Валочный процесс - Feller process - Wikipedia

Не путать с Валочно-непрерывный процесс.

В теория вероятности относящийся к случайные процессы, а Валочный процесс это особый вид Марковский процесс.

Определения

Позволять Икс быть локально компактный Пространство Хаусдорфа с счетный основание. Позволять C₀(Икс) обозначают пространство всех действительных значений непрерывные функции на Икс который исчезнуть в бесконечности, оснащенный sup-norm ||ж ||. Из анализа мы знаем, что C₀(Икс) с sup нормой является Банахово пространство.

А Полугруппа Феллера на C₀(Икс) - это коллекция {Т_т}_т ≥ 0 положительных линейные карты из C₀(Икс) себе такое, что

• ||Т_тж || ≤ ||ж || для всех т ≥ 0 и ж в C₀(Икс), т.е. это сокращение (в слабом смысле);
• то полугруппа свойство: Т_т + s = Т_т оТ_s для всех s, т ≥ 0;
• Lim_т → 0||Т_тж − ж || = 0 для каждого ж в C₀(Икс). Используя свойство полугруппы, это эквивалентно карте Т_тж из т в [0, ∞) на C₀(Икс) существование справа непрерывный для каждого ж.

Предупреждение: Эта терминология неоднородна в литературе. В частности, предположение, что Т_т карты C₀(Икс) в себя заменяется некоторыми авторами условием отображения C_б(Икс), пространство ограниченных непрерывных функций, в себя. Причина этого двоякая: во-первых, это позволяет включать процессы, которые входят «из бесконечности» за конечное время. Во-вторых, он больше подходит для рассмотрения пространств, которые не являются локально компактными и для которых понятие «исчезновение на бесконечности» не имеет смысла.

А Переходная функция Феллера - вероятностная переходная функция, ассоциированная с полугруппой Феллера.

А Валочный процесс это Марковский процесс с функцией перехода Феллера.

Генератор

Феллеровские процессы (или переходные полугруппы) можно описать их бесконечно малый генератор. Функция ж в C₀ называется находящимся в области определения генератора, если равномерный предел

${\displaystyle Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},}$

существуют. Оператор А является генератором Т_т, а пространство функций, на котором он определен, записывается как D_А.

Характеристика операторов, которые могут выступать в качестве инфинитезимального генератора процессов Феллера, дается выражением Теорема Хилле-Йосиды. При этом используется резольвента полугруппы Феллера, определенная ниже.

Резольвент

В противовоспалительное средство процесса Феллера (или полугруппы) представляет собой набор отображений (р_λ)_λ > 0 из C₀(Икс) самому себе, определяемому

${\displaystyle R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.}$

Можно показать, что он удовлетворяет тождеству

${\displaystyle R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).}$

Кроме того, для любых фиксированных λ > 0 изображение р_λ равно домену D_А генератора А, и

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}}$

Примеры

• Броуновское движение и Пуассоновский процесс являются примерами процессов Феллера. В более общем плане каждый Леви процесс это феллеровский процесс.
• Бесселевские процессы Феллеровские процессы.
• Решения для стохастические дифференциальные уравнения с Липшицева непрерывная коэффициенты - это процессы Феллера.^{[нужна цитата ]}
• Каждый адаптированный правильный непрерывный процесс Феллера на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$- удовлетворяет сильное марковское свойство относительно фильтрации ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$, т.е. для каждого ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$-время остановки ${\displaystyle \tau }$, при условии проведения мероприятия ${\displaystyle \{\tau <\infty \}}$, у нас есть это для каждого ${\displaystyle t\geq 0}$, ${\displaystyle X_{\tau +t}}$ не зависит от ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}}$ данный ${\displaystyle X_{\tau }}$.^[1]

Смотрите также

• Марковский процесс
• Цепь Маркова
• Процесс охоты
• Генератор бесконечно малых (случайные процессы)

Рекомендации

1. Роджерс, L.C.G. и Уильямс, Дэвид Диффузии, марковские процессы и мартингалы Том первый: Основы, второе издание, John Wiley and Sons Ltd, 1979. (стр. 247, теорема 8.3)