Случайное поле - Random field - Wikipedia

В физика и математика, а случайное поле является случайной функцией в произвольной области (обычно многомерном пространстве, таком как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$). То есть это функция ${\displaystyle f(x)}$ который принимает случайное значение в каждой точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$(или какой-нибудь другой домен). Его также иногда считают синонимом случайный процесс с некоторым ограничением на его набор индексов.^[1] То есть по современным определениям случайное поле является обобщением случайный процесс где базовый параметр больше не должен быть настоящий или же целое число ценится "время", но вместо этого может принимать значения, которые являются многомерными векторов или указывает на некоторые многообразие.^[2]

Формальное определение

Учитывая вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, Икс-значное случайное поле представляет собой набор Икс-значен случайные переменные индексируется элементами в топологическое пространство Т. То есть случайное поле F это коллекция

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

где каждый ${\displaystyle F_{t}}$ является Икс-значная случайная величина.

Примеры

В своей дискретной версии случайное поле представляет собой список случайных чисел, индексы которых идентифицируются с дискретным набором точек в пространстве (например, n-размерный Евклидово пространство ). В более общем смысле, значения могут быть определены в непрерывной области, а случайное поле может рассматриваться как случайная величина с «оценкой функции», как описано выше. В квантовая теория поля понятие даже обобщается на случайный функциональный, который принимает случайное значение на пространство функций (видеть Интеграл Фейнмана ). Существует несколько видов случайных полей, среди которых Марковское случайное поле (MRF), Случайное поле Гиббса, условное случайное поле (CRF) и Гауссовское случайное поле. MRF демонстрирует Марковская собственность

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

для каждого выбора значений ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$. И каждый ${\displaystyle \partial _{i}}$ это множество соседей ${\displaystyle i}$. Другими словами, вероятность того, что случайная величина примет значение, зависит от ее ближайших соседних случайных величин. Вероятность случайной величины в MRF определяется выражением

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

где сумма (может быть интегралом) берется по возможным значениям k. Иногда бывает сложно точно вычислить эту величину. В 1974 г. Юлиан Бесаг предложили метод аппроксимации, основанный на связи между MRF и RF Гиббса.^{[нужна цитата ]}

Приложения

При использовании в естественные науки, значения в случайном поле часто пространственно коррелированы. Например, соседние значения (то есть значения со смежными индексами) не различаются так сильно, как значения, которые находятся дальше друг от друга. Это пример ковариация структура, многие различные типы которой могут быть смоделированы в случайном поле. Одним из примеров является Модель Изинга где иногда взаимодействия ближайших соседей включаются только в качестве упрощения, чтобы лучше понять модель.

Обычно случайные поля используются при создании компьютерной графики, особенно тех, которые имитируют естественные поверхности, такие как воды и земной шар.

В нейробиология, особенно в функциональная визуализация мозга, связанная с заданием исследования с использованием ДОМАШНИЙ ПИТОМЕЦ или же фМРТ, статистический анализ случайных полей - одна из распространенных альтернатив поправка на множественные сравнения найти регионы с действительно значительная активация.^[3]

Они также используются в машинное обучение приложения (см. графические модели ).

Тензорные случайные поля

Случайные поля очень полезны при изучении природных процессов Метод Монте-Карло в котором случайные поля соответствуют естественно меняющимся свойствам в пространстве. Это приводит к тензорным случайным полям, в которых ключевую роль играет Статистический Объемный Элемент (SVE); когда SVE становится достаточно большим, его свойства становятся детерминированными и восстанавливается представительный элемент объема (RVE) детерминированной физики континуума. Второй тип случайных полей, которые появляются в теориях континуума, - это поля зависимых величин (температура, смещение, скорость, деформация, вращение, телесные и поверхностные силы, напряжение и т. Д.).^[4]

Смотрите также

• Ковариация
• Кригинг
• Вариограмма
• Реселлер
• Стохастический процесс
• Система взаимодействующих частиц
• Стохастические клеточные автоматы
• графическая модель

Рекомендации

1. «Случайные поля» (PDF).
2. Ванмарке, Эрик (2010). Случайные поля: анализ и синтез. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-9812563538.
3. Уорсли, К. Дж .; Evans, A.C .; Marrett, S .; Нилин, П. (ноябрь 1992 г.). «Трехмерный статистический анализ исследований активации CBF в мозге человека». Журнал церебрального кровотока и метаболизма. 12 (6): 900–918. Дои:10.1038 / jcbfm.1992.127. ISSN  0271-678X. PMID  1400644.
4. Маляренко Анатолий; Остоя-Старжевский, Мартин (2019). Тензорные случайные поля для физики сплошных сред. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781108429856.

дальнейшее чтение

• Адлер, Р. Дж. И Тейлор, Джонатан (2007). Случайные поля и геометрия. Springer. ISBN  978-0-387-48112-8.
• Бесаг, Дж. Э. (1974). «Пространственное взаимодействие и статистический анализ решетчатых систем». Журнал Королевского статистического общества. Серия Б. 36 (2): 192–236. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1974.tb00999.x.
• Гриффит, Дэвид (1976). «Случайные поля». В Кемени, Джон Г.; Снелл, Лори; Кнапп, Энтони В. (ред.). Счетные цепи Маркова (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-90177-9.
• Хошневисан (2002). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer. ISBN  0-387-95459-7.