Изолированная точка - Isolated point - Wikipedia

«0» - изолированная точка на A = {0} ∪ [1, 2]

В математика, а точка Икс называется изолированная точка подмножества S (в топологическое пространство Икс) если Икс является элементом S но существует район из Икс который не содержит других пунктов S. Это эквивалентно тому, что синглтон {Икс} - открытое множество в топологическом пространстве S (считается подпространство из Икс). Если пространство Икс это Евклидово пространство (или любой другой метрическое пространство ), тогда Икс изолированная точка S если существует открытый мяч вокруг Икс который не содержит других точек S. (Введя понятие последовательностей и пределов, можно эквивалентно сказать, что элемент Икс из S изолированная точка S если и только если это не предельная точка из S.)

Дискретный набор

Набор, состоящий только из изолированных точек, называется дискретный набор (смотрите также дискретное пространство ). Любое дискретное подмножество S евклидова пространства должно быть счетный, поскольку изолированность каждой из его точек вместе с тем, что рациональные находятся плотный в реалы означает, что точки S может быть отображен в набор точек с рациональными координатами, которых счетно много. Однако не каждое счетное множество дискретно, и рациональные числа в рамках обычной евклидовой метрики являются каноническим примером.

Множество без изолированной точки называется плотный в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки множества). А закрытый набор без изолированной точки называется идеальный набор (он имеет все свои предельные точки, и ни одна из них не изолирована от него).

Количество изолированных точек равно топологический инвариант, т.е. если два топологические пространства ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ находятся гомеоморфный, количество изолированных точек в каждой равно.

Стандартные примеры

Топологические пространства в следующих примерах рассматриваются как подпространства из реальная линия со стандартной топологией.

Для набора ${ Displaystyle S = {0 } чашка [1,2]}$ , точка 0 - изолированная точка.
Для набора ${ Displaystyle S = {0 } чашка {1,1 / 2,1 / 3, точки }}$ , каждая из точек 1 / k является изолированной точкой, но 0 не является изолированной точкой, потому что есть другие точки в S как можно ближе к 0.
Набор ${ Displaystyle { mathbb {N}} = {0,1,2, ldots }}$ из натуральные числа дискретное множество.
В Лемма Морса утверждает, что невырожденные критические точки некоторых функций изолированы.

Противоинтуитивный пример

Рассмотрим множество ${ displaystyle F}$ очков ${ displaystyle x}$ в реальном интервале ${ displaystyle (0,1)}$ так что каждая цифра их двоичный представление ${ displaystyle x_ {i}}$ выполняет следующие условия:

Либо ${ displaystyle x_ {i} = 0}$ или же ${ displaystyle x_ {i} = 1}$ .
${ displaystyle x_ {i} = 1}$ только для конечного числа индексов ${ displaystyle i}$ .
Если ${ displaystyle m}$ обозначает самый большой индекс такой, что ${ displaystyle x_ {m} = 1}$ , тогда ${ displaystyle x_ {m-1} = 0}$ .
Если ${ displaystyle x_ {i} = 1}$ и ${ Displaystyle я <м}$ , то выполняется ровно одно из следующих двух условий: ${ displaystyle x_ {i-1} = 1}$ , ${ displaystyle x_ {я + 1} = 1}$ . Неформально это условие означает, что каждая цифра двоичного представления ${ displaystyle x}$ равный 1, принадлежит паре ... 0110 ..., за исключением ... 010 ... в самом конце.

Сейчас же, ${ displaystyle F}$ явный набор, состоящий целиком из изолированных точек^[1] который обладает контр-интуитивным свойством, что его закрытие является бесчисленное множество.^[2]

Другой набор ${ displaystyle F}$ с такими же свойствами можно получить следующим образом. Позволять ${ displaystyle C}$ быть в средней трети Кантор набор, позволять ${ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}, ldots}$ быть компонент интервалы ${ displaystyle [0,1] -C}$ , и разреши ${ displaystyle F}$ набор, состоящий из одной точки от каждого ${ displaystyle I_ {k}}$ . Поскольку каждый ${ displaystyle I_ {k}}$ содержит только одну точку из ${ displaystyle F}$ , каждая точка ${ displaystyle F}$ - изолированная точка. Однако если ${ displaystyle p}$ любая точка множества Кантора, то каждая окрестность ${ displaystyle p}$ содержит как минимум один ${ displaystyle I_ {k}}$ , а значит, хотя бы одна точка ${ displaystyle F}$ . Отсюда следует, что каждая точка канторова множества лежит в замыкании ${ displaystyle F}$ , и поэтому ${ displaystyle F}$ имеет бесчисленное количество закрытий.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Изолированная точка». MathWorld.

[1] Гомес-Рамирес 2007, с.146-147

[2] Гомес-Рамирес 2007, п. 146

[1]

[2]