Система Дынкина - Dynkin system

А Система Дынкина, названный в честь Евгений Дынкин, это коллекция из подмножества другого универсального набор ${\displaystyle \Omega }$ удовлетворяя набор аксиомы слабее, чем у σ-алгебра. Системы Дынкина иногда называют λ-системы (Сам Дынкин употреблял этот термин) или d-система.^[1] Эти семейства наборов находят применение в теория меры и вероятность.

Основным приложением λ-систем является π-λ теорема, см. Ниже.

Определения

Пусть Ω - непустой установить, и пусть ${\displaystyle D}$ быть набор подмножеств области Ω (т.е. ${\displaystyle D}$ является подмножеством набор мощности области Ω). потом ${\displaystyle D}$ является системой Дынкина, если

1. Ω ∈ ${\displaystyle D}$,
2. если А, B ∈ ${\displaystyle D}$ и А ⊆ B, тогда B ${\displaystyle \setminus }$ А ∈ ${\displaystyle D}$,
3. если А₁, А₂, А₃, ... - последовательность подмножеств в ${\displaystyle D}$ и А_п ⊆ А_п+1 для всех п ≥ 1, то ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D}$.

Эквивалентно, ${\displaystyle D}$ является системой Дынкина, если

1. Ω ∈ ${\displaystyle D}$,
2. если А ∈ ${\textstyle D}$, тогда А^c ∈ ${\displaystyle D}$,
3. если А₁, А₂, А₃, ... - последовательность подмножеств в ${\displaystyle D}$ такой, что А_я ∩ А_j = Ø для всех я ≠ j, тогда ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D}$.

Второе определение обычно предпочтительнее, так как его обычно легче проверить.

Важным фактом является то, что система Дынкина, которая также является π-система (т. е. замкнутый относительно конечных пересечений) является σ-алгебра. В этом можно убедиться, заметив, что условия 2 и 3 вместе с замыканием при конечных пересечениях влекут замыкание при счетных объединениях.

Учитывая любую коллекцию ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, существует единственная система Дынкина, обозначаемая ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ минимальная по содержанию ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$. То есть, если ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ любая система Дынкина, содержащая ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$, тогда ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}}$. ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ называется системой Дынкина, порожденной ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$. Примечание ${\displaystyle D\{\emptyset \}=\{\emptyset ,\Omega \}}$. В качестве другого примера пусть ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}$; тогда ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}}$.

Теорема Дынкина π-λ

Если ${\displaystyle P}$ это π-система и ${\displaystyle D}$ система Дынкина с ${\displaystyle P\subseteq D}$, тогда ${\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D}$. Другими словами, σ-алгебра, порожденная ${\displaystyle P}$ содержится в ${\displaystyle D}$.

Одним из применений теоремы Дынкина о π-λ является уникальность меры, которая оценивает длину интервала (известная как Мера Лебега ):

Пусть (Ω, B, λ) быть единичный интервал [0,1] с мерой Лебега на Наборы Бореля. Пусть μ - другое мера на Ω такая, что μ [(а,б)] = б − а, и разреши D быть семейством множеств S такое, что μ [S] = λ [S]. Позволять я = { (а,б),[а,б),(а,б],[а,б] : 0 < а ≤ б <1} и заметим, что я замкнуто относительно конечных пересечений, что я ⊂ D, и это B является σ-алгеброй, порожденной я. Можно показать, что D удовлетворяет указанным выше условиям для системы Дынкина. Из теоремы Дынкина о π-λ следует, что D на самом деле включает в себя все B, что эквивалентно доказательству единственности меры Лебега на B.

Приложение к вероятностным распределениям

Этот раздел включен из система пи. (редактировать | история )

В π-λ Теорема мотивирует общее определение распределение вероятностей из случайная переменная ${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\rightarrow \mathbb {R} }$ с точки зрения его кумулятивная функция распределения. Напомним, что совокупное распределение случайной величины определяется как

${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} \left[X\leq a\right],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$

тогда как, казалось бы, более общий закон переменной является вероятностной мерой

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right],\qquad B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ борель σ-алгебра. Мы говорим, что случайные величины ${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$, и ${\displaystyle Y\colon ({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\rightarrow \mathbb {R} }$ (на двух, возможно, различных вероятностных пространствах) равны по распределению (или закон), ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y}$, если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения, F_Икс = F_Y. Мотивация для определения проистекает из наблюдения, что если F_Икс = F_Y, то это означает, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ договориться о π-система ${\displaystyle \left\{(-\infty ,a]\colon a\in \mathbb {R} \right\}}$ который порождает ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$, и так пример над: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}}$.

Аналогичный результат имеет место для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим Икс и Y две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$, с соответственно сгенерированными π-системы ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}}$. Совместная кумулятивная функция распределения (Икс,Y) является

${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} \left[X\leq a,Y\leq b\right]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\qquad a,b\in \mathbb {R} .}$

Тем не мение, ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$ и ${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}}$. С

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},\,B\in {\mathcal {I}}_{Y}\}}$

это π-система, порожденная случайной парой (Икс,Y), то π-λ Теорема используется, чтобы показать, что совместной кумулятивной функции распределения достаточно для определения совместного закона (Икс,Y). Другими словами, (Икс,Y) и (W, Z) имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совокупную функцию распределения.

В теории случайных процессов два процесса ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ известны как равные по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются со всеми конечномерными распределениями. т.е. для всех ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} }$.

${\displaystyle (X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}})\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}).}$

Доказательство тому - еще одно применение π-λ теорема.^[2]

Смотрите также

• Алгебра множеств - Тождества и отношения между множествами, включающими дополнения, включения ⊆ и конечные объединения ∪ и пересечения ∩.
• δ-кольцо
• Поле наборов - Алгебраическая концепция в теории меры
• Монотонный класс
• π-система - Непустое семейство множеств, в котором пересечение любых двух элементов снова является членом.
• Кольцо наборов
• σ-алгебра
• σ-кольцо

Примечания

1. Алипрантис, Хараламбос; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений: автостопом (Третье изд.). Springer. Получено 23 августа, 2010.
2. Калленберг, Основы современной вероятности, п. 48

Рекомендации

• Gut, Аллан (2005). Вероятность: выпускной курс. Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007 / b138932. ISBN  0-387-22833-0.
• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2.
• Уильямс, Дэвид (2007). Вероятность с мартингейлами. Издательство Кембриджского университета. п. 193. ISBN  0-521-40605-6.

В статье использованы материалы системы Дынкина по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.