Процесс Гальтона – Ватсона - Galton–Watson process

Вероятности выживания Гальтона – Ватсона для различных экспоненциальных темпов роста популяции, если можно предположить, что количество потомков каждого родительского узла соответствует распределение Пуассона. За λ ≤ 1, возможное вымирание произойдет с вероятностью 1. Но вероятность выживания нового типа может быть довольно низкой, даже если λ > 1 и население в целом переживает довольно сильные экспоненциальный рост.

В Процесс Гальтона – Ватсона это разветвление случайный процесс вытекающие из Фрэнсис Гальтон статистическое исследование исчезновения фамилии. Процесс моделирует имена семейств как патрилинейный (передается от отца к сыну), в то время как потомство случайным образом бывает мужским или женским, а имена вымирают, если линия фамилии вымирает (носители фамилии умирают без потомков мужского пола). Это точное описание Y-хромосома передачи в генетике, и поэтому модель полезна для понимания гаплогруппы ДНК Y-хромосомы человека. Точно так же, поскольку митохондрии наследуются только по материнской линии, та же математическая формулировка описывает передачу митохондрий. Эта формула имеет ограниченную полезность для понимания фактического распределения фамилий, поскольку на практике фамилии меняются по многим другим причинам, и вымирание фамилий является лишь одним из факторов.

История

Среди Викторианцы который аристократический фамилии^{[пример необходим ]} вымирают. Первоначально Гальтон поставил математический вопрос о распределении фамилий среди идеализированного населения в выпуске 1873 г. Образовательные времена,^[1] и преподобный Генри Уильям Уотсон ответил с решением.^[2] Затем они вместе написали статью 1874 года под названием «О вероятности исчезновения семей» в Журнал Антропологического института Великобритании и Ирландии (теперь Журнал Королевского антропологического института ).^[3] Гальтон и Ватсон, кажется, вывели свой метод независимо от более ранней работы И. Ж. Биенайме; см. Heyde and Seneta, 1977. Подробную историю см. у Kendall (1966 и 1975).

Концепции

Предположим, для примера, что фамилии передаются всем детям мужского пола от их отца. Предположим, что количество сыновей мужчины равно случайная переменная распределен на множестве {0, 1, 2, 3, ...}. Далее предположим, что количество сыновей разных мужчин равно независимый случайные величины, имеющие одинаковое распределение.

Тогда самый простой и содержательный математический вывод состоит в том, что если среднее количество сыновей мужчины 1 или меньше, то их фамилия будет почти наверняка вымирают, и если оно больше 1, то вероятность того, что он выживет в течение любого заданного количества поколений, больше нуля.

Современные приложения включают вероятности выживания для нового мутант ген, или инициирование ядерная цепная реакция, или динамика вспышки болезней в их первых поколениях распространения, или шансы вымирание малых численность населения из организмы; а также объяснение (возможно, наиболее близкое к первоначальному интересу Гальтона), почему только горстка мужчин в глубоком прошлом человечества теперь имеет любой выживших потомков по мужской линии, что отражено в довольно небольшом количестве отличительных гаплогруппы ДНК Y-хромосомы человека.

Следствием высокой вероятности вымирания является то, что если родословная имеет Выжившие, вероятно, чисто случайно испытали необычно высокие темпы роста в своих ранних поколениях, по крайней мере, по сравнению с остальной частью населения.

Математическое определение

Процесс Гальтона – Ватсона - это случайный процесс {Икс_п} который развивается по формуле рекуррентности Икс₀ = 1 и

${\displaystyle X_{n+1}=\sum _{j=1}^{X_{n}}\xi _{j}^{(n)}}$

куда ${\displaystyle \{\xi _{j}^{(n)}:n,j\in \mathbb {N} \}}$ это набор независимые и одинаково распределенные случайные величины с натуральными числами.

По аналогии с фамилиями, Икс_п можно представить как количество потомков (по мужской линии) в п-го поколения, и ${\displaystyle \xi _{j}^{(n)}}$ можно представить как количество (мальчиков) детей jth из этих потомков. Отношение рекуррентности утверждает, что количество потомков в п+ 1-е поколение - это сумма, по всем ппотомки в поколении от числа детей этого потомка.

Вероятность вымирания (т.е. вероятность окончательного вымирания) определяется выражением

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr(X_{n}=0).\,}$

Это явно равно нулю, если у каждого члена популяции есть ровно один потомок. За исключением этого случая (обычно называемого тривиальным случаем) существует простое необходимое и достаточное условие, которое приводится в следующем разделе.

Критерий затухания процесса Гальтона – Ватсона.

В нетривиальном случае вероятность окончательного вымирания равна единице, если E{ξ₁} ≤ 1 и строго меньше единицы, если E{ξ₁} > 1.

Аналитически этот процесс можно рассмотреть с помощью метода функции, производящие вероятность.

Если количество детей ξ _j в каждом узле следует распределение Пуассона с параметром λ особенно простое повторение может быть найдено для полной вероятности вымиранияИкс_п для процесса, начинающегося с одного человека за раз п = 0:

${\displaystyle x_{n+1}=e^{\lambda (x_{n}-1)},\,}$

давая приведенные выше кривые.

Бисексуальный процесс Гальтона – Ватсона

В описанном выше процессе классической семейной фамилии Гальтон-Ватсон необходимо учитывать только мужчин, поскольку только мужчины передают свою фамилию потомкам. Это фактически означает, что размножение можно смоделировать как бесполое. (Точно так же, если анализируется митохондриальная передача, необходимо рассматривать только женщин, поскольку только женщины передают свои митохондрии потомкам.)

Модель, более точно соответствующая фактическому половому воспроизводству, - это так называемый «бисексуальный процесс Гальтона – Ватсона», при котором размножаются только пары.^{[нужна цитата ]} (Бисексуал в данном контексте относится к количеству вовлеченных полов, а не к сексуальная ориентация.) В этом процессе предполагается, что каждый ребенок является мужчиной или женщиной, независимо друг от друга, с определенной вероятностью, а так называемая «функция спаривания» определяет, сколько пар сформируется в данном поколении. Как и раньше, воспроизведение разных пар считается независимым друг от друга. Теперь аналог тривиального случая соответствует случаю, когда каждый самец и самка воспроизводятся ровно в одной паре, имея одного потомка самца и одну женщину, и что функция спаривания принимает значение минимума из числа самцов и самок (которое то же самое со следующего поколения и далее).

Поскольку полное воспроизводство в поколении теперь сильно зависит от функции спаривания, в общем случае не существует простого необходимого и достаточного условия для окончательного вымирания, как в случае классического процесса Гальтона – Ватсона.^{[нужна цитата ]} Однако, за исключением нетривиального случая, концепция [[Чистая скорость воспроизводства | усредненная средняя воспроизводимость]] (Брюсс (1984)) допускает общее достаточное условие для окончательного вымирания, которое рассматривается в следующем разделе.

Критерий вымирания

Если в нетривиальном случае усредненное среднее значение воспроизводства на пару остается ограниченной на протяжении всех поколений и не превышает 1 для достаточно большого размера популяции, тогда вероятность окончательного вымирания всегда равна 1.

Примеры

Цитирование исторических примеров процесса Гальтона – Ватсона затруднено из-за того, что история фамилий часто значительно отклоняется от теоретической модели. Примечательно, что могут быть созданы новые имена, существующие имена могут быть изменены в течение жизни человека, и люди исторически часто принимали имена не связанных между собой лиц, особенно знати. Таким образом, небольшое количество фамилий в настоящее время в себе доказательства того, что имена вымерли с течением времени, или что они вымерли из-за вымирания строк фамилий - для этого требуется, чтобы в прошлом было больше имен и что они вымирают из-за вымирания линии, а не из-за смены имени по другим причинам, например, когда вассалы принимают имя своего лорда.

Китайские имена являются хорошо изученным примером исчезновения фамилий: в настоящее время в Китае используется всего около 3100 фамилий по сравнению с 12000, зарегистрированными в прошлом,^[4][5] 22% населения разделяют имена Ли, Ван и Чжан (около 300 миллионов человек), а также 200 ведущих имен, охватывающих 96% населения. Имена изменились или вымерли по разным причинам, таким как люди, взявшие имена своих правителей, орфографические упрощения, табу на использование персонажей из имени императора, среди прочего.^[5] Хотя исчезновение линий фамилий может быть фактором исчезновения фамилий, это ни в коем случае не единственный и даже не значительный фактор. Действительно, наиболее значительным фактором, влияющим на частоту фамилий, являются другие этнические группы, идентифицируемые как Хан и приняв имена Хань.^[5] Кроме того, хотя по разным причинам возникли новые имена, их перевесило исчезновение старых имен.^[5]

Напротив, некоторые страны приняли фамилии только недавно. Это означает, что фамилии у них не исчезли в течение длительного периода времени, и что имена были приняты, когда у нации было относительно большое население, а не меньшее население в древние времена.^[5] Кроме того, эти имена часто выбираются творчески и очень разнообразны. Примеры включают:

• Японские имена, которые обычно используют дату только до Реставрация Мэйдзи в конце 19 века (когда население составляло более 30 000 000 человек) имеют более 100 000 фамилий, фамилии очень разные, а правительство ограничивает супружеские пары на использование одной и той же фамилии.
• Много Голландские имена включили фамилию только с Наполеоновские войны в начале 19 века, и существует более 68 000 голландских фамилий.
• Тайские имена включают фамилию только с 1920 года, и только одна семья может использовать данную фамилию; отсюда и большое количество тайских имен. Кроме того, тайцы довольно часто меняют свои фамилии, что усложняет анализ.

С другой стороны, некоторые примеры высокой концентрации фамилий не связаны в первую очередь с процессом Гальтона – Ватсона:

• Вьетнамские имена имеют около 100 фамилий, и 60% населения имеют три фамилии. Название Нгуен один, по оценкам, используется почти 40% населения Вьетнама, а 90% имеют 15 имен. Однако, как показывает история Нгуен Название ясно показывает, что это в немалой степени связано с тем, что имена навязываются людям или принимаются по причинам, не связанным с генетическим родством.

Смотрите также

• Ветвящийся процесс
• Ресурсозависимый процесс ветвления
• Родословная коллапс

Рекомендации

1. Фрэнсис Гальтон (1873-03-01). «Проблема 4001» (PDF). Образовательные времена. 25 (143): 300. Архивировано с оригинал (PDF) на 2017-01-23.
2. Генри Уильям Уотсон (1873-08-01). «Проблема 4001» (PDF). Образовательные времена. 26 (148): 115. Архивировано с оригинал (PDF) на 2016-12-01.
   Первое предложение, представленное Дж. С. Карром, по словам Гальтона, было «полностью ошибочным»; видеть Г. С. Карр (1873-04-01). «Проблема 4001» (PDF). Образовательные времена. 26 (144): 17. Архивировано с оригинал (PDF) на 03.08.2017.
3. Гальтон, Ф. и Уотсон, Х. У. (1875). «О вероятности исчезновения семей». Журнал Королевского антропологического института, 4, 138–144.
4. "О редкий Джон Смит", Экономист (США): 32, 3 июня 1995 г., В настоящее время в Китае [...] используется только 3100 фамилий по сравнению с почти 12 000 в прошлом. «Эволюционное сокращение фамилий» характерно для всех обществ. [...] [Б] но в Китае, [Ду] говорит, где фамилии используются гораздо дольше, чем в большинстве других мест, малочисленность становится острой.
5. Ду, Руофу; Ида, юань; Хван, Юлиана; Mountain, Joanna L .; Кавалли-Сфорца, Л. Лука (1992), Китайские фамилии и генетические различия между Северным и Южным Китаем (PDF), Journal of Chinese Linguistics Monograph Series, pp. 18–22 (История китайских фамилий и источники данных для настоящего исследования), заархивировано из оригинал (PDF) на 2012-11-20, также часть Институт Моррисона по изучению населения и ресурсов Рабочие бумаги

дальнейшее чтение

• Ф. Томас Брюсс (1984). «Примечание о критериях исчезновения бисексуальных процессов Гальтона – Ватсона». Журнал прикладной теории вероятностей 21: 915–919.
• C C Heyde и E Seneta (1977). I.J. Биенайме: ожидаемая статистическая теория. Берлин, Германия.
• Кендалл, Д. (1966). «Ветвящиеся процессы с 1873 года». Журнал Лондонского математического общества. s1-41: 385–406. Дои:10.1112 / jlms / s1-41.1.385. ISSN  0024-6107.
• Кендалл, Д. (1975). «Генеалогия генеалогических ветвящихся процессов до (и после) 1873 года». Бюллетень Лондонского математического общества. 7 (3): 225–253. Дои:10.1112 / blms / 7.3.225. ISSN  0024-6093.

внешняя ссылка

• "Выживание одного мутанта" Питера М. Ли из Йоркского университета.
• Простой процесс Гальтона-Ватсона: классический подход, Университет Мюнстера