Модель Халла – Уайта - Hull–White model

В финансовая математика, то Модель Халла – Уайта это модель будущего процентные ставки. В своей наиболее общей формулировке он принадлежит к классу моделей без арбитража, которые могут соответствовать сегодняшней временной структуре процентных ставок. Относительно просто перевести математическое описание эволюции будущих процентных ставок на дерево или решетка и так производные по процентной ставке Такие как бермудские обмены можно оценить в модели.

Первая модель Халла – Уайта была описана Джон К. Халл и Алан Уайт в 1990 году. Модель по-прежнему популярна на рынке.

Модель

Однофакторная модель

Модель представляет собой краткосрочная модель. В целом имеет следующую динамику:

${\displaystyle dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).}$

Среди практикующих специалистов существует некоторая неоднозначность относительно того, какие именно параметры в модели зависят от времени или какое имя следует применять к модели в каждом случае. Наиболее общепринятое соглашение об именах следующее:

• ${\displaystyle \theta }$ имеет т (время) зависимость - модель Халла – Уайта.
• ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \alpha }$ оба зависят от времени - расширенный Модель Васичека.

Двухфакторная модель

Двухфакторная модель Халла – Уайта (Корпус 2006: 657–658) содержит дополнительный член возмущения, среднее значение которого возвращается к нулю, и имеет вид:

${\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),}$

куда ${\displaystyle \displaystyle u}$ имеет начальное значение 0 и следует процессу:

${\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)}$

Анализ однофакторной модели

В остальной части этой статьи мы предполагаем только ${\displaystyle \theta }$ имеет т-зависимость. Отбросив на мгновение стохастический член, обратите внимание, что для ${\displaystyle \alpha >0}$ изменение в р отрицательно, если р в настоящее время "большой" (больше, чем ${\displaystyle \theta (t)/\alpha )}$ и положительный, если текущее значение мало. То есть стохастический процесс - это средний возврат Процесс Орнштейна – Уленбека.

θ рассчитывается из начального кривая доходности описание текущей временной структуры процентных ставок. Обычно α остается вводимым пользователем (например, его можно оценить на основе исторических данных). σ определяется через калибровка к набору каплеты и обмены легко торгуется на рынке.

Когда ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \theta }$, и ${\displaystyle \sigma }$ постоянны, Лемма Ито может использоваться, чтобы доказать, что

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

который имеет распространение

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ это нормальное распределение со средним ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Когда ${\displaystyle \theta (t)}$ зависит от времени,

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

который имеет распространение

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}$

Ценообразование облигаций с использованием модели Халла – Уайта

Оказывается, время-S ценность Т-зрелость дисконтная облигация имеет распространение (обратите внимание на аффинный термин структура здесь!)

${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}$

куда

${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},}$

${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).}$

Обратите внимание, что их терминальное распределение для ${\displaystyle P(S,T)}$ является распределенный лог-нормально.

Цены на производные финансовые инструменты

Выбрав как счетчик время-S связь (что соответствует переходу на S-прямая мера), из фундаментальная теорема безарбитражного ценообразования, значение во время т производной, имеющей выплату во время S.

${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Здесь, ${\displaystyle \mathbb {E} _{S}}$ является ожиданием относительно форвардная мера. Более того, стандартные аргументы арбитража показывают, что время Т форвардная цена ${\displaystyle F_{V}(t,T)}$ для выплаты вовремя Т данный V (Т) должен удовлетворить ${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}$, таким образом

${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Таким образом, можно оценить многие производные финансовые инструменты. V зависит исключительно от одинарной облигации ${\displaystyle P(S,T)}$ аналитически при работе в модели Халла – Уайта. Например, в случае размещение облигаций

${\displaystyle V(S)=(K-P(S,T))^{+}.}$

Потому что ${\displaystyle P(S,T)}$ логнормально распределен, общий расчет, используемый для Модель Блэка – Шоулза показывает, что

${\displaystyle {E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),}$

куда

${\displaystyle d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}}$

и

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.}$

Таким образом, сегодняшнее значение (с п(0,S) умноженный обратно на и т установлен в 0):

${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}$

Здесь ${\displaystyle \sigma _{P}}$ стандартное отклонение (относительная волатильность) логнормального распределения для ${\displaystyle P(S,T)}$. Довольно значительный объем алгебры показывает, что он связан с исходными параметрами через

${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}$

Обратите внимание, что это ожидание было сделано в S-бонд, тогда как мы вообще не указали меру для исходного процесса Халла – Уайта. Это не имеет значения - волатильность - это все, что имеет значение, и она не зависит от меры.

Потому что верхние / нижние пределы процентных ставок эквивалентны путам и коллам по облигациям соответственно, приведенный выше анализ показывает, что верхние и нижние уровни могут быть оценены аналитически в модели Халла – Уайта. Уловка Джамшидиана применяется к Халлу – Уайту (поскольку сегодняшняя стоимость свопциона в модели Халла – Уайта равна монотонная функция сегодняшнего короткого курса). Таким образом, знания того, как устанавливать предельные цены, также достаточно для обмена ценами. Несмотря на то, что базовый актив представляет собой сложную прогнозируемую ставку, а не (прогнозируемую) ставку LIBOR, Turfus (2020) показывает, как эту формулу можно легко изменить, чтобы учесть дополнительные выпуклость.

Свопционы также могут оцениваться напрямую, как описано в Henrard (2003). Прямые реализации обычно более эффективны.

Моделирование Монте-Карло, деревья и решетки

Однако оценка обычных инструментов, таких как крышки и свопционы, полезна в первую очередь для калибровки. Реальное использование модели состоит в том, чтобы ценить несколько больше. экзотические производные Такие как бермудские обмены на решетка или другие производные финансовые инструменты в мультивалютном контексте, такие как Quanto Constant Maturity Swaps, как, например, объясняется в Brigo and Mercurio (2001). Эффективный и точный Моделирование Монте-Карло модели Халла – Уайта с параметрами, зависящими от времени, можно легко выполнить, см. Ostrovski (2013) и (2016).

Смотрите также

• Модель Васичека
• Модель Кокса – Ингерсолла – Росса
• Модель Черно-Карасинского

Рекомендации

Первичные ссылки

• Джон Халл и Алан Уайт, "Использование деревьев процентных ставок Халла – Уайта", Журнал производных финансовых инструментов, Vol. 3, № 3 (весна 1996 г.), стр. 26–36
• Джон Халл и Алан Уайт, "Численные процедуры для реализации моделей временной структуры I", Журнал производных финансовых инструментов, Fall 1994, pp. 7–16.
• Джон Халл и Алан Уайт, «Численные процедуры для реализации моделей временной структуры II», Журнал производных финансовых инструментов, Winter 1994, pp. 37–48.
• Джон Халл и Алан Уайт, «Ценообразование опционов на максимальные и минимальные процентные ставки с использованием модели Халла – Уайта» в Передовые стратегии управления финансовыми рисками, Глава 4, стр. 59–67.
• Джон Халл и Алан Уайт, «Однофакторные модели процентных ставок и оценка ценных бумаг с производными процентными ставками», Журнал финансового и количественного анализа, Том 28, № 2, (июнь 1993 г.), стр. 235–254.
• Джон Халл и Алан Уайт, "Оценка процентных производных ценных бумаг", Обзор финансовых исследований, Том 3, № 4 (1990), стр. 573–592.

Прочие ссылки

• Халл, Джон С. (2006). «Производные по процентной ставке: модели короткой ставки». Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (6-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. стр.657 –658. ISBN  0-13-149908-4. LCCN  2005047692. OCLC  60321487.
• Дамиано Бриго, Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляция и кредит (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN  978-3-540-22149-4.
• Хенрард, Марк (2003). «Явный опцион на облигации и формула обмена в однофакторной модели Хита – Джарроу – Мортона», Международный журнал теоретических и прикладных финансов, 6(1), 57–72. Препринт SSRN.
• Хенрард, Марк (2009). Цена эффективных свопингов в однофакторной модели Халла – Уайта, arXiv, 0901.1776v1. Препринт arXiv.
• Островский, Владимир (2013). Эффективное и точное моделирование модели Халла – Уайта. Препринт ССРН.
• Островский, Владимир (2016). Эффективное и точное моделирование гауссовских моделей аффинной процентной ставки., Международный журнал финансового инжиниринга, Vol. 3, № 02.,Препринт ССРН.
• Пущкарский, Евгений. Реализация модели временной структуры Халла – Уайта без арбитража, Дипломная работа, Центр финансовых рынков Центральной Европы
• Турфус, Колин (2020). Ценообразование Caplet с прогнозируемыми ставками., Препринт ССРН.
• Летиан Ван, Модель Халла – Уайт, Fixed Income Quant Group, DTCC (подробный числовой пример и вывод)