Смешивание (математика) - Mixing (mathematics) - Wikipedia

Повторное применение карта пекаря к точкам красного и синего цвета, изначально разделенным. Карта пекаря перемешивается, что качественно можно увидеть, поскольку красная и синяя точки кажутся полностью смешанными после нескольких итераций.

В математика, смешивание это абстрактное понятие, происходящее из физика: попытка описать необратимое термодинамический процесс из смешивание в повседневном мире: смешивание красок, смешивание напитков, промышленное смешивание, так далее.

Концепция появляется в эргодическая теория - изучение случайные процессы и сохраняющие меру динамические системы. Существует несколько различных определений смешивания, включая сильное перемешивание, слабое перемешивание и топологическое перемешивание, причем последний не требует мера быть определенным. Некоторые из различных определений микширования можно расположить в иерархическом порядке; таким образом, сильное перемешивание означает слабое перемешивание. Более того, слабое перемешивание (а значит, и сильное перемешивание) подразумевает эргодичность: то есть каждая система, которая слабо перемешивает, также является эргодической (и поэтому говорят, что перемешивание является «более сильным» понятием, чем эргодичность).

Неформальное объяснение

Математическое определение смешивания направлено на отражение обычного повседневного процесса смешивания, такого как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи и т. смешивание в промышленных процессах, курить в задымленном помещении и т. д. Для обеспечения математической строгости такие описания начинаются с определения сохраняющая меру динамическая система, записанный как ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$.

Набор ${\displaystyle X}$ под общим объемом заполняемого пространства: чаша для смешивания, задымленная комната, и т.п. В мера ${\displaystyle \mu }$ понимается как определение естественного объема пространства ${\displaystyle X}$ и его подпространств. Набор подпространств обозначается ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, и размер любого заданного подмножество ${\displaystyle A\subset X}$ является ${\displaystyle \mu (A)}$; размер - это его объем. Наивно можно было представить ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ быть набор мощности из ${\displaystyle X}$; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют том (как известно, Парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условно ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ состоит из измеримых подмножеств - подмножеств, у которых есть объем. Всегда считается Набор Бореля - набор подмножеств, которые можно построить, взяв перекрестки, союзы и набор дополнений; их всегда можно считать измеримыми.

Временная эволюция системы описывается карта ${\displaystyle T:X\to X}$. Учитывая некоторое подмножество ${\displaystyle A\subset X}$, его карта ${\displaystyle T(A)}$ будет вообще деформированной версией ${\displaystyle A}$ - он раздавлен или растянут, сложен или разрезан на части. Математические примеры включают карта пекаря и карта подковы оба вдохновлены хлеб -изготовление. Набор ${\displaystyle T(A)}$ должен иметь такой же объем, как ${\displaystyle A}$; сжатие / растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система «сохраняет меру» (сохраняет площадь, сохраняет объем).

Формальная трудность возникает, когда кто-то пытается согласовать объем множеств с необходимостью сохранить их размер под картой. Проблема возникает из-за того, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть ${\displaystyle x\neq y}$ с участием ${\displaystyle T(x)=T(y)}$. Хуже того, одна точка ${\displaystyle x\in X}$ не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратной картой. ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$; он отобразит любое заданное подмножество ${\displaystyle A\subset X}$ к деталям, которые были собраны, чтобы сделать это: эти части ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$. У него есть важное свойство - не «сбиваться с пути», откуда все взялось. Более того, он обладает важным свойством: Любые (сохраняющая меру) карта ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ является инверсией некоторого отображения ${\displaystyle X\to X}$. Правильное определение карты, сохраняющей объем, - это такое, для которого ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$ потому что ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ описывает все части-части, которые ${\displaystyle A}$ пришли из.

Теперь каждый заинтересован в изучении эволюции системы во времени. Если набор ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ в конце концов посещает все ${\displaystyle X}$ в течение длительного периода времени (то есть, если ${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$ подходит ко всем ${\displaystyle X}$ для больших ${\displaystyle n}$) система называется эргодический. Если каждый набор ${\displaystyle A}$ ведет себя таким образом, система является консервативная система, помещенный в отличие от диссипативная система, где некоторые подмножества ${\displaystyle A}$ блуждать, к которому никогда не нужно возвращаться. Примером может быть вода, текущая под гору - если она стечет, она никогда больше не вернется. Однако озеро, которое образуется на дне этой реки, может быть хорошо перемешанным. В теорема об эргодическом разложении утверждает, что каждая эргодическая система может быть разделена на две части: консервативную часть и диссипативную часть.

Смешение - более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя наборами. ${\displaystyle A,B}$, а не только между набором ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$. То есть, учитывая любые два набора ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$, система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число ${\displaystyle N}$ такое, что для всех ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle n>N}$, есть это ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$. Вот, ${\displaystyle \cap }$ обозначает установить пересечение и ${\displaystyle \varnothing }$ это пустой набор.

Приведенного выше определения топологического перемешивания должно быть достаточно, чтобы дать неформальное представление о перемешивании (оно эквивалентно формальному определению, приведенному ниже). Однако в нем не упоминается объем ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, и, действительно, есть другое определение, которое явно работает с объемом. На самом деле несколько; у одного есть как сильное перемешивание, так и слабое перемешивание; они неэквивалентны, хотя сильная система перемешивания всегда плохо перемешивает. Определения, основанные на мере, несовместимы с определением топологического перемешивания: существуют системы, которые являются одними, но не являются другими. Общая ситуация остается туманной: например, учитывая три набора ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$, можно определить 3-перемешивание. По состоянию на 2020 год неизвестно, подразумевает ли 2-смешивание 3-смешивание. (Если рассматривать эргодичность как «1-смешивание», то становится ясно, что 1-смешивание не подразумевает 2-смешивание; есть системы, которые являются эргодическими, но не смешиваются.)

Концепция чего-либо сильное перемешивание сделана применительно к объему пары комплектов. Рассмотрим, например, набор ${\displaystyle A}$ цветного красителя, который смешивается с чашкой какой-то липкой жидкости, скажем, кукурузного сиропа, шампуня и т.п. Практический опыт показывает, что смешивание липких жидкостей может быть довольно трудным: обычно есть какой-то уголок емкости, в который трудно смешать краситель. Выбрать как набор ${\displaystyle B}$ этот труднодоступный угол. Тогда вопрос о смешивании может ${\displaystyle A}$, через достаточно продолжительный период времени не только проникают в ${\displaystyle B}$ но также заполнить ${\displaystyle B}$ в той же пропорции, что и в других местах?

Можно сформулировать определение сильного перемешивания как требование, чтобы

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Параметр времени ${\displaystyle n}$ служит для разделения ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ вовремя, так что один смешивает ${\displaystyle A}$ удерживая тестовый объем ${\displaystyle B}$ исправлено. Продукт ${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$ немного более тонкий. Представьте себе, что объем ${\displaystyle B}$ составляет 10% от общего объема, и что объем красителя ${\displaystyle A}$ также будет 10% от общей суммы. Если ${\displaystyle A}$ равномерно распределен, то занимает 10% ${\displaystyle B}$, что само по себе составляет 10% от общего количества, а значит, в конце концов, после смешивания, часть ${\displaystyle A}$ это в ${\displaystyle B}$ составляет 1% от общего объема. Это, ${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$ Этот объемный продукт имеет более чем мимолетное сходство с Теорема Байеса в вероятностях; это не случайность, а скорее следствие того, что теория меры и теория вероятности являются одной теорией: они разделяют одни и те же аксиомы ( Аксиомы Колмогорова ), даже если они используют разные обозначения.

Причина использования ${\displaystyle T^{-n}A}$ вместо того ${\displaystyle T^{n}A}$ в определении немного тонко, но по тем же причинам следует, почему ${\displaystyle T^{-1}A}$ был использован для определения концепции сохраняющей меру карты. Глядя на то, сколько красителя замешано в углу ${\displaystyle B}$, хочется посмотреть, откуда «взялась» эта краска (предположительно, когда-то в прошлом она была залита сверху). Нужно быть уверенным, что каждое место, откуда оно могло "прийти", в конечном итоге смешалось с ${\displaystyle B}$.

Смешивание в динамических системах

Позволять ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ быть сохраняющая меру динамическая система, с участием Т быть эволюцией во времени или оператор смены. Система называется сильное перемешивание если для любого ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$, надо

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Для сдвигов, параметризованных непрерывной переменной вместо дискретного целого числа п, то же определение применяется с ${\displaystyle T^{-n}}$ заменяется ${\displaystyle T_{g}}$ с участием г является параметром непрерывного времени.

Говорят, что динамическая система слабое перемешивание если есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

Другими словами, ${\displaystyle T}$ сильное перемешивание, если ${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$ в обычном смысле слабое перемешивание, если

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

в Cesàro смысл и эргодичность, если ${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$ в смысле Чезаро. Следовательно, сильное перемешивание означает слабое перемешивание, что подразумевает эргодичность. Однако обратное неверно: существуют эргодические динамические системы, которые не являются слабо перемешивающими, и слабо перемешивающие динамические системы, которые не являются сильно перемешивающими. В Система чакон исторически был первым примером системы со слабым, но не сильным перемешиванием.^[1]

${\displaystyle L^{2}}$ формулировка

Свойства эргодичности, слабого перемешивания и сильного перемешивания динамической системы, сохраняющей меру, также могут быть охарактеризованы средним из наблюдаемых. По эргодической теореме фон Неймана эргодичность динамической системы ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ эквивалентно тому свойству, что для любой функции ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$, последовательность ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ сильно сходится и в смысле Чезаро к ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$, т.е.

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.}$

Динамическая система ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ является слабо перемешивающим, если для любых функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot gd\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.}$

Динамическая система ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ сильно перемешивает, если для любой функции ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu ),}$ последовательность ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ слабо сходится к ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu ,}$ т.е. для любой функции ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .}$

Поскольку предполагается, что система сохраняет меру, эта последняя строка эквивалентна утверждению, что ковариация ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0,}$ так что случайные величины ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ и ${\displaystyle g}$ становятся ортогональными как ${\displaystyle n}$ растет. Собственно, поскольку это работает для любой функции ${\displaystyle g,}$ можно неформально рассматривать перемешивание как свойство случайных величин ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ и ${\displaystyle g}$ стать независимым как ${\displaystyle n}$ растет.

Продукты динамических систем

Учитывая две измеряемые динамические системы ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ и ${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$ можно построить динамическую систему ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ на декартово произведение путем определения ${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).}$ Тогда мы имеем следующие характеристики слабого перемешивания:

Предложение. Динамическая система ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ является слабо перемешивающим тогда и только тогда, когда для любой эргодической динамической системы ${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$, система ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ также эргодичен.

Предложение. Динамическая система ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ слабо перемешивает тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$ также эргодичен. Если это так, то ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$ тоже слабо перемешивает.

Обобщения

Приведенное выше определение иногда называют сильное 2-смешивание, чтобы отличить его от более высоких порядков смешивания. А сильная трехкомпонентная система можно определить как систему, для которой

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)}$

выполняется для всех измеримых множеств А, B, C. Мы можем определить сильное k-перемешивание так же. Система, которая сильный k-смешивание для всех k = 2,3,4, ... называется смешивание всех заказов.

Неизвестно, означает ли сильное 2-перемешивание сильное 3-перемешивание. Известно, что сильные м-смешивание подразумевает эргодичность.

Примеры

Иррациональные вращения окружности и вообще неприводимые сдвиги на торе эргодичны, но не являются ни сильно, ни слабо перемешивающими относительно меры Лебега.

Многие карты, рассматриваемые как хаотические, сильно перемешивают для некоторой правильно выбранной инвариантной меры, включая: диадическая карта, Карта кошек Арнольда, карты подковы, Колмогоровские автоморфизмы, а Аносов поток (в геодезический поток на блоке касательный пучок из компактные многообразия из отрицательная кривизна.)

Топологическое перемешивание

Форма смешивания может быть определена без обращения к мера, используя только топология системы. А непрерывная карта ${\displaystyle f:X\to X}$ как говорят топологически транзитивный если для каждой пары непустых открытые наборы ${\displaystyle A,B\subset X}$, существует целое число п такой, что

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

где ${\displaystyle f^{n}}$ это пй итерация из ж. в теория операторов, топологически транзитивный ограниченный линейный оператор (непрерывное линейное отображение на топологическое векторное пространство ) обычно называют гиперциклический оператор. Связанная идея выражена странствующий набор.

Лемма: Если Икс это полное метрическое пространство без изолированная точка, тогда ж топологически транзитивен тогда и только тогда, когда существует гиперциклическая точка ${\displaystyle x\in X}$, то есть точка Икс так что его орбита ${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$ является плотный в Икс.

Система называется топологическое смешение если, учитывая открытые множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, существует целое число N, так что для всех ${\displaystyle n>N}$, надо

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$

Для системы с непрерывным временем ${\displaystyle f^{n}}$ заменяется течь ${\displaystyle \varphi _{g}}$, с участием г являющийся непрерывным параметром, с требованием, чтобы непустое пересечение выполнялось для всех ${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$.

А слабое топологическое перемешивание тот, у которого нет непостоянных непрерывный (по топологии) собственные функции оператора сдвига.

Топологическое перемешивание не подразумевает и не подразумевает ни слабого, ни сильного перемешивания: есть примеры систем, которые являются слабым перемешиванием, но не топологически перемешивающими, и примеры, которые являются топологически перемешивающими, но не сильными.

Смешивание в случайных процессах

Позволять ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ быть случайный процесс на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Пространство последовательностей, в которое карты процесса могут быть наделены топологией, топология продукта. В открытые наборы этой топологии называются комплекты цилиндров. Эти наборы цилиндров создают σ-алгебра, то Борелевская σ-алгебра; это наименьшая σ-алгебра, содержащая топологию.

Определите функцию ${\displaystyle \alpha }$, называется сильный коэффициент смешивания, так как

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

для всех ${\displaystyle -\infty <s<\infty }$. Символ ${\displaystyle X_{a}^{b}}$, с участием ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$ обозначает под-σ-алгебру σ-алгебры; это набор наборов цилиндров, которые указываются между временами а и б, т.е. σ-алгебра, порожденная ${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$.

Процесс ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ как говорят сильно перемешивая если ${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$ так как ${\displaystyle s\to \infty }$. Иными словами, процесс сильного перемешивания таков, что однородным во все времена способом ${\displaystyle t}$ и все события, события до времени ${\displaystyle t}$ и события после времени ${\displaystyle t+s}$ стремятся быть независимый так как ${\displaystyle s\to \infty }$; Говоря проще, процесс, в строгом смысле слова, забывает свою историю.

Смешивание в марковских процессах

Предположим ${\displaystyle (X_{t})}$ были стационарными Марковский процесс со стационарным распределением ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и разреши ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$ обозначим пространство измеримых по Борелю функций, суммируемых с квадратом относительно меры ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Также позвольте

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]}$

обозначим оператор условного ожидания на ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} ).}$ Наконец, пусть

${\displaystyle Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}}$

обозначим пространство суммируемых с квадратом функций с нулевым средним.

В ρ-коэффициенты смешения процесса {Икс_т} находятся

${\displaystyle \rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.}$

Процесс называется ρ-смешивание если эти коэффициенты сходятся к нулю при т → ∞, и "ρ-смешивание с экспоненциальной скоростью затухания », если ρ_т < е^−δt для некоторых δ > 0. Для стационарного марковского процесса коэффициенты ρ_т может либо затухать с экспоненциальной скоростью, либо всегда равняться единице.^[2]

В α-коэффициенты смешения процесса {Икс_т} находятся

${\displaystyle \alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.}$

Процесс называется α-смешивание если эти коэффициенты сходятся к нулю при т → ∞, это «α-перемешивание с экспоненциальной скоростью затухания», если α_т < γe^−δt для некоторых δ > 0, и это α-смешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания если α_т < ξ(т) для некоторой невозрастающей функции ${\displaystyle \xi }$ удовлетворение

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

так как ${\displaystyle t\to \infty }$.^[2]

В α-коэффициенты смешения всегда меньше, чем ρ-смешивающие: α_т ≤ ρ_т, поэтому если процесс ρ-смешивание, обязательно будет α-смешивание тоже. Однако когда ρ_т = 1, процесс все еще может быть α-смешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания.

В β-коэффициенты смешения даны

${\displaystyle \beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .}$

Процесс называется β-смешивание если эти коэффициенты сходятся к нулю при т → ∞, это β-перемешивание с экспоненциальной скоростью затухания если β_т < γe^−δt для некоторых δ > 0, и это β-смешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания если β_тξ(т) → 0 так как т → ∞ для некоторой невозрастающей функции ${\displaystyle \xi }$ удовлетворение

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

так как ${\displaystyle t\to \infty }$.^[2]

Строго стационарный марковский процесс есть β-смешивание тогда и только тогда, когда оно является апериодическим повторяющимся Цепь Харриса. В β-коэффициенты смешения всегда больше, чем α-смешивание, поэтому, если процесс β-смешивание также будет α-смешивание. Нет прямой связи между β-смешивание и ρ-смешивание: ни одно из них не подразумевает другого.

использованная литература

• В. И. Арнольд и А. Авез, Эргодические задачи классической механики., (1968) W. A. ​​Benjamin, Inc.
• Ахим Кленке, Теория вероятности, (2006) Спрингер ISBN  978-1-84800-047-6
• Чен, Сяохун; Хансен, Ларс Питер; Карраско, Марин (2010). «Нелинейность и временная зависимость». Журнал эконометрики. 155 (2): 155–169. CiteSeerX  10.1.1.597.8777. Дои:10.1016 / j.jeconom.2009.10.001.

1. Мэтью Николь и Карл Петерсен, (2009) "Эргодическая теория: основные примеры и конструкции ",Энциклопедия сложности и системологии, Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
2. Чен, Хансен и Карраско (2010)