Матрица скорости перехода - Transition rate matrix

В теория вероятности, а матрица скорости перехода (также известный как матрица интенсивности^[1][2] или же бесконечно малый генератор матрица^[3]) представляет собой массив чисел, описывающих мгновенную скорость, с которой цепь Маркова с непрерывным временем переходы между состояниями.

В матрице скорости перехода Q (иногда пишется А^[4]) элемент q_ij (за я ≠ j) обозначает скорость отклонения от я и прибыв в состояние j. Диагональные элементы q_ii определены так, что

${\displaystyle q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}.}$

и поэтому строки матрицы равны нулю (см. условие 3 в разделе определений).

Определение

А Q матрица (q_ij) удовлетворяет следующим условиям^[5]

1. ${\displaystyle 0\leq -q_{ii}<\infty }$
2. ${\displaystyle 0\leq q_{ij}:\mathrm {for} \;i\neq j}$
3. ${\displaystyle \sum _{j}q_{ij}=0:\mathrm {for} \;\mathrm {all} \;i}$

Это определение можно интерпретировать как Лапласиан ориентированного взвешенного графа вершины которых соответствуют состояниям цепи Маркова.

Пример

An M / M / 1 очередь, модель, которая подсчитывает количество заданий в системе массового обслуживания с поступлением со скоростью λ и услугами со скоростью μ, имеет матрицу скорости перехода

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda &\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}.}$

Рекомендации

1. Сыски, Р. (1992). Время прохождения для цепей Маркова. IOS Press. Дои:10.3233 / 978-1-60750-950-9-я. ISBN  90-5199-060-Х.
2. Асмуссен, С. Р. (2003). «Марковские скачковые процессы». Прикладная вероятность и очереди. Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 51. С. 39–59. Дои:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN  978-0-387-00211-8.
3. Триведи, К. С .; Кулькарни, В. Г. (1993). «FSPNs: жидкие стохастические сети Петри». Применение и теория сетей Петри 1993. Конспект лекций по информатике. 691. п. 24. Дои:10.1007/3-540-56863-8_38. ISBN  978-3-540-56863-6.
4. Рубино, Херардо; Серикола, Бруно (1989). «Времена пребывания в конечных марковских процессах». Журнал прикладной теории вероятностей. Доверие прикладной вероятности. 26 (4): 744–756. JSTOR  3214379.
5. Норрис, Дж. Р. (1997). «Цепи Маркова». Дои:10.1017 / CBO9780511810633. ISBN  9780511810633.