Точечный процесс - Point process

В статистика и теория вероятности, а точечный процесс или же точечное поле представляет собой набор математических точек, случайно расположенных в некотором базовом математическом пространстве, таком как вещественная линия, декартова плоскость или более абстрактные пространства. Точечные процессы могут использоваться как математические модели явлений или объектов, представленных как точки в некотором типе пространства.

Существуют различные математические интерпретации точечного процесса, такие как случайный счетчик или случайный набор.^[1][2] Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и случайный процесс как два разных объекта, так что точечный процесс - это случайный объект, который возникает из стохастического процесса или связан с ним,^[3][4] хотя было отмечено, что разница между точечными процессами и случайными процессами не ясна.^[4] Другие рассматривают точечный процесс как случайный процесс, в котором процесс индексируется наборами базового пространства.^[а] на котором он определен, например, действительная линия или ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство.^[7][8] Другие случайные процессы, такие как процессы обновления и счета, изучаются в теории точечных процессов.^[9][10] Иногда термин «точечный процесс» не является предпочтительным, поскольку исторически слово «процесс» обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называется случайным точечным полем.^[11]

Точечные процессы - хорошо изученные объекты в теория вероятности^[12][13] и предметом мощных инструментов в статистика для моделирования и анализа пространственные данные,^[14][15] который представляет интерес в таких разнообразных дисциплинах, как лесное хозяйство, экология растений, эпидемиология, география, сейсмология, материаловедение, астрономия, телекоммуникации, вычислительная нейробиология,^[16] экономика^[17] и другие.

Точечные процессы на реальной прямой образуют важный частный случай, который особенно удобен для изучения.^[18] потому что точки упорядочены естественным образом, и весь процесс точки может быть полностью описан (случайными) интервалами между точками. Эти точечные процессы часто используются в качестве моделей случайных событий во времени, таких как поступление заявок в очередь (теория массового обслуживания ), импульсов в нейроне (вычислительная нейробиология ), частицы в счетчик Гейгера, расположение радиостанций в телекоммуникационная сеть^[19] или поисков на Всемирная паутина.

Общая теория точечных процессов

В математике точечный процесс - это случайный элемент чьи значения являются "точечными шаблонами" на набор S. Хотя в точном математическом определении точечный образец определяется как локально конечный счетная мера, для более прикладных целей достаточно рассматривать точечный узор как счетный подмножество S у которого нет предельные точки.^{[требуется разъяснение ]}

Определение

Чтобы определить общие точечные процессы, мы начнем с вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, и измеримое пространство ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ куда ${\displaystyle S}$ это локально компактныйвторой счетный Пространство Хаусдорфа и ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ это егоБорелевская σ-алгебра. Рассмотрим теперь целочисленное локально конечное ядро ${\displaystyle \xi }$из ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ в ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$, то есть отображение${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$ такой, что:

1. Для каждого ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, ${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$ является локально конечной мерой на ${\displaystyle S}$.^{[требуется разъяснение ]}
2. Для каждого ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$, ${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \mapsto \mathbb {Z} _{+}}$ случайная величина над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$.

Это ядро ​​определяет случайная мера следующим образом. Мы хотели бы думать о ${\displaystyle \xi }$как определение отображения, которое отображает ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ в меру ${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$(а именно, ${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$),куда ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ - множество всех локально конечных мер на ${\displaystyle S}$.Теперь, чтобы сделать это отображение измеримым, нам нужно определить ${\displaystyle \sigma }$-поле над ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$.Этот ${\displaystyle \sigma }$-поле строится как минимальная алгебра, так что все оценочные карты вида${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$, куда ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$ является относительно компактный, измеримы. Оборудован этим ${\displaystyle \sigma }$-поле, тогда ${\displaystyle \xi }$ случайный элемент, где для каждого${\displaystyle \omega \in \Omega }$, ${\displaystyle \xi _{\omega }}$ является локально конечной мерой над ${\displaystyle S}$.

Теперь по точечный процесс на ${\displaystyle S}$ мы просто имеем в виду целочисленная случайная мера (или, что то же самое, целочисленное ядро) ${\displaystyle \xi }$ построено, как указано выше. Наиболее распространенный пример для пространства состояний S евклидово пространство р^п или их подмножество, где особенно интересный частный случай представлен действительной полупрямой [0, ∞). Однако точечные процессы не ограничиваются этими примерами и могут, среди прочего, также использоваться, если точки сами являются компактными подмножествами р^п, в таком случае ξ обычно называют процесс частиц.

Было отмечено^{[нужна цитата ]} что термин точечный процесс не очень хорошо, если S не является подмножеством реальной прямой, так как это может указывать на то, что ξ случайный процесс. Однако этот термин хорошо известен и неоспорим даже в общем случае.

Представление

Каждый экземпляр (или событие) точечного процесса ξ можно представить как

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

куда ${\displaystyle \delta }$ обозначает Мера Дирака, п является целочисленной случайной величиной и ${\displaystyle X_{i}}$ случайные элементы S. Если ${\displaystyle X_{i}}$есть почти наверняка различные (или, что то же самое, почти наверняка ${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$), то точечный процесс известен как просто.

Еще одно отличное, но полезное представление события (событие в пространстве событий, то есть серия точек) - это нотация счета, где каждый экземпляр представлен как ${\displaystyle N(t)}$ function, непрерывная функция, которая принимает целые значения: ${\displaystyle N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} ^{+}}}$:

${\displaystyle N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)dt}$

что является количеством событий в интервале наблюдения ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$. Иногда его обозначают как ${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$, и ${\displaystyle N_{T}}$ или же ${\displaystyle N(T)}$ иметь в виду ${\displaystyle N_{0,T}}$.

Мера ожидания

Основная статья: Мера интенсивности

В мера ожидания Eξ (также известен как средняя мера) точечного процесса ξ является мерой на S который присваивает каждому борелевскому подмножеству B из S ожидаемое количество баллов ξ в B. То есть,

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.}$

Функционал Лапласа

В Функционал Лапласа ${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$ точечного процесса N есть карта из множества всех положительнозначных функций ж на пространстве состояний N, к ${\displaystyle [0,\infty )}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

Они играют ту же роль, что и характеристические функции за случайная переменная. Одна важная теорема гласит: два точечных процесса имеют одинаковый закон, если их функционалы Лапласа равны.

Момент измерения

Основная статья: Момент измерения

В ${\displaystyle n}$-я степень точечного процесса, ${\displaystyle \xi ^{n},}$ определяется в пространстве продукта ${\displaystyle S^{n}}$ следующее :

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

К теорема о монотонном классе, это однозначно определяет меру продукта на ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$ Ожидание ${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$ называется ${\displaystyle n}$ th момент измерения. Мера первого момента - это средняя мера.

Позволять ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ . В совместная интенсивность точечного процесса ${\displaystyle \xi }$ w.r.t. в Мера Лебега функции ${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$ такое, что для любых непересекающихся ограниченных борелевских подмножеств ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

Совместные интенсивности не всегда существуют для точечных процессов. При условии моменты из случайная переменная Для определения случайной величины во многих случаях аналогичный результат следует ожидать для совместной интенсивности. Действительно, это было показано во многих случаях.^[13]

Стационарность

Точечный процесс ${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$ как говорят стационарный если ${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$ имеет то же распределение, что и ${\displaystyle \xi }$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$ Для стационарного точечного процесса средняя мера ${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ и где ${\displaystyle \|\cdot \|}$ обозначает меру Лебега. Этот ${\displaystyle \lambda }$ называется интенсивность точечного процесса. Стационарный точечный процесс на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ почти наверняка имеет либо 0, либо бесконечное количество очков. Дополнительные сведения о стационарных точечных процессах и случайной мере см. В главе 12 книги Daley & Vere-Jones.^[13] Стационарность была определена и изучена для точечных процессов в более общих пространствах, чем ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Примеры точечных процессов

Мы увидим несколько примеров точечных процессов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Точечный процесс Пуассона

Основная статья: Точечный процесс Пуассона

Самый простой и распространенный пример точечного процесса - это Точечный процесс Пуассона, который является пространственным обобщением Пуассоновский процесс. Пуассоновский (счетный) процесс на прямой может характеризоваться двумя свойствами: количество точек (или событий) в непересекающихся интервалах независимы и имеют распределение Пуассона. Точечный процесс Пуассона также можно определить с помощью этих двух свойств. А именно мы говорим, что точечный процесс ${\displaystyle \xi }$ является точечным процессом Пуассона, если выполняются следующие два условия

1) ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$ независимы для непересекающихся подмножеств${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) Для любого ограниченного подмножества ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \xi (B)}$ имеет распределение Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda \|B\|,}$ куда${\displaystyle \|\cdot \|}$ обозначает Мера Лебега.

Эти два условия можно объединить вместе и записать следующим образом: для любых непересекающихся ограниченных подмножеств ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ и неотрицательные целые числа ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$ у нас есть это

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

Постоянная ${\displaystyle \lambda }$ называется интенсивностью точечного процесса Пуассона. Отметим, что точечный процесс Пуассона характеризуется одним параметром ${\displaystyle \lambda .}$ Это простой стационарный точечный процесс, точнее говоря, вышеупомянутый точечный процесс называется однородным точечным процессом Пуассона. An неоднородный пуассоновский процесс определяется, как указано выше, но путем замены ${\displaystyle \lambda \|B\|}$ с ${\displaystyle {\stackrel {}{}}\int _{B}\lambda (x)\,dx}$ куда ${\displaystyle \lambda }$ неотрицательная функция на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Процесс точки Кокса

А Процесс Кокса (названный в честь Сэр Дэвид Кокс ) является обобщением точечного процесса Пуассона в том смысле, что мы используем случайные меры на месте ${\displaystyle \lambda \|B\|}$. Более формально, пусть ${\displaystyle \Lambda }$ быть случайная мера. Процесс точки Кокса, управляемый случайная мера ${\displaystyle \Lambda }$ это точечный процесс ${\displaystyle \xi }$ со следующими двумя свойствами:

1. Данный ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$, ${\displaystyle \xi (B)}$ распределено Пуассона с параметром ${\displaystyle \Lambda (B)}$ для любого ограниченного подмножества ${\displaystyle B.}$
2. Для любого конечного набора непересекающихся подмножеств ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ и при условии ${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$ у нас есть это ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$ независимы.

Легко видеть, что точечные процессы Пуассона (однородные и неоднородные) следуют как частные случаи точечных процессов Кокса. Средняя мера точечного процесса Кокса равна ${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$ и, таким образом, в частном случае точечного процесса Пуассона он равен ${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

Для точечного процесса Кокса ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ называется мера интенсивности. Далее, если ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ имеет (случайную) плотность (Производная Радона – Никодима ) ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$ т.е.

${\displaystyle \Lambda (B){\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

тогда ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$ называется поле напряженности процесса точки Кокса. Стационарность мер интенсивности или полей интенсивности подразумевает стационарность соответствующих точечных процессов Кокса.

Было много конкретных классов точечных процессов Кокса, которые были подробно изучены, например:

• Логгауссовские точечные процессы Кокса:^[20] ${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$ для Гауссовское случайное поле ${\displaystyle X(.)}$
• Дробовой шум Процессы точки Кокса:,^[21] ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ для точечного процесса Пуассона ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ и ядро ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Обобщенный дробовой шум точечные процессы Кокса:^[22] ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ для точечного процесса ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ и ядро ${\displaystyle h(.,.)}$
• Точечные процессы Кокса на основе Леви:^[23] ${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$ для базиса Леви ${\displaystyle L(\cdot )}$ и ядро ${\displaystyle h(.,.)}$, и
• Перманентальные точечные процессы Кокса:^[24] ${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$ за k независимые гауссовские случайные поля ${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$с
• Сигмоидальные гауссовские точечные процессы Кокса:^[25] ${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$ для гауссовского случайного поля ${\displaystyle X(\cdot )}$ и случайный ${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

По неравенству Йенсена можно проверить, что точечные процессы Кокса удовлетворяют следующему неравенству: для всех ограниченных борелевских подмножеств ${\displaystyle B}$,

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

куда ${\displaystyle \xi _{\alpha }}$ обозначает точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности ${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$ Таким образом, точки распределяются с большей вариативностью в точечном процессе Кокса по сравнению с точечным процессом Пуассона. Иногда это называют кластеризация или же привлекательная недвижимость процесса точки Кокса.

Детерминантные точечные процессы

Важный класс точечных процессов с приложениями для физика, теория случайных матриц, и комбинаторика, это из детерминантные точечные процессы.^[26]

Процессы Хокса (самовозбуждение)

Процесс Хокса ${\displaystyle N_{t}}$, также известный как самовозбуждающийся процесс счета, представляет собой простой точечный процесс, условную интенсивность которого можно выразить как

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)dN_{s}\\&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{array}}}$

куда ${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ это функция ядра, которая выражает положительное влияние прошлых событий ${\displaystyle T_{i}}$ от текущего значения интенсивности процесса ${\displaystyle \lambda (t)}$, ${\displaystyle \mu (t)}$ - возможно нестационарная функция, представляющая ожидаемую, предсказуемую или детерминированную часть интенсивности, и ${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$ - время наступления i-го события процесса.^{[нужна цитата ]}

Геометрические процессы

Учитывая последовательность неотрицательных случайных величин:${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$, если они независимы и cdf ${\displaystyle X_{k}}$ дан кем-то ${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$ за ${\displaystyle k=1,2,\dots }$, куда ${\displaystyle a}$ положительная константа, то ${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$ называется геометрическим процессом (ГП) ^[27].

Геометрический процесс имеет несколько расширений, включая процесс серии α^[28] и дважды геометрический процесс ^[29].

Точечные процессы на реальной полуоси

Исторически первые точечные процессы, которые были изучены, имели действительную половинную линию р₊ = [0, ∞) как их пространство состояний, которое в этом контексте обычно интерпретируется как время. Эти исследования были мотивированы желанием моделировать телекоммуникационные системы,^[30] в которых точки представляют события во времени, такие как звонки на телефонную станцию.

Точечные процессы на р₊ обычно описываются последовательностью их (случайных) периодов времени между событиями (Т₁, Т₂, ...), из которой фактическая последовательность (Икс₁, Икс₂, ...) времен событий можно получить как

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

Если времена между событиями независимы и одинаково распределены, полученный точечный процесс называется процесс обновления.

Интенсивность точечного процесса

В интенсивность λ(т | ЧАС_т) точечного процесса на действительной полупрямой относительно фильтрации ЧАС_т определяется как

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

ЧАС_т может обозначать историю моментов событий, предшествующих времени т но также может соответствовать другим фильтрам (например, в случае процесса Кокса).

в ${\displaystyle N(t)}$Обозначение, это можно записать более компактно:${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t})}$.

В компенсатор точечного процесса, также известного как двойная предсказуемая проекция, - интегрированная функция условной интенсивности, определяемая формулой

${\displaystyle \Lambda ^{}(s_{},u)=\int _{s}^{u}\lambda ^{}(t|H_{t})\mathrm {d} t}$

Связанные функции

Функция интенсивности Папангелу

В Функция интенсивности Папангелу точечного процесса ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$определяется как

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

куда ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$ центр шара в ${\displaystyle x}$ радиуса ${\displaystyle \delta }$, и ${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$ обозначает информацию точечного процесса ${\displaystyle N}$за пределами ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$.

Функция правдоподобия

Логарифмическая вероятность параметризованного простого точечного процесса, обусловленного некоторыми наблюдаемыми данными, записывается как

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)dN_{s}}$^[31]

Точечные процессы в пространственной статистике

Анализ данных точечных шаблонов в компактном подмножестве S из р^п является основным объектом изучения в пространственная статистика. Такие данные появляются в широком диапазоне дисциплин,^[32] среди которых есть

• лесное хозяйство и экология растений (положение деревьев или растений в целом)
• эпидемиология (места проживания инфицированных пациентов)
• зоология (норы или гнезда животных)
• география (расположение населенных пунктов, поселков или городов)
• сейсмология (эпицентры землетрясений)
• материаловедение (позиции дефектов промышленных материалов)
• астрономия (расположение звезд или галактик)
• вычислительная нейробиология (спайки нейронов).

Необходимость использования точечных процессов для моделирования данных такого рода обусловлена ​​их внутренней пространственной структурой. Соответственно, часто первый вопрос, представляющий интерес, заключается в том, демонстрируют ли данные данные полная пространственная случайность (т.е. являются реализацией пространственного Пуассоновский процесс ) в отличие от проявления либо пространственной агрегации, либо пространственного торможения.

Напротив, многие наборы данных, рассматриваемые в классической многомерная статистика состоят из независимо сгенерированных точек данных, которыми могут управлять одна или несколько ковариат (обычно непространственных).

Помимо приложений в пространственной статистике, точечные процессы являются одним из фундаментальных объектов в стохастическая геометрия. Исследования также были сосредоточены на различных моделях, построенных на точечных процессах, таких как мозаика Вороного, случайные геометрические графы, логическая модель и т. Д.

Смотрите также

• Эмпирическая мера
• Случайная мера
• Обозначение точечного процесса
• Точечный процесс операции
• Пуассоновский процесс
• Теория обновления
• Инвариантная мера
• Оператор трансфера
• Оператор Купмана
• Оператор сдвига

Примечания

1. В контексте точечных процессов термин "пространство состояний" может означать пространство, в котором определяется точечный процесс, например реальная линия,^[5][6] что соответствует индексу, установленному в терминологии случайных процессов.

Рекомендации

1. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Вили и сыновья. п. 108. ISBN  978-1-118-65825-3.
2. Мартин Хенгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN  978-1-107-01469-5.
3. Д.Дж. Дейли; Д. Вер-Джонс (10 апреля 2006 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. п. 194. ISBN  978-0-387-21564-8.
4. D.R. Кокс; Валери Ишам (17 июля 1980 г.). Точечные процессы. CRC Press. п. 3. ISBN  978-0-412-21910-8.
5. Дж. Ф. К. Кингман (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 8. ISBN  978-0-19-159124-2.
6. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек. CRC Press. п. 7. ISBN  978-0-203-49693-0.
7. Сэмюэл Карлин; Ховард Э. Тейлор (2 декабря 2012 г.). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 31. ISBN  978-0-08-057041-9.
8. Фолькер Шмидт (24 октября 2014 г.). Стохастическая геометрия, пространственная статистика и случайные поля: модели и алгоритмы. Springer. п. 99. ISBN  978-3-319-10064-7.
9. Д.Дж. Дейли; Д. Вер-Джонс (10 апреля 2006 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-21564-8.
10. D.R. Кокс; Валери Ишам (17 июля 1980 г.). Точечные процессы. CRC Press. ISBN  978-0-412-21910-8.
11. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Меке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Вили и сыновья. п. 109. ISBN  978-1-118-65825-3.
12. Калленберг, О. (1986). Случайные меры, 4-е изд. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон; Akademie-Verlag, Берлин. ISBN  0-12-394960-2, МИСТЕР854102.
13. Дейли, Д.Дж., Вер-Джонс, Д. (1988). Введение в теорию точечных процессов. Спрингер, Нью-Йорк. ISBN  0-387-96666-8, МИСТЕР950166.
14. Диггл, П. (2003). Статистический анализ пространственных паттернов точек, 2-е изд. Арнольд, Лондон. ISBN  0-340-74070-1.
15. Баддели, А. (2006). Пространственные точечные процессы и их приложения. У редакторов А. Баддели, И. Барани, Р. Шнайдера и В. Вейля. Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные в C.I.M.E. Летняя школа в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г., Конспект лекций по математике 1892 г., Springer. ISBN  3-540-38174-0, стр. 1–75
16. Браун Э. Н., Касс Р. Э., Митра П. П. (2004). «Анализ данных множественных нейронных спайков: современное состояние и будущие задачи». Природа Неврология. 7 (5): 456–461. Дои:10.1038 / nn1228. PMID  15114358.
17. Энгл Роберт Ф., Лунде Асгер (2003). «Сделки и котировки: двумерный точечный процесс» (PDF). Журнал финансовой эконометрики. 1 (2): 159–188. Дои:10.1093 / jjfinec / nbg011.
18. Ласт, Г., Брандт, А. (1995).Отмеченные точечные процессы на реальной линии: динамический подход. Вероятность и ее приложения. Спрингер, Нью-Йорк. ISBN  0-387-94547-4, МИСТЕР1353912
19. Гилберт Э. (1961). «Случайные плоские сети». Журнал Общества промышленной и прикладной математики. 9 (4): 533–543. Дои:10.1137/0109045.
20. Moller, J .; Syversveen, A.R .; Ваагепетерсен, Р. П. (1998). "Лог-гауссовские процессы Кокса". Скандинавский статистический журнал. 25 (3): 451. CiteSeerX  10.1.1.71.6732. Дои:10.1111/1467-9469.00115.
21. Моллер, Дж. (2003) Дробовой шум Процессы Кокса, Adv. Appl. Вероятность., 35.^{[страница нужна ]}
22. Моллер, Дж. И Торриси, Г.Л. (2005) "Обобщенные процессы Кокса дробового шума", Adv. Appl. Вероятность., 37.
23. Хельмунд Г., Прокесова М. и Ведель Йенсен, Э. (2008) "Точечные процессы Кокса на основе Леви", Adv. Appl. Вероятность., 40.^{[страница нужна ]}
24. Mccullagh, P. и Моллер, Дж. (2006) "Постоянные процессы", Adv. Appl. Вероятность., 38.^{[страница нужна ]}
25. Адамс, Р. П., Мюррей, И. Маккей, Д. Дж. К. (2009) "Подходящий вывод в пуассоновских процессах с гауссовской интенсивностью процессов", Материалы 26-й Международной конференции по машинному обучению Дои:10.1145/1553374.1553376
26. Хаф, Дж. Б., Кришнапур, М., Перес, Ю., Вираг, Б., Нули гауссовских аналитических функций и детерминантные точечные процессы. Серия лекций в университете, 51. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2009.
27. Лин, Е (Лам Йе) (1988). «Геометрические процессы и проблема замещения». Acta Mathematicae Applicatae Sinica. 4 (4): 366–377. Дои:10.1007 / BF02007241.
28. Браун, У. Джон; Ли, Вэй; Чжао, Ицян К. (2005). «Свойства геометрических и родственных процессов». Логистика военно-морских исследований. 52 (7): 607–616. CiteSeerX  10.1.1.113.9550. Дои:10.1002 / nav.20099.
29. Ву, Шаомин (2018). «Двугеометрические процессы и приложения» (PDF). Журнал Общества оперативных исследований. 69: 66–77. Дои:10.1057 / с41274-017-0217-4.
30. Палм, К. (1943). Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr (немецкий).Ericsson Technics нет. 44, (1943). МИСТЕР11402
31. Рубин, И. (сентябрь 1972 г.). «Регулярные точечные процессы и их обнаружение». IEEE Transactions по теории информации. 18 (5): 547–557. Дои:10.1109 / tit.1972.1054897.
32. Баддели, А., Грегори, П., Матеу, Дж., Стойка, Р., и Стоян, Д., редакторы (2006). Примеры из практики моделирования пространственных точек, Конспект лекций в статистике № 185. Спрингер, Нью-Йорк.ISBN  0-387-28311-0.