Мартингейл (система ставок) - Martingale (betting system)

Для обобщенной математической концепции см. Мартингейл (теория вероятностей).

А мартингейл любой из класса стратегии ставок которые возникли и были популярны в 18 веке Франция. Простейшая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает ставку, если монета выпадает орлом, и проигрывает, если монета выпадает решкой. Стратегия предусматривала, что игрок удваивает ставку после каждого проигрыша, так что первый выигрыш возмещает все предыдущие проигрыши плюс выигрыш, равный первоначальной ставке. Стратегия мартингейла была применена к рулетка кроме того, вероятность выпадения красного или черного близка к 50%.

Поскольку игрок с бесконечным богатством будет, почти наверняка, в конце концов, перевернуть голову, стратегия ставок на мартингейл рассматривалась как верная вещь теми, кто его отстаивал. Ни один из игроков не обладал бесконечным богатством, и экспоненциальный рост ставок в конечном итоге обанкротили бы «неудачливых» игроков, которые решили использовать мартингейл. Игрок обычно получает небольшое чистое вознаграждение, таким образом, кажется, что у него есть разумная стратегия. Однако ожидаемая стоимость игрока действительно остается нулевой (или меньше нуля), потому что малая вероятность того, что игрок понесет катастрофический убыток, точно уравновешивается с ожидаемой прибылью. В казино ожидаемое значение отрицательный, из-за края дома. Вероятность катастрофических потерь может быть даже не очень мала. Размер ставки растет экспоненциально. Это, в сочетании с тем фактом, что череда последовательных проигрышей на самом деле происходит чаще, чем предполагает обычная интуиция, может быстро разорить игрока.

Интуитивный анализ

Основная причина того, что все системы ставок типа мартингейл терпят неудачу, заключается в том, что никакая информация о результатах прошлых ставок не может быть использована для прогнозирования результатов будущей ставки с точностью лучше, чем шанс. В математической терминологии это соответствует предположению, что результаты выигрыша / проигрыша по каждой ставке независимые и одинаково распределенные случайные величины, предположение, которое справедливо во многих реальных ситуациях. Из этого предположения следует, что ожидаемая стоимость серии ставок равна сумме по всем ставкам, которые потенциально могут иметь место в серии, ожидаемой стоимости потенциальной ставки, умноженной на вероятность того, что игрок сделает эту ставку. В большинстве игр казино математическое ожидание каждой отдельной ставки отрицательно, поэтому сумма многих отрицательных чисел всегда будет отрицательной.

Стратегия мартингейла терпит неудачу даже при неограниченном времени остановки, пока существует лимит на прибыль или ставки (что также верно на практике).^[1] Это только при безграничном богатстве, ставки и время, когда можно было бы утверждать, что мартингейл становится выигрышная стратегия.

Математический анализ

Невозможность выигрыша в долгосрочной перспективе, учитывая ограничение размера ставок или ограничение размера банкролла или кредитной линии, доказывается теорема о необязательной остановке.^[1]

Математический анализ одиночного раунда

Пусть один раунд определяется как последовательность последовательных проигрышей, за которыми следует либо выигрыш, либо банкротство игрока. После выигрыша игрок «сбрасывается» и считается, что он начал новый раунд. Таким образом, непрерывная последовательность ставок мартингейла может быть разделена на последовательность независимых раундов. Ниже приводится анализ ожидаемой стоимости одного раунда.

Позволять q быть вероятностью проигрыша (например, для американской рулетки с двойным зеро она составляет 20/38 для ставки на черное или красное). Позволять B быть размером начальной ставки. Позволять п - конечное количество ставок, которые игрок может позволить себе проиграть.

Вероятность того, что игрок проиграет все п ставки q^п. Когда все ставки проигрывают, общий проигрыш составляет

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}$

Вероятность того, что игрок проиграет не все п ставка 1 -q^п. Во всех остальных случаях игрок выигрывает первоначальную ставку (B.) Таким образом ожидал прибыль за раунд составляет

${\displaystyle (1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})}$

В любое время q > 1/2, выражение 1 - (2q)^п <0 для всех п > 0. Таким образом, во всех играх, в которых игрок скорее проиграет, чем выиграет любую ставку, ожидается, что игрок проигрывает деньги в среднем каждый раунд. Увеличение размера ставки для каждого раунда по системе мартингейла только увеличивает средний проигрыш.

Предположим, у игрока есть банкролл в 63 единицы. Игрок может поставить 1 единицу на первое вращение. При каждом проигрыше ставка удваивается. Таким образом, принимая k как количество предыдущих последовательных проигрышей, игрок всегда будет ставить 2^k единицы.

При выигрыше в любом конкретном вращении игрок получит на 1 единицу больше общей суммы, поставленной до этого момента. Как только этот выигрыш достигнут, игрок перезапускает систему, сделав ставку в 1 единицу.

При проигрыше всех первых шести вращений игрок теряет в общей сложности 63 единицы. Это исчерпывает банкролл, и продолжение мартингейла невозможно.

В этом примере вероятность потери всего банкролла и невозможности продолжить мартингейл равна вероятности 6 последовательных проигрышей: (10/19)⁶ = 2,1256%. Вероятность выигрыша равна 1 минус вероятность проигрыша 6 раз: 1 - (10/19)⁶ = 97.8744%.

Ожидаемая сумма выигрыша составляет (1 × 0,978744) = 0,978744.
Ожидаемая сумма проигрыша составляет (63 × 0,021256) = 1,339118.
Таким образом, общее ожидаемое значение для каждого приложения системы ставок составляет (0,978744 - 1,339118) = −0,360374.

В уникальных обстоятельствах эта стратегия может иметь смысл. Предположим, у игрока ровно 63 единицы, но ему отчаянно нужно 64 единицы. q > 1/2 (это настоящее казино), и он может делать ставки только с равными шансами, его лучшая стратегия: смелая игра: при каждом вращении он должен ставить наименьшую сумму, чтобы в случае выигрыша он сразу достиг своей цели, а если у него недостаточно для этого, он должен просто поставить все. В конце концов он либо разорится, либо достигает своей цели. Эта стратегия дает ему вероятность 97,8744% достижения цели выиграть одну единицу против 2,1256% вероятности проиграть все 63 единицы, и это лучшая вероятность, возможная в данном случае.^[2] Однако смелая игра не всегда является оптимальной стратегией для получения наибольшего возможного шанса увеличить начальный капитал до желаемой более высокой суммы. Если игрок может делать ставки на произвольно небольшие суммы с произвольно длинными коэффициентами (но все же с той же ожидаемой потерей 1/19 ставки по каждой ставке) и может делать только одну ставку при каждом вращении, то существуют стратегии с более чем 98%. шанс достичь своей цели, и они используют очень робкую игру, если игрок не близок к потере всего своего капитала, и в этом случае он действительно переключается на чрезвычайно смелую игру.^[3]

Альтернативный математический анализ

Предыдущий анализ вычисляет ожидаемое значение, но мы можем задать другой вопрос: каков шанс, что можно сыграть в игру казино, используя стратегию мартингейла, и избежать полосы неудач достаточно долго, чтобы удвоить свой банкролл.

Как и раньше, это зависит от вероятности проигрыша 6 вращений рулетки подряд, если мы делаем ставку на красное / черное или четное / нечетное. Многие игроки считают, что шансы проиграть шесть раз подряд очень малы, и что при терпеливом следовании стратегии они постепенно увеличивают свой банкролл.

На самом деле, шансы на серию из 6 проигрышей подряд намного выше, чем многие люди интуитивно полагают. Психологические исследования показали, что, поскольку люди знают, что шансы проиграть 6 раз подряд из 6 розыгрышей низкие, они ошибочно предполагают, что в более длинной последовательности игр шансы также очень низкие. Когда людей просят изобрести данные, представляющие 200 подбрасываний монет, они часто не добавляют полос из более чем 5, потому что считают, что эти полосы очень маловероятны.^[4] Это интуитивное убеждение иногда называют эвристика репрезентативности.

Антимартингейл

Это также известно как обратный мартингейл. В классическом стиле мартингейла игроки увеличивают ставки после каждого проигрыша в надежде, что возможный выигрыш компенсирует все предыдущие проигрыши. Подход против мартингейла вместо этого увеличивает ставки после выигрышей и снижает их после проигрыша. Считается, что игрок выиграет от выигрышной серии или «горячей руки», уменьшая при этом потери в «холодном» состоянии или иным образом имея проигрышную серию. Поскольку одиночные ставки не зависят друг от друга (и от ожиданий игрока), концепция выигрышных «полос» является просто примером заблуждение игрока, а стратегия антимартингейла не приносит денег. Если, с другой стороны, реальная доходность акций последовательно коррелирована (например, из-за экономических циклов и запоздалой реакции на новости крупных участников рынка), «серии» выигрышей или проигрышей случаются чаще и длиннее, чем те, которые находятся ниже чисто случайный процесс, стратегия антимартингейла теоретически может применяться и может использоваться в торговых системах (как следование за трендом или "удвоение"). (Но см. Также усреднение долларовой стоимости.)

Смотрите также

• Математический портал

• Эскалация обязательств
• Петербургский парадокс

Рекомендации

1. Михаэль Митценмахер; Эли Упфал (2005), Вероятность и вычисления: рандомизированные алгоритмы и вероятностный анализ, Cambridge University Press, стр. 298, ISBN  978-0-521-83540-4, заархивировано из оригинал 13 октября 2015 г.
2. Лестер Э. Дубинс; Леонард Дж. Сэвидж (1965), Как играть, если надо: неравенства для случайных процессов, Макгроу Хилл
3. Ларри Шепп (2006), Смелая игра и оптимальная политика для казино Варди, стр. 150–156 в: Случайное блуждание, последовательный анализ и связанные темы., World Scientific
4. Мартин, Фрэнк А. (февраль 2009 г.). «Каковы были шансы получить такую ​​ужасную серию в казино?» (PDF). WizardOfOdds.com. Получено 31 марта 2012.