Пи-система - Pi-system

Эта статья о π-система в математике. За π-системы в химии, см. пи бонд.

В математика, а π-система (или же пи-система) на набор Ω является коллекция п определенных подмножества такой, что

• п не пусто.
• Если А и B находятся в п тогда А ∩ B ∈ п.

То есть, п это непустой семейство подмножеств Ω, которое закрыто под конечным перекрестки.Важность π-системы возникает из-за того, что если две вероятностные меры согласуются π-система, то они соглашаются σ-алгебра порожденный этим π-система. Более того, если другие свойства, такие как равенство интегралов, выполняются для π-системы, то они справедливы для сгенерированных σ-алгебра. Это так, когда набор подмножеств, для которых выполняется свойство, является λ-система. π-системы также полезны для проверки независимости случайных величин.

Это желательно, потому что на практике π-системы часто проще работать, чем σ-алгебры. Например, может быть неудобно работать с σ-алгебры, порожденные бесконечным числом множеств ${displaystyle sigma (E_{1},E_{2},ldots )}$. Итак, вместо этого мы можем исследовать объединение всех σ-алгебры, порожденные конечным числом множеств ${ extstyle igcup _{n}sigma (E_{1},ldots ,E_{n})}$. Это формирует π-система, генерирующая желаемое σ-алгебра. Другим примером является набор всех интервальных подмножеств реальной линии вместе с пустым набором, который является π-система, генерирующая очень важные Борель σ-алгебра подмножеств реальной линии.

Определения

А π-система непустой набор множеств п замкнутое относительно конечных пересечений, что эквивалентно п содержащий пересечение любых двух его элементов. Если каждый набор в этом π-система - это подмножество Ω тогда это называется π-система на Ω.

Для любого непустого семья Σ подмножеств Ω, существует π-система ${displaystyle {mathcal {I}}_{Sigma }}$, называется π-система сгенерирована сгенерирована Σ, то есть самый маленький π-система Ω содержать каждый элемент Σ. Он равен пересечению всех π-системы, содержащие Σ и может быть явно описан как множество всех возможных конечных пересечений (одного или нескольких) элементов Σ:

{ E₁ ∩ ⋅⋅⋅ ∩ E_п  :  п ≥ 1 и E₁, ..., E_п ∈ Σ}.

Непустое семейство множеств имеет свойство конечного пересечения если и только если π-система, которую он генерирует, не содержит пустой набор как элемент.

Примеры

• а, б ∈ ℝ, интервалы ${displaystyle (-infty ,a]}$ сформировать π-система, а интервалы ${displaystyle (a,b]}$ сформировать π-система, если также включен пустой набор.
• В топология (совокупность открытых подмножеств) любого топологического пространства является π-система.
• Каждый фильтр это π-система. Каждый π-система, не содержащая пустого множества, является предварительный фильтр (также известный как основа фильтра).
• Для любой измеримой функции ${displaystyle fcolon Omega ightarrow mathbb {R} }$, набор ${displaystyle {mathcal {I}}_{f}=left{f^{-1}left(left(-infty ,xight]ight)colon xin mathbb {R} ight}}$ определяет π-система, и называется π-система генерируется к ж. (В качестве альтернативы, ${displaystyle left{f^{-1}left(left(a,bight]ight)colon a,bin mathbb {R} ,a<bight}cup {emptyset }}$ определяет π-система, созданная ${displaystyle f}$.)
• Если п₁ и п₂ находятся π-системы для Ω₁ и Ω₂соответственно, то ${displaystyle {A_{1} imes A_{2}:A_{1}in P_{1},A_{2}in P_{2}}}$ это π-система для пространства произведений Ω₁× Ом₂.
• Каждый σ-алгебра - это π-система.

Отношение к λ-системы

А λ-система на Ω это набор D подмножеств Ω, удовлетворяющий

• ${displaystyle Omega in D}$,
• если ${displaystyle Ain D}$ тогда ${displaystyle A^{c}in D}$,
• если ${displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},dots }$ это последовательность непересекающийся подмножества в ${displaystyle D}$ тогда ${displaystyle cup _{n=1}^{infty }A_{n}in D}$.

Хотя это правда, что любой σ-алгебра удовлетворяет свойствам быть как π-система и λ-система, неверно, что π-система - это λ-система, и тем более неверно, что π-система - это σ-алгебра. Однако полезная классификация состоит в том, что любая система множеств, одновременно являющаяся λ-система и π-система - это σ-алгебра. Это используется как шаг в доказательстве π-λ теорема.

В π-λ теорема

Позволять D быть λ-система, и пусть ${displaystyle {mathcal {I}}subseteq D}$ быть π-система, содержащаяся в D. В π-λ Теорема^[1] заявляет, что σ-алгебра ${displaystyle sigma ({mathcal {I}})}$ создано ${displaystyle {mathcal {I}}}$ содержится в D : ${displaystyle sigma ({mathcal {I}})subset D}$.

В π-λ Теорема может быть использована для доказательства многих элементарных результатов теории меры. Например, он используется при доказательстве утверждения об уникальности Теорема Каратеодори о продолжении за σ-конечные меры.^[2]

В π-λ Теорема тесно связана с теорема о монотонном классе, который обеспечивает аналогичную связь между монотонными классами и алгебрами и может использоваться для получения многих из тех же результатов. С π-системы являются более простыми классами, чем алгебры, может быть проще идентифицировать множества, которые в них находятся, в то время как, с другой стороны, проверка того, определяет ли рассматриваемое свойство λ-система зачастую относительно проста. Несмотря на различие между двумя теоремами, π-λ теорему иногда называют теоремой о монотонном классе.^[1]

Пример

Позволять μ₁ , μ₂ : F → р быть двумя мерами по σ-алгебра F, и предположим, что F = σ(я) порождается π-система я. Если

1. μ₁(А) = μ₂(А), для всех А ∈ я, и
2. μ₁(Ω) = μ₂(Ω) <∞,

тогда μ₁ = μ₂Это утверждение единственности теоремы Каратеодори о продолжении для конечных мер. Если этот результат не кажется очень примечательным, учтите тот факт, что обычно очень трудно или даже невозможно полностью описать каждый набор в σ-алгебра, и поэтому проблема приравнивания мер была бы совершенно безнадежной без такого инструмента.

Идея доказательства^[2]Определите коллекцию наборов

${displaystyle D=left{Ain sigma (I)colon mu _{1}(A)=mu _{2}(A)ight}.}$

По первому предположению μ₁ и μ₂ соглашаться я и поэтому я ⊆ D. По второму предположению Ω ∈ D, и далее можно показать, что D это λ-система. Это следует из π-λ теорема, что σ(я) ⊆ D ⊆ σ(я), и так D = σ(я). То есть меры согласуются σ(я).

π-Системы в вероятности

π-системы чаще используются при изучении теории вероятностей, чем в общей области теории меры. В первую очередь это связано с вероятностными понятиями, такими как независимость, хотя также может быть следствием того, что π-λ Теорема была доказана вероятностным Евгений Дынкин. Стандартные тексты по теории меры обычно доказывают те же результаты с помощью монотонных классов, а не π-системы.

Равенство в распределении

В π-λ Теорема мотивирует общее определение распределение вероятностей из случайная переменная ${displaystyle Xcolon (Omega ,{mathcal {F}},operatorname {P} )ightarrow mathbb {R} }$ с точки зрения его кумулятивная функция распределения. Напомним, что совокупное распределение случайной величины определяется как

${displaystyle F_{X}(a)=operatorname {P} left[Xleq aight],qquad ain mathbb {R} ,}$

тогда как, казалось бы, более общий закон переменной является вероятностной мерой

${displaystyle {mathcal {L}}_{X}(B)=operatorname {P} left[X^{-1}(B)ight],qquad Bin {mathcal {B}}(mathbb {R} ),}$

куда ${displaystyle {mathcal {B}}(mathbb {R} )}$ борель σ-алгебра. Мы говорим, что случайные величины ${displaystyle Xcolon (Omega ,{mathcal {F}},operatorname {P} )}$, и ${displaystyle Ycolon ({ ilde {Omega }},{ ilde {mathcal {F}}},{ ilde {operatorname {P} }})ightarrow mathbb {R} }$ (на двух, возможно, различных вероятностных пространствах) равны по распределению (или закон), ${displaystyle X,{stackrel {mathcal {D}}{=}},Y}$, если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения, F_Икс = F_Y. Мотивация для определения проистекает из наблюдения, что если F_Икс = F_Y, то это означает, что ${displaystyle {mathcal {L}}_{X}}$ и ${displaystyle {mathcal {L}}_{Y}}$ договориться о π-система ${displaystyle left{(-infty ,a]colon ain mathbb {R} ight}}$ который порождает ${displaystyle {mathcal {B}}(mathbb {R} )}$, и так пример над: ${displaystyle {mathcal {L}}_{X}={mathcal {L}}_{Y}}$.

Аналогичный результат имеет место для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим Икс и Y две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},operatorname {P} )}$, с соответственно сгенерированными π-системы ${displaystyle {mathcal {I}}_{X}}$ и ${displaystyle {mathcal {I}}_{Y}}$. Совместная кумулятивная функция распределения (Икс,Y) является

${displaystyle F_{X,Y}(a,b)=operatorname {P} left[Xleq a,Yleq bight]=operatorname {P} left[X^{-1}((-infty ,a])cap Y^{-1}((-infty ,b])ight],qquad a,bin mathbb {R} .}$

Тем не мение, ${displaystyle A=X^{-1}((-infty ,a])in {mathcal {I}}_{X}}$ и ${displaystyle B=Y^{-1}((-infty ,b])in {mathcal {I}}_{Y}}$. С

${displaystyle {mathcal {I}}_{X,Y}={Acap B:Ain {mathcal {I}}_{X},,Bin {mathcal {I}}_{Y}}}$

это π-система, порожденная случайной парой (Икс,Y), то π-λ Теорема используется, чтобы показать, что совместной кумулятивной функции распределения достаточно для определения совместного закона (Икс,Y). Другими словами, (Икс,Y) и (W, Z) имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совместную кумулятивную функцию распределения.

В теории случайных процессов два процесса ${displaystyle (X_{t})_{tin T},(Y_{t})_{tin T}}$ известны как равные по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются со всеми конечномерными распределениями. т.е. для всех ${displaystyle t_{1},ldots ,t_{n}in T,,nin mathbb {N} }$.

${displaystyle (X_{t_{1}},ldots ,X_{t_{n}}),{stackrel {mathcal {D}}{=}},(Y_{t_{1}},ldots ,Y_{t_{n}}).}$

Доказательство тому - еще одно применение π-λ теорема.^[3]

Независимые случайные величины

Теория π-система играет важную роль в вероятностном понятии независимость. Если Икс и Y две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},operatorname {P} )}$ то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их π-системы ${displaystyle {mathcal {I}}_{X},{mathcal {I}}_{Y}}$ удовлетворить

${displaystyle operatorname {P} left[Acap Bight]=operatorname {P} left[Aight]operatorname {P} left[Bight],qquad forall Ain {mathcal {I}}_{X},,Bin {mathcal {I}}_{Y},}$

то есть ${displaystyle {mathcal {I}}_{X},{mathcal {I}}_{Y}}$ независимы. На самом деле это частный случай использования π-системы определения распределения (Икс,Y).

Пример

Позволять ${displaystyle Z=(Z_{1},Z_{2})}$, куда ${displaystyle Z_{1},Z_{2}sim {mathcal {N}}(0,1)}$ находятся iid стандартные нормальные случайные величины. Определите переменные радиуса и аргумента (arctan)

${displaystyle R={sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},qquad Theta = an ^{-1}(Z_{2}/Z_{1})}$.

потом ${displaystyle R}$ и ${displaystyle Theta }$ являются независимыми случайными величинами.

Чтобы доказать это, достаточно показать, что π-системы ${displaystyle {mathcal {I}}_{R},{mathcal {I}}_{Theta }}$ независимы: т.е.

${displaystyle operatorname {P} [Rleq ho ,Theta leq heta ]=operatorname {P} [Rleq ho ]operatorname {P} [Theta leq heta ]quad forall ho in [0,infty ),, heta in [0,2pi ].}$

Подтверждение этого - упражнение по изменению переменных. Исправить ${displaystyle ho in [0,infty ),, heta in [0,2pi ]}$, то вероятность можно выразить как интеграл от функции плотности вероятности ${displaystyle Z}$.

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {P} [Rleq ho ,Theta leq heta ]&=int _{Rleq ho ,,Theta leq heta }{frac {1}{2pi }}exp left({-{frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}ight)dz_{1},dz_{2}[5pt]&=int _{0}^{ heta }int _{0}^{ho }{frac {1}{2pi }}e^{-{frac {r^{2}}{2}}}r,dr,d{ ilde { heta }}[5pt]&=left(int _{0}^{ heta }{frac {1}{2pi }},d{ ilde { heta }}ight)left(int _{0}^{ho }e^{-{frac {r^{2}}{2}}}r,dright)[5pt]&=operatorname {P} [Theta leq heta ]operatorname {P} [Rleq ho ].end{aligned}}}$

Смотрите также

• Алгебра множеств - Тождества и отношения между множествами, включающими дополнения, включения ⊆ и конечные объединения ∪ и пересечения ∩.
• δ-кольцо
• Семейство наборов
• Поле наборов - Алгебраическая концепция в теории меры
• Идеал (теория множеств) - Непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Независимость
• λ-система (система Дынкина)
• Теорема о монотонном классе
• Распределение вероятностей
• Кольцо наборов
• σ-алгебра
• σ-кольцо

Примечания

1. Калленберг, Основы современной вероятности, стр. 2
2. Дарретт, Теория вероятностей и примеры, стр. 404
3. Калленберг, Основы современной вероятности, п. 48

Рекомендации

• Gut, Аллан (2005). Вероятность: выпускной курс. Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007 / b138932. ISBN  0-387-22833-0.
• Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с мартингейлами. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-40605-6.