Уравнение Фоккера – Планка - Fokker–Planck equation

Решение одномерного уравнения Фоккера – Планка с дрейфом и диффузией. В этом случае начальным условием является Дельта-функция Дирака центрировано от нулевой скорости. Со временем это распределение расширяется за счет случайных импульсов.

В статистическая механика, то Уравнение Фоккера – Планка это уравнение в частных производных это описывает эволюция во времени из функция плотности вероятности скорости частицы под действием тянуть силы и случайные силы, как в Броуновское движение. Уравнение можно обобщить и на другие наблюдаемые.[1]Он назван в честь Адриан Фоккер и Макс Планк,[2][3] и также известен как Колмогоровское прямое уравнение, после Андрей Колмогоров, который самостоятельно открыл эту концепцию в 1931 году.[4] Применительно к распределению положения частиц он более известен как Уравнение Смолуховского (после Мариан Смолуховский ), и в этом контексте он эквивалентен уравнение конвекции – диффузии. Случай с нулем распространение известен в статистической механике как Уравнение Лиувилля. Уравнение Фоккера – Планка получается из главное уравнение через Расширение Крамерса – Мойала.

Первый последовательный микроскопический вывод уравнения Фоккера – Планка в единой схеме классический и квантовая механика был выполнен Николай Боголюбов и Николай Крылов.[5][6]

Уравнение Смолуховского - это уравнение Фоккера – Планка для функции плотности вероятности положения броуновских частиц.[7]

Одно измерение

В одном пространственном измерении Икс, для Процесс Ито движимый стандартом Винеровский процесс и описан стохастическое дифференциальное уравнение (SDE)

с участием дрейф и распространение коэффициент , уравнение Фоккера – Планка для плотности вероятности случайной величины является

Связь между SDE Ито и уравнением Фоккера – Планка

В дальнейшем используйте .

Определить бесконечно малый генератор (следующее можно найти в работе.[8]):

В вероятность перехода , вероятность выхода из к , вводится здесь; ожидание можно записать как

Теперь заменим в определении , умножить на и интегрировать . Лимит взят на

Обратите внимание, что

что является теоремой Чепмена – Колмогорова. Изменение фиктивной переменной к , получается

которая является производной по времени. Наконец мы приходим к

Отсюда можно вывести обратное уравнение Колмогорова. Если вместо этого мы используем сопряженный оператор , , определенная таким образом, что

тогда мы приходим к прямому уравнению Колмогорова или уравнению Фоккера – Планка, которое, упрощая обозначения , в дифференциальной форме читается

Остается проблема явного определения . Это можно сделать, исходя из интегральной формы Лемма Ито:

Часть, которая зависит от исчез из-за собственности мартингейла.

Затем для частицы, подчиняющейся уравнению Ито, используя

легко вычислить, используя интегрирование по частям, что

которые приводят нас к уравнению Фоккера – Планка:

Хотя уравнение Фоккера – Планка используется с задачами, в которых известно начальное распределение, если проблема состоит в том, чтобы знать распределение в предыдущие моменты времени, Формула Фейнмана – Каца можно использовать, что является следствием обратного уравнения Колмогорова.

Случайный процесс, определенный выше в смысле Ито, можно переписать в Стратонович конвенция как СДО Стратоновича:

Он включает добавленный дрейф, вызванный шумом из-за эффектов градиента диффузии, если шум зависит от состояния. Это соглашение чаще используется в физических приложениях. Действительно, хорошо известно, что любое решение SDE Стратоновича является решением SDE Ито.

Уравнение нулевого сноса с постоянной диффузией можно рассматривать как модель классического Броуновское движение:

Эта модель имеет дискретный спектр решений, если добавить условие фиксированных границ для :

Было показано[9] что в этом случае аналитический спектр решений позволяет вывести соотношение локальной неопределенности для фазового объема координата-скорость:

Здесь - минимальное значение соответствующего диффузионного спектра , в то время как и представляют собой неопределенность определения координаты-скорости.


Высшие измерения

В более общем смысле, если

где и находятся N-мерный случайный векторов, является NM матрица и является M-размерный стандарт Винеровский процесс, плотность вероятности для удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка

с вектором сноса и распространение тензор , т.е.

Если вместо Itô SDE, Стратоновича СДО Считается,

уравнение Фоккера – Планка будет выглядеть так:[8]:129

Примеры

Винеровский процесс

Стандартный скаляр Винеровский процесс генерируется стохастическое дифференциальное уравнение

Здесь дрейфовый член равен нулю, а коэффициент диффузии равен 1/2. Таким образом, соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид

что является самой простой формой уравнение диффузии. Если начальное условие , решение

Процесс Орнштейна – Уленбека

В Процесс Орнштейна – Уленбека это процесс, определяемый как

.

с участием . Соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид

Стационарное решение () является

Физика плазмы

В физике плазмы функция распределения для вида частиц , , занимает место функция плотности вероятности. Соответствующее уравнение Больцмана имеет вид

где третий член включает ускорение частицы за счет Сила Лоренца а член Фоккера – Планка в правой части представляет эффекты столкновений частиц. Количество и - среднее изменение скорости частицы типа опыт из-за столкновений со всеми другими видами частиц в единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте.[10] Если не учитывать столкновения, уравнение Больцмана сводится к Уравнение Власова.


Уравнение диффузии Смолуховского.[11]

Уравнение диффузии Смолуховского - это уравнение Фоккера-Планка, ограниченное броуновскими частицами, на которые действует внешняя сила. .

куда - постоянная диффузии и . Важность этого уравнения заключается в том, что оно позволяет учесть влияние температуры на систему частиц и пространственно-зависимую константу диффузии.

Вывод уравнения Смолуховского из уравнения Фоккера-Планка.


Начиная с Уравнение Ланжевена броуновской частицы во внешнем поле , где член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда колебания.

В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции, . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид

Что порождает следующее уравнение Фоккера-Планка,

Преобразуя уравнение Фоккера-Планка,

куда . Заметкакоэффициент диффузии не обязательно может быть пространственно независимым, если или пространственно зависимы.

Затем общее количество частиц в любом конкретном объеме определяется как

Следовательно, поток частиц можно определить, взяв производную по времени от числа частиц в данном объеме, подставив уравнение Фоккера-Планка, а затем применив Теорема Гаусса.

В состоянии равновесия предполагается, что поток стремится к нулю. Следовательно, статистика Больцмана может применяться для вероятности нахождения частицы в состоянии равновесия, где - консервативная сила, и вероятность нахождения частицы в состоянии дается как .

Это отношение является реализацией Теорема о флуктуации и диссипации. Теперь применяем к и используя теорему флуктуации-диссипации,

Перестановка,

Таким образом, уравнение Фоккера-Планка становится уравнением Смолуховского:

Для произвольной силы .

Вычислительные соображения

Броуновское движение следует за Уравнение Ланжевена, которая может быть решена для множества различных стохастических форсингов с усреднением результатов (канонический ансамбль в молекулярная динамика ). Однако вместо этого ресурсоемкого подхода можно использовать уравнение Фоккера – Планка и рассмотреть вероятность частицы, имеющей скорость в интервале когда он начинает свое движение с в момент времени 0.

Моделирование броуновской динамики для частиц в одномерном линейном потенциале по сравнению с решением уравнения Фоккера-Планка.

Пример одномерного линейного потенциала[11][12]

Теория

Начиная с линейного потенциала вида соответствующее уравнение Смолуховского принимает вид,

Где постоянная диффузии, , постоянна в пространстве и времени. Граничные условия таковы, что вероятность обращается в нуль при с начальным условием ансамбля частиц, стартующих в одном месте, .

Определение и и применяя преобразование координат,

С участием уравнение Смолуховского принимает вид

Это уравнение свободной диффузии с решением,

И после преобразования обратно к исходным координатам,


Моделирование[13][14]

Симуляция справа была завершена с использованием Броуновская динамика моделирование. Начиная с уравнения Ланжевена для системы,

куда член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда колебания. В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции, . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид

Для броуновского динамического моделирования флуктуационная сила считается гауссовой с амплитудой, зависящей от температуры системы . Переписывая уравнение Ланжевена,

куда является соотношением Эйнштейна. Интегрирование этого уравнения производилось с использованием Эйлер-Маруяма метод численной аппроксимации пути этой броуновской частицы.

Решение

Будучи уравнение в частных производных, уравнение Фоккера – Планка может быть решено аналитически только в частных случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера – Планка с уравнением Уравнение Шредингера позволяет использовать передовые операторные техники, известные из квантовой механики, для ее решения в ряде случаев. Кроме того, в случае сверхзатухающей динамики, когда уравнение Фоккера – Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение может быть записано в виде главное уравнение которую легко решить численно.[15]Во многих приложениях интересует только установившееся распределение вероятностей, который можно найти из . Вычисление среднего время первого прохода и вероятности расщепления могут быть сведены к решению обыкновенного дифференциального уравнения, которое тесно связано с уравнением Фоккера – Планка.

Частные случаи с известным решением и обращением

В математические финансы для непостоянство улыбка моделирование вариантов через местная волатильность возникает проблема определения коэффициента диффузии соответствует плотности вероятности, полученной из котировок рыночных опционов. Таким образом, проблема заключается в обращении уравнения Фоккера – Планка: при плотности f (x, t) опциона, лежащего в основе Икс выводится из опционного рынка, цель - найти локальную волатильность в соответствии с ж. Это обратная задача это было решено в общем Dupire (1994, 1997) с непараметрическим решением.[16][17] Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают решение в параметрической форме через конкретную локальную волатильность. согласованное с решением уравнения Фоккера – Планка, заданным модель смеси.[18][19] Дополнительная информация доступна также в Fengler (2008),[20] Собирательство (2008),[21] и Musiela и Rutkowski (2008).[22]

Уравнение Фоккера – Планка и интеграл по путям

Каждое уравнение Фоккера – Планка эквивалентно интеграл по путям. Формулировка интеграла по путям - отличная отправная точка для применения методов теории поля.[23] Это используется, например, в критическая динамика.

Вывод интеграла по путям возможен аналогично квантовой механике. Вывод для уравнения Фоккера – Планка с одной переменной составляет. Начните с вставки дельта-функции, а затем интегрируйте по частям:

В -производные здесь действуют только на -функция, не включена . Интегрировать по временному интервалу ,

Вставьте Интеграл Фурье

для -функция,

Это уравнение выражает как функционал . Итерация раз и выполняя предел дает интеграл по путям с действие

Переменные сопрягать с называются «переменными ответа».[24]

Хотя формально они эквивалентны, различные задачи могут быть легче решены с помощью уравнения Фоккера – Планка или формулировки интеграла по путям. Например, равновесное распределение может быть получено более непосредственно из уравнения Фоккера – Планка.

Смотрите также

Примечания и ссылки

  1. ^ Лео П. Каданов (2000). Статистическая физика: статика, динамика и перенормировка. World Scientific. ISBN  978-981-02-3764-6.
  2. ^ Фоккер, А. Д. (1914). "Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld". Анна. Phys. 348 (4. Folge 43): 810–820. Bibcode:1914AnP ... 348..810F. Дои:10.1002 / andp.19143480507.
  3. ^ Планк, М. (1917). "Uber einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quantentheorie". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 24: 324–341.
  4. ^ Колмогоров, Андрей (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitstheorie" [Об аналитических методах в теории вероятностей]. Mathematische Annalen (на немецком). 104 (1): 415–458 [стр. 448–451]. Дои:10.1007 / BF01457949. S2CID  119439925.
  5. ^ Н. Н. Боголюбов-младший. и Д. П. Санкович (1994). «Н. Н. Боголюбов и статистическая механика». Русская математика. Обзоры 49(5): 19—49. Дои:10.1070 / RM1994v049n05ABEH002419
  6. ^ Н. Н. Боголюбов и Крылов Н. М. (1939). Уравнения Фоккера – Планка, генерируемые в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущенного гамильтониана. Записки Кафедры Физики Академии Наук Украинской ССР 4: 81–157 (на украинском языке).
  7. ^ Донт, Дж. К. Г. (1996). Введение в динамику коллоидов. Эльзевир. п. 183. ISBN  978-0-08-053507-4.
  8. ^ а б Оттингер, Ханс Кристиан (1996). Стохастические процессы в полимерных жидкостях.. Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 75. ISBN  978-3-540-58353-0.
  9. ^ Каменщиков, С. (2014). «Кластеризация и неопределенность в системах совершенного хаоса». Журнал Хаоса. 2014: 1–6. arXiv:1301.4481. Дои:10.1155/2014/292096. S2CID  17719673.
  10. ^ Розенблют, М. Н. (1957). "Уравнение Фоккера – Планка для силы, обратной квадрату". Физический обзор. 107 (1): 1–6. Bibcode:1957ПхРв..107 .... 1Р. Дои:10.1103 / Physrev.107.1.
  11. ^ а б Иоан, Коштин (весна 2000 г.). "Уравнение диффузии Смолуховского". Неравновесная статистическая механика: заметки по курсу.
  12. ^ Костин, Иоан (весна 2000 г.). «Применение метода броуновской динамики». Неравновесная статистическая механика: заметки по курсу.
  13. ^ Козтин, Иоанн. «Броуновская динамика». Неравновесная статистическая механика: заметки по курсу.
  14. ^ Костин, Иоанн. «Применение метода броуновской динамики». Неравновесная статистическая механика: заметки по курсу.
  15. ^ Голубец Виктор, Крой Клаус и Стеффенони Стефано (2019). «Физически согласованный численный решатель для нестационарных уравнений Фоккера-Планка». Phys. Ред. E. 99 (4): 032117. arXiv:1804.01285. Дои:10.1103 / PhysRevE.99.032117. PMID  30999402. S2CID  119203025.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
  16. ^ Бруно Дюпире (1994) Цены с улыбкой. Журнал рисков, 18–20 января.
  17. ^ Бруно Дюпире (1997) Ценообразование и хеджирование с улыбками. Математика производных ценных бумаг. Под редакцией М.А.Х. Демпстер и С. Плиска, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 103–111. ISBN  0-521-58424-8.
  18. ^ Brigo, D .; Меркурио, Фабио (2002). «Логнормальная динамика смеси и калибровка для волатильности рынка улыбается». Международный журнал теоретических и прикладных финансов. 5 (4): 427–446. CiteSeerX  10.1.1.210.4165. Дои:10.1142 / S0219024902001511.
  19. ^ Brigo, D .; Mercurio, F .; Сарторелли, Г. (2003). «Альтернативная динамика цен на активы и волатильность улыбка». Количественные финансы. 3 (3): 173–183. Дои:10.1088/1469-7688/3/3/303. S2CID  154069452.
  20. ^ Фенглер, М. Р. (2008). Полупараметрическое моделирование предполагаемой волатильности, 2005, Springer Verlag, ISBN  978-3-540-26234-3
  21. ^ Джим Гатерал (2008). Поверхность волатильности. Вайли и сыновья, ISBN  978-0-471-79251-2.
  22. ^ Марек Мусиела, Марек Рутковски. Методы мартингейла в финансовом моделировании, 2008, 2-е издание, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-20966-9.
  23. ^ Зинн-Джастин, Жан (1996). Квантовая теория поля и критические явления. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851882-2.
  24. ^ Янссен, Х. К. (1976). «О лагранжеане для классической динамики поля и ренормализационном групповом расчете динамических критических свойств». Z. Phys. B23 (4): 377–380. Bibcode:1976ZPhyB..23..377J. Дои:10.1007 / BF01316547. S2CID  121216943.

дальнейшее чтение

  • Фрэнк, Тилль Дэниел (2005). Нелинейные уравнения Фоккера – Планка: основы и приложения.. Серия Спрингера в синергетике. Springer. ISBN  3-540-21264-7.
  • Гардинер, Криспин (2009). Стохастические методы (4-е изд.). Springer. ISBN  978-3-540-70712-7.
  • Павлиотис, Григориос А. (2014). Стохастические процессы и приложения: диффузионные процессы, уравнения Фоккера – Планка и Ланжевена.. Тексты Спрингера по прикладной математике. Springer. ISBN  978-1-4939-1322-0.
  • Рискен, Ханнес (1996). Уравнение Фоккера – Планка: методы решения и приложения.. Серия Спрингера в синергетике (2-е изд.). Springer. ISBN  3-540-61530-Х.