Случайная мера - Random measure

В теория вероятности, а случайная мера это мера -значен случайный элемент.^[1][2] Случайные меры, например, используются в теории случайные процессы, где они образуют много важных точечные процессы Такие как Точечные процессы Пуассона и Кокса процессы.

Определение

Случайные меры можно определить как переходные ядра или как случайные элементы. Оба определения эквивалентны. Для определений пусть ${\displaystyle E}$ быть отделяемый полное метрическое пространство и разреши ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ быть его Борель ${\displaystyle \sigma }$-алгебра. (Наиболее распространенный пример сепарабельного полного метрического пространства - ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)

Как переходное ядро

Случайная мера ${\displaystyle \zeta }$ это (в качестве. ) локально конечное ядро ​​перехода из (аннотация) вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ к ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$.^[3]

Ядро перехода означает, что

• Для любых фиксированных ${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}}$отображение

${\displaystyle \omega \mapsto \zeta (\omega ,B)}$

является измеримый из ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ к ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

• За каждый фиксированный ${\displaystyle \omega \in \Omega }$отображение

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})}$

это мера на ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Локальная конечность означает, что меры

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)}$

удовлетворить ${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$ для всех ограниченных измеримых множеств ${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$и для всех ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ кроме некоторых ${\displaystyle P}$-нулевой набор

Как случайный элемент

Определять

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}}$

а подмножество локально конечных мер -

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}}$

Для всех измеримых ограниченных ${\displaystyle {\tilde {B}}}$, определим отображения

${\displaystyle I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})}$

из ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ к ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Позволять ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$ быть ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, индуцированная отображениями ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ на ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ и ${\displaystyle \mathbb {M} }$ то ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, индуцированная отображениями ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$.

Случайная мера - это случайный элемент из ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ к ${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$ который почти наверняка принимает значения в ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$^[3][4][5]

Основные связанные концепции

Мера интенсивности

Основная статья: мера интенсивности

Для случайной меры ${\displaystyle \zeta }$, мера ${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$ удовлетворение

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

для каждой положительной измеримой функции ${\displaystyle f}$ называется мерой интенсивности ${\displaystyle \zeta }$. Мера интенсивности существует для каждой случайной меры и является s-конечная мера.

Поддерживающая мера

Для случайной меры ${\displaystyle \zeta }$, мера ${\displaystyle \nu }$ удовлетворение

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

для всех положительно измеримых функций называется поддерживающая мера из ${\displaystyle \zeta }$. Опорная мера существует для всех случайных мер и может быть выбрана конечной.

Преобразование Лапласа

Для случайной меры ${\displaystyle \zeta }$, то Преобразование Лапласа определяется как

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}$

для каждой положительной измеримой функции ${\displaystyle f}$.

Основные свойства

Измеримость интегралов

Для случайной меры ${\displaystyle \zeta }$, интегралы

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

и${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

для положительного ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-измеримый ${\displaystyle f}$ измеримы, поэтому они случайные переменные.

Уникальность

Распределение случайной меры однозначно определяется распределениями

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

для всех непрерывных функций с компактной опорой ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$. За фиксированный полукольцо ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$ что порождает ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ в том смысле, что ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$, распределение случайной меры также однозначно определяется интегралом по всем положительным просто ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-измеримые функции ${\displaystyle f}$.^[6]

Разложение

Мера обычно может быть разложена на:

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

Здесь ${\displaystyle \mu _{d}}$ - диффузная мера без атомов, а ${\displaystyle \mu _{a}}$ является чисто атомарной мерой.

Мера случайного подсчета

Случайная мера вида:

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

куда ${\displaystyle \delta }$ это Мера Дирака, и ${\displaystyle X_{n}}$ случайные величины, называется точечный процесс^[1][2] или же случайный счетчик. Эта случайная мера описывает набор N частицы, положение которых задается (как правило, векторными) случайными величинами ${\displaystyle X_{n}}$. Диффузная составляющая ${\displaystyle \mu _{d}}$ имеет значение NULL для счетной меры.

В формальных обозначениях выше случайная счетная мера - это отображение из вероятностного пространства в измеримое пространство. (${\displaystyle N_{X}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(N_{X})}$) а измеримое пространство. Здесь ${\displaystyle N_{X}}$ - пространство всех ограниченно конечных целочисленных мер ${\displaystyle N\in M_{X}}$ (называемые счетными мерами).

Определения меры ожидания, функционала Лапласа, моментных мер и стационарности для случайных мер соответствуют определениям точечные процессы. Случайные меры полезны при описании и анализе Методы Монте-Карло, Такие как Числовая квадратура Монте-Карло и фильтры твердых частиц.^[7]

Смотрите также

• Случайная мера Пуассона
• Векторная мера
• Ансамбль

Рекомендации

1. Калленберг, О., Случайные меры, 4-е изд. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон; Академия Верлаг, Берлин (1986). ISBN  0-12-394960-2 МИСТЕР854102. Авторитетный, но довольно сложный справочник.
2. Ян Гранделл, Точечные процессы и случайные меры, Достижения в прикладной теории вероятностей 9 (1977) 502-526. МИСТЕР0478331 JSTOR Красивое и понятное введение.
3. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 1. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
4. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п. 526. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
5. Дейли, Д. Дж .; Вер-Джонс, Д. (2003). «Введение в теорию точечных процессов». Вероятность и ее приложения. Дои:10.1007 / b97277. ISBN  0-387-95541-0.
6. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 52. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
7. "Крисан, Д., Фильтры частиц: теоретическая перспектива, в Последовательный Монте-Карло на практике, Дусе А., де Фрейтас Н. и Гордон Н. (редакторы), Springer, 2001 г., ISBN  0-387-95146-6