Плотный в себе - Dense-in-itself - Wikipedia

В общая топология, подмножество ${\displaystyle A}$ из топологическое пространство как говорят плотный в себе^[1][2] или переполненный^[3][4]если ${\displaystyle A}$ не имеет изолированная точка.Эквивалентно ${\displaystyle A}$ плотно в себе, если каждая точка ${\displaystyle A}$ это предельная точка из ${\displaystyle A}$.Таким образом ${\displaystyle A}$ плотно в себе тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A\subseteq A'}$, куда ${\displaystyle A'}$ это производный набор из ${\displaystyle A}$.

Плотный в себе закрытый набор называется идеальный набор. (Другими словами, совершенное множество - это замкнутое множество без изолированной точки.)

Понятие плотный набор не имеет отношения к плотный в себе. Иногда это может сбивать с толку, поскольку «X плотно в X» (всегда верно) не то же самое, что «X плотно в себе» (нет изолированной точки).

Примеры

Простым примером множества, которое плотно в себе, но не замкнуто (и, следовательно, не является совершенным множеством), является подмножество иррациональные числа (рассматривается как подмножество действительные числа ). Этот набор плотен сам по себе, потому что каждый район иррационального числа ${\displaystyle x}$ содержит хотя бы одно иррациональное число ${\displaystyle y\neq x}$. С другой стороны, набор иррациональных чисел не замкнут, потому что каждый Рациональное число лежит в его закрытие. По аналогичным причинам набор рациональных чисел (также рассматриваемый как подмножество действительные числа ) также плотно в себе, но не замкнуто.

Приведенные выше примеры, иррациональные и рациональные формулы также являются плотные множества в их топологическом пространстве, а именно ${\displaystyle \mathbb {R} }$. В качестве примера, плотного в себе, но не плотного в своем топологическом пространстве, рассмотрим ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$. Это множество не плотно в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ но плотно в себе.

Свойства

• Объединение любого семейства плотных в себе подмножеств пространства Икс плотно в себе.^[5]
• В топологическом пространстве пересечение открытого множества и множества плотных в себе плотно в себе.
• В топологическом пространстве замыкание самого плотного множества является совершенным множеством.^[6]

Смотрите также

• Нигде плотный набор
• Глоссарий топологии
• Плотный порядок

Примечания

1. Steen & Seebach, стр. 6
2. Engelking, p. 25
3. http://www.topo.auburn.edu/tp/reprints/v21/tp21008.pdf
4. https://www.researchgate.net/publication/228597275_a-Scattered_spaces_II
5. Энгелькинг, 1.7.10, с. 59
6. Куратовский, с. 77

Рекомендации

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология. Heldermann Verlag, Берлин. ISBN  3-88538-006-4.
• Куратовский, К. (1966). Топология Vol. я. Академическая пресса. ISBN  012429202X.
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1978). Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. МИСТЕР  0507446.

Эта статья включает в себя материал из Dense в себе по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.