Мера интенсивности - Intensity measure

В теория вероятности, мера интенсивности это мера что происходит от случайная мера. Мера интенсивности не является случайной и определяется как ожидаемое значение случайной меры набора, следовательно, он соответствует среднему объему, который случайная мера присваивает набору. Мера интенсивности содержит важную информацию о свойствах случайной меры. А Точечный процесс Пуассона, интерпретируемая как случайная мера, например, однозначно определяется своей мерой интенсивности. ^[1]

Определение

Позволять ${\displaystyle \zeta }$ быть случайная мера на измеримое пространство ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ и обозначим ожидаемое значение случайного элемента ${\displaystyle Y}$ с ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$.

Мера интенсивности

${\displaystyle \operatorname {E} \zeta \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$

из ${\displaystyle \zeta }$ определяется как

${\displaystyle \operatorname {E} \zeta (A)=\operatorname {E} [\zeta (A)]}$

для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.^{[2] [3]}

Обратите внимание на разницу в обозначениях математического ожидания случайного элемента. ${\displaystyle Y}$, обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ и мера интенсивности случайной меры ${\displaystyle \zeta }$, обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$.

Характеристики

Мера интенсивности ${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$ всегда s-конечный и удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\operatorname {E} \zeta (dx)}$

за каждый положительный измеримая функция ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$.^[3]

Рекомендации

1. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.528. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.526. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
3. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 53. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.