Модель Бюльмана - Bühlmann model

В теория достоверности, направление обучения в актуарная наука, то Модель Бюльмана это модель случайных эффектов (или "модель компонентов дисперсии" или иерархическая линейная модель ) используется для определения подходящего премия по группе договоров страхования. Модель названа в честь Ганса Бюльмана, впервые опубликовавшего описание в 1967 году.^[1]

Описание модели

Учитывать я риски, которые приводят к случайным убыткам, для которых исторические данные м доступны последние заявки (проиндексированы j). Премия за яРиск определяется исходя из ожидаемой суммы требований. Ищется линейный оценщик, который минимизирует среднеквадратичную ошибку. Написать

• Икс_ij для j-я претензия по я-й риск (считаем, что все претензии по я-й риск независимые и одинаково распределенные )
• ${displaystyle scriptstyle {ar {X}}_{i}={frac {1}{m}}sum _{j=1}^{m}X_{ij}}$ для среднего значения.
• ${displaystyle Theta _{i}}$ - параметр распределения i-го риска
• ${displaystyle m(vartheta )=operatorname {E} left[X_{ij}|Theta _{i}=vartheta ight]}$
• ${displaystyle Pi =operatorname {E} (m(vartheta )|X_{i1},X_{i2},...X_{im})}$ - премия за i-й риск
• ${displaystyle mu =operatorname {E} (m(vartheta ))}$
• ${displaystyle s^{2}(vartheta )=operatorname {Var} left[X_{ij}|Theta _{i}=vartheta ight]}$
• ${displaystyle sigma ^{2}=operatorname {E} left[s^{2}(vartheta )ight]}$
• ${displaystyle v^{2}=operatorname {Var} left[m(vartheta )ight]}$

Примечание: ${displaystyle m(vartheta )}$ и ${displaystyle s^{2}(vartheta )}$ являются функциями случайного параметра ${displaystyle vartheta }$

Модель Бюльмана - это решение проблемы:

${displaystyle {underset {a_{i0},a_{i1},...,a_{im}}{operatorname {arg,min} }}operatorname {E} left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-Pi ight)^{2}ight]}$

куда ${displaystyle a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}}$ оценка премии ${displaystyle Pi }$ и arg min представляет значения параметров, которые минимизируют выражение.

Модельное решение

Решение проблемы:

${displaystyle Z{ar {X}}_{i}+(1-Z)mu }$

куда:

${displaystyle Z={frac {1}{1+{frac {sigma ^{2}}{v^{2}m}}}}}$

Мы можем дать этому результату интерпретацию, что Z-часть премии основана на имеющейся у нас информации о конкретном риске, а (1-Z) часть основана на имеющейся у нас информации обо всей популяции.

Доказательство

Следующее доказательство немного отличается от доказательства в исходной статье. Он также является более общим, поскольку рассматривает все линейные оценки, в то время как первоначальное доказательство рассматривает только оценки, основанные на среднем утверждении.^[2]

Лемма. В качестве альтернативы проблему можно сформулировать так:

${displaystyle f=mathbb {E} left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(vartheta )ight)^{2}ight] o min }$

Доказательство:

${displaystyle {egin{aligned}mathbb {E} left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(vartheta )ight)^{2}ight]&=mathbb {E} left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-Pi ight)^{2}ight]+mathbb {E} left[left(m(vartheta )-Pi ight)^{2}ight]+2mathbb {E} left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-Pi ight)left(m(vartheta )-Pi ight)ight]&=mathbb {E} left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-Pi ight)^{2}ight]+mathbb {E} left[left(m(vartheta )-Pi ight)^{2}ight]end{aligned}}}$

Последнее уравнение следует из того, что

${displaystyle {egin{aligned}mathbb {E} left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-Pi ight)left(m(vartheta )-Pi ight)ight]&=mathbb {E} _{Theta }left[mathbb {E} _{X}left.left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-Pi ight)(m(vartheta )-Pi )ight|X_{i1},ldots ,X_{im}ight]ight]&=mathbb {E} _{Theta }left[left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-Pi ight)left[mathbb {E} _{X}left[(m(vartheta )-Pi )|X_{i1},ldots ,X_{im}ight]ight]ight]&=0end{aligned}}}$

Мы используем здесь закон полного ожидания и тот факт, что ${displaystyle Pi =mathbb {E} [m(vartheta )|X_{i1},ldots ,X_{im}].}$

В нашем предыдущем уравнении мы разложили минимизированную функцию на сумму двух выражений. Второе выражение не зависит от параметров, используемых при минимизации. Следовательно, минимизация функции - это то же самое, что минимизация первой части суммы.

Найдем критические точки функции

${displaystyle {frac {1}{2}}{frac {partial f}{partial a_{01}}}=mathbb {E} left[a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(vartheta )ight]=a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}mathbb {E} (X_{ij})-mathbb {E} (m(vartheta ))=a_{i0}+left(sum _{j=1}^{m}a_{ij}-1ight)mu }$

${displaystyle a_{i0}=left(1-sum _{j=1}^{m}a_{ij}ight)mu }$

За ${displaystyle keq 0}$ у нас есть:

${displaystyle {frac {1}{2}}{frac {partial f}{partial a_{ik}}}=mathbb {E} left[X_{ik}left(a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(vartheta )ight)ight]=mathbb {E} left[X_{ik}ight]a_{i0}+sum _{j=1,jeq k}^{m}a_{ij}mathbb {E} [X_{ik}X_{ij}]+a_{ik}mathbb {E} [X_{ik}^{2}]-mathbb {E} [X_{ik}m(vartheta )]=0}$

Мы можем упростить производную, отметив, что:

${displaystyle {egin{aligned}mathbb {E} [X_{ij}X_{ik}]&=mathbb {E} left[mathbb {E} [X_{ij}X_{ik}|vartheta ]ight]=mathbb {E} [{ ext{cov}}(X_{ij}X_{ik}|vartheta )+mathbb {E} (X_{ij}|vartheta )mathbb {E} (X_{ik}|vartheta )]=mathbb {E} [(m(vartheta ))^{2}]=v^{2}+mu ^{2}mathbb {E} [X_{ik}^{2}]&=mathbb {E} left[mathbb {E} [X_{ik}^{2}|vartheta ]ight]=mathbb {E} [s^{2}(vartheta )+(m(vartheta ))^{2}]=sigma ^{2}+v^{2}+mu ^{2}mathbb {E} [X_{ik}m(vartheta )]&=mathbb {E} [mathbb {E} [X_{ik}m(vartheta )|Theta _{i}]=mathbb {E} [(m(vartheta ))^{2}]=v^{2}+mu ^{2}end{aligned}}}$

Взяв приведенные выше уравнения и подставив их в производную, мы имеем:

${displaystyle {frac {1}{2}}{frac {partial f}{partial a_{ik}}}=left(1-sum _{j=1}^{m}a_{ij}ight)mu ^{2}+sum _{j=1,jeq k}^{m}a_{ij}(v^{2}+mu ^{2})+a_{ik}(sigma ^{2}+v^{2}+mu ^{2})-(v^{2}+mu ^{2})=a_{ik}sigma ^{2}-left(1-sum _{j=1}^{m}a_{ij}ight)v^{2}=0}$

${displaystyle sigma ^{2}a_{ik}=v^{2}left(1-sum _{j=1}^{m}a_{ij}ight)}$

Правая сторона не зависит от k. Поэтому все ${displaystyle a_{ik}}$ постоянны

${displaystyle a_{i1}=cdots =a_{im}={frac {v^{2}}{sigma ^{2}+mv^{2}}}}$

Из решения для ${displaystyle a_{i0}}$ у нас есть

${displaystyle a_{i0}=(1-ma_{ik})mu =left(1-{frac {mv^{2}}{sigma ^{2}+mv^{2}}}ight)mu }$

Наконец, лучшая оценка - это

${displaystyle a_{i0}+sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}={frac {mv^{2}}{sigma ^{2}+mv^{2}}}{ar {X_{i}}}+left(1-{frac {mv^{2}}{sigma ^{2}+mv^{2}}}ight)mu =Z{ar {X_{i}}}+(1-Z)mu }$

Рекомендации

Цитаты

1. Бюльманн, Ганс (1967). «Рейтинг опыта и авторитет» (PDF). 4 (3). Вестник АСТИН: 99–207.
2. Доказательства можно найти на этом сайте: Шмидли, Ханспетер. «Конспект лекций по теории риска» (PDF). Институт математики Кельнского университета. Архивировано из оригинал (PDF) 11 августа 2013 года.

Источники

• Frees, E.W .; Янг, В.Р .; Луо, Ю. (1999). «Интерпретация лонгитюдного анализа данных моделей достоверности». Страхование: математика и экономика. 24 (3): 229–247. Дои:10.1016 / S0167-6687 (98) 00055-9.