движения (или, в более общем смысле, действительного значения распространение формы ${\displaystyle dB=b(t,B)dt+dW}$ куда ${\displaystyle W}$ - броуновское движение), член ${\displaystyle d[B]_{s}}$ просто сводится к ${\displaystyle ds}$, что объясняет, почему оно называется местным временем ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle x}$. Для дискретного процесса в пространстве состояний ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$, местное время можно выразить проще как^[1]

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds.}$

Формула Танаки

Формула Танаки также дает определение местного времени для произвольного непрерывного семимартингала. ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} :}$^[2]

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.}$

Более общая форма была независимо доказана Мейером.^[3] и Ванга;^[4] формула расширяет лемму Ито для дважды дифференцируемых функций на более общий класс функций. Если ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ абсолютно непрерывна с производной ${\displaystyle F',}$ имеющего ограниченную вариацию, то

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF''(x),}$

куда ${\displaystyle F'_{-}}$ - левая производная.

Если ${\displaystyle X}$ является броуновским движением, то для любого ${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$ поле местного времени ${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$ имеет модификацию a.s. Гёльдера непрерывно в ${\displaystyle x}$ с показателем ${\displaystyle \alpha }$, равномерно для ограниченного ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$.^[5] В целом, ${\displaystyle L}$ имеет модификацию a.s. непрерывно в ${\displaystyle t}$ и càdlàg в ${\displaystyle x}$.

Формула Танаки дает явное Разложение Дуба – Мейера для одномерного отражающего броуновского движения ${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$.

Теоремы Рэя – Найта

Поле местного времени ${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$ связанный со случайным процессом в пространстве ${\displaystyle E}$ - хорошо изученная тема в области случайных полей. Теоремы типа Рэя – Найта связывают поле L_т ассоциированному Гауссовский процесс.

В общем случае теоремы типа Рэя – Найта первого рода рассматривают поле L_т во время достижения основного процесса, в то время как теоремы второго типа выражаются в терминах времени остановки, при котором поле местного времени сначала превышает заданное значение.

Первая теорема Рэя – Найта.

Позволять (B_т)_{т ≥ 0} - одномерное броуновское движение, начавшееся с B₀ = а > 0 и (W_т)_т≥0 - стандартное двумерное броуновское движение W₀ = 0 ∈ р². Определите время остановки, в которое B сначала попадает в начало, ${\displaystyle T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}}$. Рэй^[6] и рыцарь^[7] (независимо) показали, что

${\displaystyle \left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,}$

(1)

куда (L_т)_{т ≥ 0} - поле местного времени (B_т)_{т ≥ 0}, а равенство находится в распределении на C[0, а]. Процесс |W_Икс|² известен как квадрат Бесселевский процесс.

Вторая теорема Рэя – Найта.

Позволять (B_т)_{т ≥ 0} - стандартное одномерное броуновское движение B₀ = 0 ∈ р, и разреши (L_т)_{т ≥ 0} быть связанным полем местного времени. Позволять Т_а быть первым, когда местное время в ноль превышает а > 0

${\displaystyle T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.}$

Позволять (W_т)_{т ≥ 0} - независимое одномерное броуновское движение, начавшееся с W₀ = 0, то^[8]

${\displaystyle \left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,}$

(2)

Эквивалентно процесс ${\displaystyle (L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}}$ (который является процессом в пространственной переменной ${\displaystyle x}$) равна по распределению квадрату 0-мерного Бесселевский процесс, и как таковой является марковским.

Обобщенные теоремы Рэя – Найта.

Результаты типа Рэя – Найта для более общих случайных процессов интенсивно изучаются, и аналогичные утверждения обоих (1) и (2) известны для сильно симметричных марковских процессов.

Смотрите также

• Формула Танаки
• Броуновское движение
• Случайное поле

Примечания

1. Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer.
2. Калленберг (1997). Основы современной вероятности. Нью-Йорк: Спрингер. стр.428 –449. ISBN  0387949577.
3. Мейер, Поль-Андре (2002) [1976]. "Un Cours Sur les intégrales stochastiques". Seminaire de probabilités 1967–1980. Lect. Заметки по математике. 1771. С. 174–329. Дои:10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN  978-3-540-42813-8.
4. Ван (1977). «Обобщенная формула Ито и аддитивные функционалы броуновского движения». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 41 (2): 153–159. Дои:10.1007 / bf00538419. S2CID  123101077.
5. Калленберг (1997). Основы современной вероятности. Нью-Йорк: Спрингер. стр.370. ISBN  0387949577.
6. Рэй, Д. (1963). «Время пребывания диффузионного процесса». Иллинойсский журнал математики. 7 (4): 615–630. Дои:10.1215 / ijm / 1255645099. МИСТЕР  0156383. Zbl  0118.13403.
7. Найт, Ф. Б. (1963). «Случайные блуждания и процесс плотности пребывания броуновского движения». Труды Американского математического общества. 109 (1): 56–86. Дои:10.2307/1993647. JSTOR  1993647.
8. Маркус; Розен (2006). Марковские процессы, гауссовские процессы и локальные времена. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.53 –56. ISBN  0521863007.

Рекомендации

• К. Л. Чанг и Р. Дж. Уильямс, Введение в стохастическую интеграцию, 2-е издание, 1990 г., Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-3386-8.
• М. Маркус и Дж. Розен, Марковские процессы, гауссовские процессы и локальные времена, 1-е издание, 2006 г., Cambridge University Press ISBN  978-0-521-86300-1
• П. Мортирс, Ю. Перес, Броуновское движение, 1-е издание, 2010 г., Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-76018-8.