Решение одномерного уравнения Фоккера – Планка с дрейфом и диффузией. В этом случае начальным условием является Дельта-функция Дирака центрировано от нулевой скорости. Со временем это распределение расширяется за счет случайных импульсов.
В вероятность перехода, вероятность выхода из к , вводится здесь; ожидание можно записать как
Теперь заменим в определении , умножить на и интегрировать . Лимит взят на
Обратите внимание, что
что является теоремой Чепмена – Колмогорова. Изменение фиктивной переменной к , получается
которая является производной по времени. Наконец мы приходим к
Отсюда можно вывести обратное уравнение Колмогорова. Если вместо этого мы используем сопряженный оператор , , определенная таким образом, что
тогда мы приходим к прямому уравнению Колмогорова или уравнению Фоккера – Планка, которое, упрощая обозначения , в дифференциальной форме читается
Остается проблема явного определения . Это можно сделать, исходя из интегральной формы Лемма Ито:
Часть, которая зависит от исчез из-за собственности мартингейла.
Затем для частицы, подчиняющейся уравнению Ито, используя
легко вычислить, используя интегрирование по частям, что
которые приводят нас к уравнению Фоккера – Планка:
Хотя уравнение Фоккера – Планка используется с задачами, в которых известно начальное распределение, если проблема состоит в том, чтобы знать распределение в предыдущие моменты времени, Формула Фейнмана – Каца можно использовать, что является следствием обратного уравнения Колмогорова.
Случайный процесс, определенный выше в смысле Ито, можно переписать в Стратонович конвенция как СДО Стратоновича:
Он включает добавленный дрейф, вызванный шумом из-за эффектов градиента диффузии, если шум зависит от состояния. Это соглашение чаще используется в физических приложениях. Действительно, хорошо известно, что любое решение SDE Стратоновича является решением SDE Ито.
Уравнение нулевого сноса с постоянной диффузией можно рассматривать как модель классического Броуновское движение:
Эта модель имеет дискретный спектр решений, если добавить условие фиксированных границ для :
Было показано[9] что в этом случае аналитический спектр решений позволяет вывести соотношение локальной неопределенности для фазового объема координата-скорость:
Здесь - минимальное значение соответствующего диффузионного спектра , в то время как и представляют собой неопределенность определения координаты-скорости.
Высшие измерения
В более общем смысле, если
где и находятся N-мерный случайный векторов, является NM матрица и является M-размерный стандарт Винеровский процесс, плотность вероятности для удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка
где третий член включает ускорение частицы за счет Сила Лоренца а член Фоккера – Планка в правой части представляет эффекты столкновений частиц. Количество и - среднее изменение скорости частицы типа опыт из-за столкновений со всеми другими видами частиц в единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте.[10] Если не учитывать столкновения, уравнение Больцмана сводится к Уравнение Власова.
Уравнение диффузии Смолуховского - это уравнение Фоккера-Планка, ограниченное броуновскими частицами, на которые действует внешняя сила. .
куда - постоянная диффузии и . Важность этого уравнения заключается в том, что оно позволяет учесть влияние температуры на систему частиц и пространственно-зависимую константу диффузии.
Вывод уравнения Смолуховского из уравнения Фоккера-Планка.
Начиная с Уравнение Ланжевена броуновской частицы во внешнем поле , где член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда колебания.
В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции, . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид
Что порождает следующее уравнение Фоккера-Планка,
Преобразуя уравнение Фоккера-Планка,
куда . Заметкакоэффициент диффузии не обязательно может быть пространственно независимым, если или пространственно зависимы.
Затем общее количество частиц в любом конкретном объеме определяется как
Следовательно, поток частиц можно определить, взяв производную по времени от числа частиц в данном объеме, подставив уравнение Фоккера-Планка, а затем применив Теорема Гаусса.
В состоянии равновесия предполагается, что поток стремится к нулю. Следовательно, статистика Больцмана может применяться для вероятности нахождения частицы в состоянии равновесия, где - консервативная сила, и вероятность нахождения частицы в состоянии дается как .
Таким образом, уравнение Фоккера-Планка становится уравнением Смолуховского:
Для произвольной силы .
Вычислительные соображения
Броуновское движение следует за Уравнение Ланжевена, которая может быть решена для множества различных стохастических форсингов с усреднением результатов (канонический ансамбль в молекулярная динамика ). Однако вместо этого ресурсоемкого подхода можно использовать уравнение Фоккера – Планка и рассмотреть вероятность частицы, имеющей скорость в интервале когда он начинает свое движение с в момент времени 0.
Моделирование броуновской динамики для частиц в одномерном линейном потенциале по сравнению с решением уравнения Фоккера-Планка.
Начиная с линейного потенциала вида соответствующее уравнение Смолуховского принимает вид,
Где постоянная диффузии, , постоянна в пространстве и времени. Граничные условия таковы, что вероятность обращается в нуль при с начальным условием ансамбля частиц, стартующих в одном месте, .
Определение и и применяя преобразование координат,
С участием уравнение Смолуховского принимает вид
Это уравнение свободной диффузии с решением,
И после преобразования обратно к исходным координатам,
Симуляция справа была завершена с использованием Броуновская динамика моделирование. Начиная с уравнения Ланжевена для системы,
куда член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда колебания. В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции, . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид
Для броуновского динамического моделирования флуктуационная сила считается гауссовой с амплитудой, зависящей от температуры системы . Переписывая уравнение Ланжевена,
куда является соотношением Эйнштейна. Интегрирование этого уравнения производилось с использованием Эйлер-Маруяма метод численной аппроксимации пути этой броуновской частицы.
Решение
Будучи уравнение в частных производных, уравнение Фоккера – Планка может быть решено аналитически только в частных случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера – Планка с уравнением Уравнение Шредингера позволяет использовать передовые операторные техники, известные из квантовой механики, для ее решения в ряде случаев. Кроме того, в случае сверхзатухающей динамики, когда уравнение Фоккера – Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение может быть записано в виде главное уравнение которую легко решить численно.[15]Во многих приложениях интересует только установившееся распределение вероятностей, который можно найти из . Вычисление среднего время первого прохода и вероятности расщепления могут быть сведены к решению обыкновенного дифференциального уравнения, которое тесно связано с уравнением Фоккера – Планка.
Частные случаи с известным решением и обращением
В математические финансы для непостоянство улыбка моделирование вариантов через местная волатильность возникает проблема определения коэффициента диффузии соответствует плотности вероятности, полученной из котировок рыночных опционов. Таким образом, проблема заключается в обращении уравнения Фоккера – Планка: при плотности f (x, t) опциона, лежащего в основе Икс выводится из опционного рынка, цель - найти локальную волатильность в соответствии с ж. Это обратная задача это было решено в общем Dupire (1994, 1997) с непараметрическим решением.[16][17] Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают решение в параметрической форме через конкретную локальную волатильность. согласованное с решением уравнения Фоккера – Планка, заданным модель смеси.[18][19] Дополнительная информация доступна также в Fengler (2008),[20] Собирательство (2008),[21] и Musiela и Rutkowski (2008).[22]
Уравнение Фоккера – Планка и интеграл по путям
Каждое уравнение Фоккера – Планка эквивалентно интеграл по путям. Формулировка интеграла по путям - отличная отправная точка для применения методов теории поля.[23] Это используется, например, в критическая динамика.
Вывод интеграла по путям возможен аналогично квантовой механике. Вывод для уравнения Фоккера – Планка с одной переменной составляет. Начните с вставки дельта-функции, а затем интегрируйте по частям:
В -производные здесь действуют только на -функция, не включена . Интегрировать по временному интервалу ,
Это уравнение выражает как функционал . Итерация раз и выполняя предел дает интеграл по путям с действие
Переменные сопрягать с называются «переменными ответа».[24]
Хотя формально они эквивалентны, различные задачи могут быть легче решены с помощью уравнения Фоккера – Планка или формулировки интеграла по путям. Например, равновесное распределение может быть получено более непосредственно из уравнения Фоккера – Планка.
^Колмогоров, Андрей (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitstheorie" [Об аналитических методах в теории вероятностей]. Mathematische Annalen (на немецком). 104 (1): 415–458 [стр. 448–451]. Дои:10.1007 / BF01457949. S2CID119439925.
^Н. Н. Боголюбов и Крылов Н. М. (1939). Уравнения Фоккера – Планка, генерируемые в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущенного гамильтониана. Записки Кафедры Физики Академии Наук Украинской ССР 4: 81–157 (на украинском языке).
^ абОттингер, Ханс Кристиан (1996). Стохастические процессы в полимерных жидкостях.. Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 75. ISBN978-3-540-58353-0.
^Голубец Виктор, Крой Клаус и Стеффенони Стефано (2019). «Физически согласованный численный решатель для нестационарных уравнений Фоккера-Планка». Phys. Ред. E. 99 (4): 032117. arXiv:1804.01285. Дои:10.1103 / PhysRevE.99.032117. PMID30999402. S2CID119203025.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
^Бруно Дюпире (1994) Цены с улыбкой. Журнал рисков, 18–20 января.
^Бруно Дюпире (1997) Ценообразование и хеджирование с улыбками. Математика производных ценных бумаг. Под редакцией М.А.Х. Демпстер и С. Плиска, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 103–111. ISBN 0-521-58424-8.
^Brigo, D .; Меркурио, Фабио (2002). «Логнормальная динамика смеси и калибровка для волатильности рынка улыбается». Международный журнал теоретических и прикладных финансов. 5 (4): 427–446. CiteSeerX10.1.1.210.4165. Дои:10.1142 / S0219024902001511.
^Brigo, D .; Mercurio, F .; Сарторелли, Г. (2003). «Альтернативная динамика цен на активы и волатильность улыбка». Количественные финансы. 3 (3): 173–183. Дои:10.1088/1469-7688/3/3/303. S2CID154069452.
^Фенглер, М. Р. (2008). Полупараметрическое моделирование предполагаемой волатильности, 2005, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-26234-3
^Джим Гатерал (2008). Поверхность волатильности. Вайли и сыновья, ISBN 978-0-471-79251-2.
^Марек Мусиела, Марек Рутковски. Методы мартингейла в финансовом моделировании, 2008, 2-е издание, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20966-9.
^Зинн-Джастин, Жан (1996). Квантовая теория поля и критические явления. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN978-0-19-851882-2.
Павлиотис, Григориос А. (2014). Стохастические процессы и приложения: диффузионные процессы, уравнения Фоккера – Планка и Ланжевена.. Тексты Спрингера по прикладной математике. Springer. ISBN978-1-4939-1322-0.
Рискен, Ханнес (1996). Уравнение Фоккера – Планка: методы решения и приложения.. Серия Спрингера в синергетике (2-е изд.). Springer. ISBN3-540-61530-Х.