Теоремы Дубса о сходимости мартингалов - Doobs martingale convergence theorems - Wikipedia

В математика - в частности, в теория случайных процессов  – Теоремы Дуба о сходимости мартингалов представляют собой сборник результатов по пределы из супермартингейлы, названный в честь американского математика Джозеф Л. Дуб.^[1] Неофициально теорема сходимости мартингалов обычно относится к результату, что любой супермартингал, удовлетворяющий определенному условию ограниченности, должен сходиться. Можно думать о супермартингалах как о случайных аналогах невозрастающих последовательностей; с этой точки зрения теорема о сходимости мартингалов является случайная переменная аналог теорема о монотонной сходимости, который утверждает, что любая ограниченная монотонная последовательность сходится. Для субмартингалов есть симметричные результаты, аналогичные неубывающим последовательностям.

Заявление для мартингалов с дискретным временем

Общая формулировка теоремы о сходимости мартингалов для мартингалов с дискретным временем состоит в следующем. Позволять ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ будь супермартингейлом. Предположим, что супермартингал ограничен в том смысле, что

${\displaystyle \sup _{t\in \mathbf {N} }\operatorname {E} [X_{t}^{-}]<\infty }$

куда ${\displaystyle X_{t}^{-}}$ отрицательная часть ${\displaystyle X_{t}}$, определяется ${\textstyle X_{t}^{-}=-\min(X_{t},0)}$. Тогда последовательность сходится почти наверняка к случайной величине ${\displaystyle X}$ с конечным ожиданием.

Существует симметричное утверждение для субмартингалов с ограниченным математическим ожиданием положительной части. Супермартингал - это стохастический аналог невозрастающей последовательности, и условие теоремы аналогично условию в теореме о монотонной сходимости, что последовательность ограничена снизу. Условие ограниченности мартингала существенно; например, беспристрастный ${\displaystyle \pm 1}$ случайное блуждание - это мартингал, но не сходится.

Как подсказывает интуиция, есть две причины, по которым последовательность может не сходиться. Он может уходить в бесконечность или колебаться. Условие ограниченности препятствует первому. Последнее невозможно из-за «азартной игры». В частности, рассмотрим игру на фондовом рынке, в которой ${\displaystyle t}$, у акции есть цена ${\displaystyle X_{t}}$. Не существует стратегии покупки и продажи акций с течением времени, всегда имея неотрицательное количество акций, которое дает положительную ожидаемую прибыль в этой игре. Причина в том, что каждый раз ожидаемое изменение цены акций с учетом всей прошлой информации не превышает нуля (по определению супермартингейла). Но если бы цены колебались без схождения, тогда существовала бы стратегия с положительной ожидаемой прибылью: свободно покупать дешево и продавать дорого. Этот аргумент можно сделать строгим, чтобы доказать результат.

Доказательство эскиза

Доказательство упрощается за счет (более сильного) предположения, что супермартингал равномерно ограничен; то есть существует постоянная ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle |X_{n}|\leq M}$ всегда держит. В том случае, если последовательность ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ не сходится, то ${\displaystyle \liminf X_{n}}$ и ${\displaystyle \limsup X_{n}}$ отличаются. Если также последовательность ограничена, то есть некоторые действительные числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такой, что ${\displaystyle a<b}$ и последовательность пересекает интервал ${\displaystyle [a,b]}$ бесконечно часто. То есть последовательность в конечном итоге меньше, чем ${\displaystyle a}$, а в более позднее время превышает ${\displaystyle b}$, а в более позднее время меньше, чем ${\displaystyle a}$и так далее до бесконечности. Эти периоды, когда последовательность начинается ниже ${\displaystyle a}$ а позже превышает ${\displaystyle b}$ называются «апкроссингами».

Рассмотрим игру на фондовом рынке, в которой ${\displaystyle t}$, можно купить или продать акции по цене ${\displaystyle X_{t}}$. С одной стороны, из определения супермартингейла можно показать, что для любого ${\displaystyle N\in \mathbf {N} }$ не существует стратегии, которая поддерживает неотрицательное количество акций и дает положительную ожидаемую прибыль после игры в эту игру в течение ${\displaystyle N}$ шаги. С другой стороны, если цены пересекают фиксированный интервал ${\displaystyle [a,b]}$ очень часто кажется, что следующая стратегия подходит лучше: покупать акции, когда цена падает ниже ${\displaystyle a}$, и продать, когда цена превысит ${\displaystyle b}$. Действительно, если ${\displaystyle u_{N}}$ количество переходов вверх в последовательности по времени ${\displaystyle N}$, то прибыль в момент времени ${\displaystyle N}$ по крайней мере ${\displaystyle (b-a)u_{N}-2M}$: каждый апкроссинг обеспечивает не менее ${\displaystyle b-a}$ прибыль, и если последним действием была покупка, то в худшем случае цена покупки была ${\displaystyle a\leq M}$ и текущая цена ${\displaystyle -M}$. Но любая стратегия рассчитывала максимум на прибыль. ${\displaystyle 0}$так что обязательно

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}}.}$

Посредством теорема о монотонной сходимости ожиданий, это означает, что

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\lim _{N\to \infty }u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}},}$

таким образом, ожидаемое количество переходов вверх во всей последовательности конечно. Отсюда следует, что событие бесконечного пересечения для интервала ${\displaystyle [a,b]}$ происходит с вероятностью ${\displaystyle 0}$. Объединением, связанным по всем рациональным ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, с вероятностью ${\displaystyle 1}$, не существует интервала, который пересекается бесконечно часто. Если для всех ${\displaystyle a,b\in \mathbf {Q} }$ есть конечное число переходов интервала вверх ${\displaystyle [a,b]}$, то нижний предел и верхний предел последовательности должны совпадать, поэтому последовательность должна сходиться. Это показывает, что мартингал сходится с вероятностью ${\displaystyle 1}$.

Нарушение сходимости среднего

В условиях приведенной выше теоремы о сходимости мартингалов не обязательно верно, что супермартингал ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ сходится в среднем (т.е. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [|X_{n}-X|]=0}$).

В качестве примера,^[2] позволять ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ быть ${\displaystyle \pm 1}$ случайное блуждание с ${\displaystyle X_{0}=1}$. Позволять ${\displaystyle N}$ быть первым, когда ${\displaystyle X_{n}=0}$, и разреши ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ быть случайным процессом, определяемым ${\displaystyle Y_{n}:=X_{\min(N,n)}}$. потом ${\displaystyle N}$ это время остановки относительно мартингейла ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$, так ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ также мартингейл, называемый прекратил мартингейл. Особенно, ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ является ограниченным снизу супермартингалом, поэтому по теореме о сходимости мартингалов он поточечно почти наверняка сходится к случайной величине ${\displaystyle Y}$. Но если ${\displaystyle Y_{n}>0}$ тогда ${\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}\pm 1}$, так ${\displaystyle Y}$ почти наверняка ноль.

Это означает, что ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=0}$. Тем не мение, ${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}]=1}$ для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$, поскольку ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ это случайное блуждание, которое начинается в ${\displaystyle 1}$ а затем делает ходы со средним нулем (поочередно, обратите внимание, что ${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}]=\operatorname {E} [Y_{0}]=1}$ поскольку ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ это мартингал). Следовательно ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ не может сходиться к ${\displaystyle Y}$ в смысле. Более того, если ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ сходились в среднем к любой случайной величине ${\displaystyle R}$, тогда некоторая подпоследовательность сходится к ${\displaystyle R}$ почти наверняка. Итак, по приведенному выше аргументу ${\displaystyle R=0}$ почти наверняка, что противоречит сходимости в среднем.

Утверждения для общего случая

В следующих, ${\displaystyle (\Omega ,F,F_{*},\mathbf {P} )}$ будет фильтрованное вероятностное пространство куда ${\displaystyle F_{*}=(F_{t})_{t\geq 0}}$, и ${\displaystyle N:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R} }$ будет право-непрерывный супермартингейла относительно фильтрации ${\displaystyle F_{*}}$; другими словами, для всех ${\displaystyle 0\leq s\leq t<+\infty }$,

${\displaystyle N_{s}\geq \operatorname {E} {\big [}N_{t}\mid F_{s}{\big ]}.}$

Первая теорема о сходимости мартингалов Дуба

Первая теорема Дуба о сходимости мартингалов дает достаточное условие для случайных величин ${\displaystyle N_{t}}$ иметь предел как ${\displaystyle t\to +\infty }$ в поточечном смысле, т.е. для каждого ${\displaystyle \omega }$ в пространство образца ${\displaystyle \Omega }$ индивидуально.

За ${\displaystyle t\geq 0}$, позволять ${\displaystyle N_{t}^{-}=\max(-N_{t},0)}$ и предположим, что

${\displaystyle \sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}N_{t}^{-}{\big ]}<+\infty .}$

Тогда поточечный предел

${\displaystyle N(\omega )=\lim _{t\to +\infty }N_{t}(\omega )}$

существует и конечна для ${\displaystyle \mathbf {P} }$-почти все ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.^[3]

Вторая теорема о сходимости мартингалов Дуба

Важно отметить, что сходимость в первой теореме Дуба о сходимости мартингалов является поточечной, неоднородной и не связана со сходимостью в среднем квадрате или даже в любом L^п Космос. Чтобы получить сходимость в L¹ (т.е. схождение в среднем ) требуется равномерная интегрируемость случайных величин ${\displaystyle N_{t}}$. К Неравенство Чебышева, сходимость в L¹ подразумевает сходимость по вероятности и сходимость по распределению.

Следующие варианты эквивалентны:

• ${\displaystyle (N_{t})_{t>0}}$ является равномерно интегрируемый, т.е.

${\displaystyle \lim _{C\to \infty }\sup _{t>0}\int _{\{\omega \in \Omega \,\mid \,N_{t}(\omega )>C\}}\left|N_{t}(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=0;}$

• существует интегрируемый случайная переменная ${\displaystyle N\in L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$ такой, что ${\displaystyle N_{t}\to N}$ в качестве ${\displaystyle t\to \infty }$ обе ${\displaystyle \mathbf {P} }$-почти наверняка И в ${\displaystyle L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$, т.е.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|N_{t}-N\right|\right]=\int _{\Omega }\left|N_{t}(\omega )-N(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )\to 0{\text{ as }}t\to +\infty .}$

Продвигающееся неравенство Дуба

Следующий результат, названный Продвигающееся неравенство Дуба или, иногда, Лемма Дуба об апкроссинге, используется при доказательстве теорем Дуба о сходимости мартингалов.^[3] А аргумент "азартные игры" показывает, что для равномерно ограниченных супермартингалов количество апкроссингов ограничено; лемма об апкроссинге обобщает этот аргумент на супермартингалы с ограниченным математическим ожиданием их отрицательных частей.

Позволять ${\displaystyle N}$ быть натуральным числом. Позволять ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ быть супермартингалом относительно фильтрация ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$. Позволять ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ быть двумя действительными числами с ${\displaystyle a<b}$. Определите случайные величины ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ так что ${\displaystyle U_{n}}$ - максимальное количество непересекающихся интервалов ${\displaystyle [n_{i_{1}},n_{i_{2}}]}$ с ${\displaystyle n_{i_{2}}\leq n}$, так что ${\displaystyle X_{n_{i_{1}}}<a<b<X_{n_{i_{2}}}}$. Они называются переходы относительно интервала ${\displaystyle [a,b]}$. потом

${\displaystyle (b-a)\operatorname {E} [U_{n}]\leq \operatorname {E} [(X_{n}-a)^{-}].\quad }$

куда ${\displaystyle X^{-}}$ отрицательная часть ${\displaystyle X}$, определяется ${\textstyle X^{-}=-\min(X,0)}$.^[4][5]

Приложения

Конвергенция в L^п

Позволять ${\displaystyle M:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R} }$ быть непрерывный Мартингейл такой, что

${\displaystyle \sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}{\big |}M_{t}{\big |}^{p}{\big ]}<+\infty }$

для некоторых ${\displaystyle p>1}$. Тогда существует случайная величина ${\displaystyle M\in L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$ такой, что ${\displaystyle M_{t}\to M}$ в качестве ${\displaystyle t\to +\infty }$ обе ${\displaystyle \mathbf {P} }$-почти обязательно и в ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$.

Утверждение для мартингалов с дискретным временем практически идентично с той очевидной разницей, что в предположении непрерывности больше нет необходимости.

Закон нуля или единицы Леви

Из теорем о сходимости мартингалов Дуба следует, что условные ожидания также обладают свойством сходимости.

Позволять ${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbf {P} )}$ быть вероятностное пространство и разреши ${\displaystyle X}$ быть случайной величиной в ${\displaystyle L^{1}}$. Позволять ${\displaystyle F_{*}=(F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$ быть любым фильтрация из ${\displaystyle F}$, и определим ${\displaystyle F_{\infty }}$ быть минимальным σ-алгебра создано ${\displaystyle (F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$. потом

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

обе ${\displaystyle \mathbf {P} }$-почти обязательно и в ${\displaystyle L^{1}}$.

Этот результат обычно называют Закон нуля или единицы Леви или же Теорема Леви вверх. Причина названия в том, что если ${\displaystyle A}$ это событие в ${\displaystyle F_{\infty }}$, то по теореме ${\displaystyle \mathbf {P} [A\mid F_{k}]\to \mathbf {1} _{A}}$ почти наверняка, то есть предел вероятностей равен 0 или 1. Говоря простым языком, если мы постепенно изучаем всю информацию, которая определяет исход события, то постепенно мы будем уверены, каким будет результат. Это звучит почти как тавтология, но результат все равно нетривиальный. Например, это легко подразумевает Закон нуля или единицы Колмогорова, поскольку он говорит, что для любого хвостовое событие А, мы должны иметь ${\displaystyle \mathbf {P} [A]=\mathbf {1} _{A}}$ почти наверняка, следовательно ${\displaystyle \mathbf {P} [A]\in \{0,1\}}$.

Аналогично у нас есть Теорема Леви вниз :

Позволять ${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbf {P} )}$ быть вероятностное пространство и разреши ${\displaystyle X}$ быть случайной величиной в ${\displaystyle L^{1}}$. Позволять ${\displaystyle (F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$ - любая убывающая последовательность субсигмаалгебр ${\displaystyle F}$, и определим ${\displaystyle F_{\infty }}$ быть перекрестком. потом

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

обе ${\displaystyle \mathbf {P} }$-почти обязательно и в ${\displaystyle L^{1}}$.

Смотрите также

• Теорема обратной мартингальной сходимости^[6]

Рекомендации

1. Дуб, Дж. Л. (1953). Стохастические процессы. Нью-Йорк: Вили.
2. Дарретт, Рик (1996). Вероятность: теория и примеры (Второе изд.). Duxbury Press. ISBN  978-0-534-24318-0.; Дарретт, Рик (2010). 4-е издание. ISBN  9781139491136.
3. "Теорема о сходимости мартингала" (PDF). Массачусетский технологический институт, 6.265 / 15.070J Лекция 11 - Дополнительный материал, Расширенные случайные процессы, осень 2013 г., 9.10.2013.
4. Бобровски, Адам (2005). Функциональный анализ вероятностей и стохастических процессов: введение. Издательство Кембриджского университета. С. 113–114. ISBN  9781139443883.
5. Гущин, А.А. (2014). «О побочных аналогах максимальных неравенств Дуба». Труды Математического института им. В. А. Стеклова.. 287 (287): 118–121. arXiv:1410.8264. Дои:10.1134 / S0081543814080070.
6. Дуб, Джозеф Л. (1994). Теория меры. Тексты для выпускников по математике, Vol. 143. Springer. п. 197. ISBN  9781461208778.

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (См. Приложение C)