Теорема о монотонном классе - Monotone class theorem

В теория меры и вероятность, то теорема о монотонном классе связывает монотонные классы и сигма-алгебры. Теорема гласит, что наименьшее монотонный класс содержащий алгебра множеств грамм это как раз самый маленький σ-алгебра содержащийграмм. Используется как разновидность трансфинитная индукция для доказательства многих других теорем, таких как Теорема Фубини.

Определение монотонного класса

А монотонный класс это семья (т.е. класс) ${displaystyle M}$ наборов, которые закрыто при счетных монотонных объединениях, а также при счетных монотонных пересечениях. В явном виде это означает ${displaystyle M}$ обладает следующими свойствами:

1. если ${displaystyle A_{1},A_{2},ldots in M}$ и ${displaystyle A_{1}subseteq A_{2}subseteq cdots }$ тогда ${ extstyle igcup _{i=1}^{infty }A_{i}in M,}$ и
2. если ${displaystyle B_{1},B_{2},ldots in M}$ и ${displaystyle B_{1}supseteq B_{2}supseteq cdots }$ тогда ${ extstyle igcap _{i=1}^{infty }B_{i}in M.}$

Теорема о монотонном классе для множеств

Теорема о монотонном классе для множеств — Позволять грамм быть алгебра множеств и определить M(грамм) быть наименьшим монотонным классом, содержащимграмм. потом M(грамм) это именно σ-алгебра создано грамм, т.е. σ(грамм) = M(грамм).

Теорема о монотонном классе для функций

Теорема о монотонном классе для функций — Позволять ${displaystyle {mathcal {A}}}$ быть π-система который содержит ${displaystyle Omega ,}$ и разреши ${displaystyle {mathcal {H}}}$ быть набором функций из ${displaystyle Omega }$ к ${displaystyle mathbb {R} }$ со следующими свойствами:

1. Если ${displaystyle Ain {mathcal {A}}}$ тогда ${displaystyle mathbf {1} _{A}in {mathcal {H}}.}$
2. Если ${displaystyle f,gin {mathcal {H}}}$ и ${displaystyle cin mathbb {R} }$ тогда ${displaystyle f+g}$ и ${displaystyle cfin {mathcal {H}}.}$
3. Если ${displaystyle f_{n}in {mathcal {H}}}$ - последовательность неотрицательных функций, возрастающих до ограниченной функции ${displaystyle f}$ тогда ${displaystyle fin {mathcal {H}}.}$

потом ${displaystyle {mathcal {H}}}$ содержит все ограниченные функции, измеримые относительно ${displaystyle sigma ({mathcal {A}}),}$ которая является сигма-алгеброй, порожденной ${displaystyle {mathcal {A}}.}$

Доказательство

Следующий аргумент происходит из Рик Дарретт Вероятность: теория и примеры.^[1]

Доказательство —

Предположение ${displaystyle Omega ,in {mathcal {A}},}$ Из (2) и (3) следует, что ${displaystyle {mathcal {G}}=left{A:mathbf {1} _{A}in {mathcal {H}}ight}}$ это λ-система. По (1) и π−λ теорема, ${displaystyle sigma ({mathcal {A}})subset {mathcal {G}}.}$ Из утверждения (2) следует, что ${displaystyle {mathcal {H}}}$ содержит все простые функции, и тогда из (3) следует, что ${displaystyle {mathcal {H}}}$ содержит все ограниченные функции, измеримые относительно ${displaystyle sigma ({mathcal {A}}).}$

Результаты и приложения

Как следствие, если грамм это звенеть наборов, то содержащий его наименьший монотонный класс совпадает с сигма-кольцомграмм.

Применяя эту теорему, можно использовать монотонные классы, чтобы помочь проверить, что определенный набор подмножеств является сигма-алгеброй.

Теорема о монотонном классе функций может быть мощным инструментом, позволяющим обобщить утверждения об особенно простых классах функций на произвольные ограниченные и измеримые функции.

Смотрите также

• π-λ теорема
• π-система - Непустое семейство множеств, в котором пересечение любых двух элементов снова является членом.
• Система Дынкина

Цитаты

1. Дарретт, Рик (2010). Вероятность: теория и примеры (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п.276. ISBN  978-0521765398.

Рекомендации

• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF). Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281. Получено 5 ноября, 2020.