Колмогорова теорема о продолжении - Kolmogorov extension theorem

Эта статья посвящена теореме о случайных процессах. Поскольку теорема имеет дело с расширением предварительной меры, см. Теорема Хана – Колмогорова..

В математика, то Колмогорова теорема о продолжении (также известный как Колмогорова теорема существования, то Колмогорова теорема совместимости или Теорема Даниэля-Колмогорова) это теорема что гарантирует, что соответствующий "последовательный" набор конечномерные распределения определит случайный процесс. Это приписывают английскому математику Перси Джон Дэниэлл и русский математик Андрей Николаевич Колмогоров.^[1]

Формулировка теоремы

Позволять ${displaystyle T}$ обозначить некоторые интервал (задумано как "время "), и разреши ${displaystyle nin mathbb {N} }$. Для каждого ${displaystyle kin mathbb {N} }$ и конечный последовательность в разное время ${displaystyle t_{1},dots ,t_{k}in T}$, позволять ${displaystyle u _{t_{1}dots t_{k}}}$ быть вероятностная мера на ${displaystyle (mathbb {R} ^{n})^{k}}$. Предположим, что эти меры удовлетворяют двум условиям согласованности:

1. для всех перестановки ${displaystyle pi }$ из ${displaystyle {1,dots ,k}}$ и измеримые множества ${displaystyle F_{i}subseteq mathbb {R} ^{n}}$,

${displaystyle u _{t_{pi (1)}dots t_{pi (k)}}left(F_{pi (1)} imes dots imes F_{pi (k)}ight)=u _{t_{1}dots t_{k}}left(F_{1} imes dots imes F_{k}ight);}$

2. для всех измеримых множеств ${displaystyle F_{i}subseteq mathbb {R} ^{n}}$,${displaystyle min mathbb {N} }$

${displaystyle u _{t_{1}dots t_{k}}left(F_{1} imes dots imes F_{k}ight)=u _{t_{1}dots t_{k},t_{k+1},dots ,t_{k+m}}left(F_{1} imes dots imes F_{k} imes underbrace {mathbb {R} ^{n} imes dots imes mathbb {R} ^{n}} _{m}ight).}$

Тогда существует вероятностное пространство ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )}$ и случайный процесс ${displaystyle X:T imes Omega o mathbb {R} ^{n}}$ такой, что

${displaystyle u _{t_{1}dots t_{k}}left(F_{1} imes dots imes F_{k}ight)=mathbb {P} left(X_{t_{1}}in F_{1},dots ,X_{t_{k}}in F_{k}ight)}$

для всех ${displaystyle t_{i}in T}$, ${displaystyle kin mathbb {N} }$ и измеримые множества ${displaystyle F_{i}subseteq mathbb {R} ^{n}}$, т.е. ${displaystyle X}$ имеет ${displaystyle u _{t_{1}dots t_{k}}}$ как его конечномерные распределения относительно времен ${displaystyle t_{1}dots t_{k}}$.

Фактически, всегда можно взять в качестве основного вероятностного пространства ${displaystyle Omega =(mathbb {R} ^{n})^{T}}$ и принять за ${displaystyle X}$ канонический процесс ${displaystyle Xcolon (t,Y)mapsto Y_{t}}$. Следовательно, альтернативный способ формулировки теоремы Колмогорова о продолжении состоит в том, что при выполнении указанных выше условий согласованности существует (единственная) мера ${displaystyle u }$ на ${displaystyle (mathbb {R} ^{n})^{T}}$ с маргиналами ${displaystyle u _{t_{1}dots t_{k}}}$ для любого конечного набора времен ${displaystyle t_{1}dots t_{k}}$. Теорема Колмогорова о продолжении применима, когда ${displaystyle T}$ бесчисленны, но цена, которую приходится платить за такой уровень общности, заключается в том, что мера ${displaystyle u }$ определяется только на продукте σ-алгебра из ${displaystyle (mathbb {R} ^{n})^{T}}$, что не очень богато.

Объяснение условий

Два условия, требуемые теоремой, тривиально удовлетворяются любым случайным процессом. Например, рассмотрим вещественный стохастический процесс с дискретным временем ${displaystyle X}$. Тогда вероятность ${displaystyle mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}<0)}$ можно вычислить как ${displaystyle u _{1,2}(mathbb {R} _{+} imes mathbb {R} _{-})}$ или как ${displaystyle u _{2,1}(mathbb {R} _{-} imes mathbb {R} _{+})}$. Следовательно, для согласованности конечномерных распределений необходимо, чтобы${displaystyle u _{1,2}(mathbb {R} _{+} imes mathbb {R} _{-})=u _{2,1}(mathbb {R} _{-} imes mathbb {R} _{+})}$Первое условие обобщает это утверждение на любое количество моментов времени. ${displaystyle t_{i}}$, и любые контрольные наборы ${displaystyle F_{i}}$.

Продолжая пример, второе условие означает, что ${displaystyle mathbb {P} (X_{1}>0)=mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}in mathbb {R} )}$. Кроме того, это тривиальное условие, которому будет удовлетворять любое непротиворечивое семейство конечномерных распределений.

Следствия теоремы

Поскольку эти два условия тривиально выполняются для любого случайного процесса, сила теоремы заключается в том, что никаких других условий не требуется: для любого разумного (т. Е. Согласованного) семейства конечномерных распределений существует случайный процесс с этими распределениями.

Теоретико-мерный подход к случайным процессам начинается с вероятностного пространства и определяет случайный процесс как семейство функций на этом вероятностном пространстве. Однако во многих приложениях отправной точкой действительно являются конечномерные распределения случайного процесса. В теореме говорится, что при условии, что конечномерные распределения удовлетворяют очевидным требованиям согласованности, всегда можно определить вероятностное пространство, соответствующее цели. Во многих ситуациях это означает, что не нужно четко указывать, что такое вероятностное пространство. Многие тексты по случайным процессам действительно предполагают вероятностное пространство, но никогда не заявляют явно, что это такое.

Теорема используется в одном из стандартных доказательств существования Броуновское движение, задав конечномерные распределения как гауссовские случайные величины, удовлетворяющие вышеуказанным условиям согласованности. Как и в большинстве определений Броуновское движение требуется, чтобы пробные пути были непрерывными почти наверняка, и затем используется Колмогорова теорема непрерывности построить непрерывную модификацию процесса, построенного по теореме Колмогорова о продолжении.

Общий вид теоремы

Теорема Колмогорова о продолжении дает нам условия, при которых совокупность мер на евклидовых пространствах является конечномерным распределением некоторых ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$-значный случайный процесс, но предположение, что пространство состояний ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ не нужно. Фактически, любой набор измеримых пространств вместе с набором внутренние регулярные меры определенных на конечных произведениях этих пространств было бы достаточно, если бы эти меры удовлетворяли определенному соотношению совместимости. Формальная формулировка общей теоремы следующая.^[2]

Позволять ${displaystyle T}$ быть любым набором. Позволять ${displaystyle {(Omega _{t},{mathcal {F}}_{t})}_{tin T}}$ - некоторый набор измеримых пространств, и для каждого ${displaystyle tin T}$, позволять ${displaystyle au _{t}}$ быть Топология Хаусдорфа на ${displaystyle Omega _{t}}$. Для каждого конечного подмножества ${displaystyle Jsubset T}$, определять

${displaystyle Omega _{J}:=prod _{tin J}Omega _{t}}$.

Для подмножеств ${displaystyle Isubset Jsubset T}$, позволять ${displaystyle pi _{I}^{J}:Omega _{J} o Omega _{I}}$ обозначим каноническое проекционное отображение ${displaystyle omega mapsto omega |_{I}}$.

Для каждого конечного подмножества ${displaystyle Fsubset T}$, предположим, что у нас есть вероятностная мера ${displaystyle mu _{F}}$ на ${displaystyle Omega _{F}}$ который внутренний регулярный с уважением к топология продукта (вызвано ${displaystyle au _{t}}$) на ${displaystyle Omega _{F}}$. Предположим также, что этот набор ${displaystyle {mu _{F}}}$ мер удовлетворяет следующему соотношению совместимости: для конечных подмножеств ${displaystyle Fsubset Gsubset T}$у нас есть это

${displaystyle mu _{F}=(pi _{F}^{G})_{*}mu _{G}}$

куда ${displaystyle (pi _{F}^{G})_{*}mu _{G}}$ обозначает предварительная мера из ${displaystyle mu _{G}}$ индуцированный каноническим отображением проекции ${displaystyle pi _{F}^{G}}$.

Тогда существует единственная вероятностная мера ${displaystyle mu }$ на ${displaystyle Omega _{T}}$ такой, что ${displaystyle mu _{F}=(pi _{F}^{T})_{*}mu }$ для каждого конечного подмножества ${displaystyle Fsubset T}$.

В качестве примечания, все меры ${displaystyle mu _{F},mu }$ определены на сигма-алгебра продукта на их соответствующих пространствах, что (как упоминалось ранее) довольно грубо. Мера ${displaystyle mu }$ иногда может быть соответствующим образом расширен до более крупной сигма-алгебры, если есть дополнительная структура.

Заметим, что исходное утверждение теоремы является лишь частным случаем этой теоремы с ${displaystyle Omega _{t}=mathbb {R} ^{n}}$ для всех ${displaystyle tin T}$, и ${displaystyle mu _{{t_{1},...,t_{k}}}=u _{t_{1}dots t_{k}}}$ за ${displaystyle t_{1},...,t_{k}in T}$. Стохастический процесс был бы просто каноническим процессом. ${displaystyle (pi _{t})_{tin T}}$, определенные на ${displaystyle Omega =(mathbb {R} ^{n})^{T}}$ с вероятностной мерой ${displaystyle P=mu }$. Причина, по которой в исходной формулировке теоремы не упоминается внутренняя регулярность мер ${displaystyle u _{t_{1}dots t_{k}}}$ состоит в том, что это должно было бы следовать автоматически, поскольку вероятностные меры Бореля Польские просторы автоматически Радон.

Эта теорема имеет много далеко идущих последствий; например, его можно использовать для доказательства существования, среди прочего, следующего:

• Броуновское движение, т.е. Винеровский процесс,
• а Цепь Маркова принимая значения в заданном пространстве состояний с заданной матрицей перехода,
• бесконечные произведения (внутренне регулярных) вероятностных пространств.

История

По словам Джона Олдрича, теорема была независимо открыта Британский математик Перси Джон Дэниэлл в несколько ином контексте теории интеграции.^[3]

Рекомендации

1. Эксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. п. 11. ISBN  3-540-04758-1.
2. Тао, Т. (2011). Введение в теорию меры. Аспирантура по математике. 126. Провиденс: Американское математическое общество. п. 195. ISBN  978-0-8218-6919-2.
3. Дж. Олдрич, но вы должны помнить П. Дж. Даниэля из Шеффилда, Электронный журнал по истории вероятностей и статистики, Vol. 3, номер 2, 2007 г.

внешняя ссылка

• Олдрич, Дж. (2007) «Но вы должны помнить П.Дж. Дэниелла из Шеффилда» Электронный журнал истории вероятностей и статистики Декабрь 2007 г.