Теорема о необязательной остановке - Optional stopping theorem - Wikipedia

Не путать с Оптимальная остановка.

В теория вероятности, то теорема о необязательной остановке (или же Дуб необязательная теорема выборки) говорит, что при определенных условиях ожидаемое значение из мартингейл в время остановки равно своему начальному ожидаемому значению. Поскольку мартингалы можно использовать для моделирования богатства игрока, участвующего в честной игре, теорема о факультативной остановке гласит, что в среднем ничего нельзя получить, останавливая игру на основе информации, полученной на данный момент (т. Е. Не заглядывая в будущее. ). Чтобы этот результат был верным, необходимы определенные условия. В частности, теорема применима к стратегии удвоения.

Теорема о необязательной остановке - важный инструмент математические финансы в контексте фундаментальная теорема ценообразования активов.

Заявление

Дискретная версия теоремы приводится ниже:

Позволять Икс = (Икс_т)_т∈ℕ0 быть дискретным временем мартингейл и τ а время остановки со значениями в ℕ₀ ∪ {∞}, как по отношению к фильтрация (F_т)_т∈ℕ0. Предположим, что выполнено одно из следующих трех условий:

(а) Время остановки τ является почти наверняка ограничено, т.е. существует постоянный c ∈ ℕ такой, что τ ≤ c в качестве.

(б) Время остановки τ имеет конечное математическое ожидание, а условные ожидания абсолютного значения приращений мартингала почти наверняка ограничены, точнее, ${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]<\infty }$ и существует постоянная c такой, что ${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X_{t+1}-X_{t}|\,{\big \vert }\,{\mathcal {F}}_{t}{\bigr ]}\leq c}$ почти наверняка на мероприятии {τ > т} для всех т ∈ ℕ₀.

(c) Существует постоянная c такой, что |Икс_т∧τ| ≤ c в качестве. для всех т ∈ ℕ₀ куда ∧ обозначает минимальный оператор.

потом Икс_τ является почти наверняка хорошо определенной случайной величиной и ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

Аналогично, если случайный процесс Икс = (Икс_т)_т∈ℕ0 это субмартингейл или супермартингейл и выполняется одно из указанных выше условий, то

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\geq \mathbb {E} [X_{0}],}$

для субмартингейла и

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\leq \mathbb {E} [X_{0}],}$

для супермартингейла.

Замечание

При условии (c) Возможно, что τ = ∞ происходит с положительной вероятностью. На этом мероприятии Икс_τ определяется как почти наверное существующий поточечный предел (Икс_т)_т∈ℕ0 подробности см. в доказательстве ниже.

Приложения

• Теорема о необязательной остановке может использоваться для доказательства невозможности успешных стратегий ставок для игрока с конечным временем жизни (что дает условие (а)) или лимит казино на ставки (условие (б)). Предположим, что игрок может поставить до c долларов при честном подбрасывании монеты 1, 2, 3 и т.д., выигрывая ставку, если монета выпадает орлом, и проигрывает, если монета выпадает решкой. Предположим далее, что он может бросить игру, когда захочет, но не может предсказать исход игры, которой еще не было. Тогда состояние игрока с течением времени - мартингейл, а время τ когда он решает бросить курить (или разоряется и вынужден уйти) - время остановки. Итак, теорема гласит, что E [Икс_τ] = E [Икс₀]. Другими словами, игрок уходит с той же суммой денег. в среднем как когда он начал. (Тот же результат сохраняется, если игрок, вместо того, чтобы иметь лимит казино на отдельные ставки, имеет конечный лимит кредитной линии или того, насколько далеко он может зайти в долг, хотя это легче показать с помощью другой версии теоремы. )
• Предположим, что случайная прогулка начинается с а ≥ 0 который увеличивается или уменьшается на единицу с равной вероятностью на каждом шаге. Предположим далее, что прогулка останавливается, если достигает 0 или же м ≥ а; время, в которое это происходит впервые, является временем остановки. Если известно, что ожидаемое время окончания прогулки конечно (скажем, от Цепь Маркова теория), теорема о необязательной остановке предсказывает, что ожидаемая позиция остановки равна начальной позиции а. Решение а = вечера + (1 – п)0 для вероятности п что прогулка достигает м перед 0 дает п = а/м.
• Теперь рассмотрим случайное блуждание Икс что начинается в 0 и останавливается, если достигает –м или же +м, и используйте Y_п = Икс_п² – п мартингейл из раздел примеров. Если τ это время, когда Икс первые достижения ±м, тогда 0 = E [Y₀] = E [Y_τ] = м² - E [τ]. Это дает E [τ] = м².
• Однако следует позаботиться о том, чтобы обеспечить выполнение одного из условий теоремы. Например, предположим, что в последнем примере вместо этого использовалось «одностороннее» время остановки, так что остановка происходила только в +м, а не на −м. Значение Икс в это время остановки, следовательно, будет м. Следовательно, математическое ожидание E [Икс_τ] также должен быть м, по-видимому, в нарушение теоремы, которая дала бы E [Икс_τ] = 0. Несостоятельность теоремы о необязательной остановке показывает, что все три условия не выполняются.

Доказательство

Позволять Икс^τ обозначить остановленный процесс, это тоже мартингейл (или субмартингейл, или супермартингейл соответственно). При условии (а) или же (б) случайная величина Икс_τ хорошо определено. При условии (c) остановленный процесс Икс^τ ограничен, следовательно, Дуба теорема сходимости мартингалов он сходится п.п. точечно к случайной величине, которую мы называем Икс_τ.

Если условие (c) держится, то остановленный процесс Икс^τ ограничено постоянной случайной величиной M := c. В противном случае запись остановленного процесса как

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{0}+\sum _{s=0}^{\tau -1\land t-1}(X_{s+1}-X_{s}),\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},}$

дает |Икс_т^τ| ≤ M для всех т ∈ ℕ₀, куда

${\displaystyle M:=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\tau -1}|X_{s+1}-X_{s}|=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\infty }|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}}$.

Посредством теорема о монотонной сходимости

${\displaystyle \mathbb {E} [M]=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\bigr ]}}$.

Если условие (а) имеет место только конечное число ненулевых слагаемых, поэтому M интегрируемо.

Если условие (б) выполняется, то продолжаем, вставляя условное ожидание и используя это событие {τ > s} известно время s (Обратите внимание, что τ считается временем остановки по отношению к фильтрации), поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [M]&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|{\big |}{\mathcal {F}}_{s}{\bigr ]}\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}} _{\leq \,c\,\mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\text{ a.s. by (b)}}}{\bigr ]}\\&\leq \mathbb {E} [|X_{0}|]+c\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {P} (\tau >s)\\&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+c\,\mathbb {E} [\tau ]<\infty ,\\\end{aligned}}}$

где представление ожидаемого значения неотрицательных целочисленных случайных величин используется для последнего равенства.

Следовательно, при любом из трех условий теоремы в остановленном процессе доминирует интегрируемая случайная величина M. Поскольку остановленный процесс Икс^τ почти наверняка сходится к Икс_τ , то теорема о доминируемой сходимости подразумевает

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\lim _{t\to \infty }\mathbb {E} [X_{t}^{\tau }].}$

По свойству мартингейла остановленного процесса

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}^{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}],\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},}$

следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

Аналогично, если Икс является субмартингалом или супермартингалом соответственно, заменим равенство в последних двух формулах на соответствующее неравенство.

Рекомендации

1. Гриммет, Джеффри Р .; Стирзакер, Дэвид Р. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр.491 –495. ISBN  9780198572220.
2. Бхаттачарья, Раби; Уэймайр, Эдвард С. (2007). Базовый курс теории вероятностей. Springer. С. 43–45. ISBN  978-0-387-71939-9.

внешняя ссылка

• Теорема Дуба о необязательной остановке