Исчезнуть в бесконечности - Vanish at infinity

В математика, а функция на нормированное векторное пространство говорят исчезнуть в бесконечности если

${\displaystyle f(x)\to 0}$ в качестве ${\displaystyle \|x\|\to \infty .}$

Например, функция

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

определены на реальная линия исчезает на бесконечности. То же самое и с функцией

${\displaystyle h(x,y)={\frac {1}{x+y}}}$

куда ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ реальны и соответствуют точке ${\displaystyle (x,y)}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.^[1]

В более общем смысле функция ${\displaystyle f}$ на локально компактное пространство (который может иметь или не иметь нормы) исчезает на бесконечности, если задано любое положительное число ${\displaystyle \epsilon }$, существует компактный подмножество ${\displaystyle K}$ такой, что

${\displaystyle \|f(x)\|<\epsilon }$

всякий раз, когда точка ${\displaystyle x}$ лежит вне ${\displaystyle K}$.^[2][3][4]

Другими словами, для каждого положительного числа ${\displaystyle \epsilon }$ набор${\displaystyle \left\{x\in X:\|f(x)\|\geq \epsilon \right\}}$компактный.
Для данного локально компактный Космос ${\displaystyle \Omega }$, то набор таких функций

${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {K} }$

(куда ${\displaystyle \mathbb {K} }$ либо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {C} }$) образует ${\displaystyle \mathbb {K} }$-векторное пространство относительно точечно скалярное умножение и добавление, часто обозначаемый ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$.

Здесь обратите внимание, что два определения могут не соответствовать друг другу: если ${\displaystyle f(x)=\|x\|^{-1}}$ в бесконечномерном банаховом пространстве, то ${\displaystyle f}$ исчезает на бесконечности ${\displaystyle \|f(x)\|\to 0}$ определение, но не определение компакта.

Помимо этого различия, оба эти понятия соответствуют интуитивному понятию добавления точки на бесконечности и требованию, чтобы значения функции были сколь угодно близкими к нулю при приближении к ней. Это определение во многих случаях можно формализовать, добавив (фактическое) точка в бесконечности.

Быстро уменьшается

Основная статья: Пространство Шварца

Уточняя концепцию, можно более внимательно присмотреться к скорость исчезновения функций на бесконечности. Одна из основных интуиций математический анализ это то преобразование Фурье развязки гладкость условия с условиями скорости обращения в нуль на бесконечности. В быстро уменьшается тестовые функции умеренное распределение теория гладкие функции которые

${\displaystyle O(|x|^{-N})}$

для всех ${\displaystyle N}$, так как ${\displaystyle |x|\to \infty }$, и такой, что все их частные производные удовлетворяют тому же условию. Это условие устанавливается так, чтобы оно было самодуальным относительно преобразования Фурье, так что соответствующие теория распределения из умеренные распределения будет такая же хорошая собственность.

Смотрите также

• бесконечность
• Проективно расширенная действительная линия
• Ноль функции

Рекомендации

1. "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Vanish". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-15.
2. «Функция, исчезающая на бесконечности - Математическая энциклопедия». www.encyclopediaofmath.org. Получено 2019-12-15.
3. "исчезновение на бесконечности в nLab". ncatlab.org. Получено 2019-12-15.
4. "исчезнуть в бесконечности". planetmath.org. Получено 2019-12-15.

Библиография

• Хьюитт, Э. и Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ. Springer-Verlag.