Иерархия BBGKY - BBGKY hierarchy

В статистическая физика, то Иерархия BBGKY (Иерархия Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивонаиногда называют Боголюбовская иерархия) представляет собой систему уравнений, описывающих динамику системы большого числа взаимодействующих частиц. Уравнение для s-частица функция распределения (функция плотности вероятности) в иерархии BBGKY включает (s + 1) -функция распределения частиц, образуя связанную цепочку уравнений. Этот формальный теоретический результат назван в честь Николай Боголюбов, Макс Борн, Герберт С. Грин, Джон Гэмбл Кирквуд, и Жак Ивон.

Формулировка

Эволюция N-система частиц при отсутствии квантовые флуктуации дается Уравнение Лиувилля для функции плотности вероятности ${displaystyle f_{N}=f_{N}(mathbf {q} _{1}dots mathbf {q} _{N},mathbf {p} _{1}dots mathbf {p} _{N},t)}$ через 6N-мерное фазовое пространство (3 пространственных и 3 импульсных координаты на частицу)

${displaystyle {frac {partial f_{N}}{partial t}}+sum _{i=1}^{N}{frac {mathbf {p} _{i}}{m}}{frac {partial f_{N}}{partial mathbf {q} _{i}}}+sum _{i=1}^{N}mathbf {F} _{i}{frac {partial f_{N}}{partial mathbf {p} _{i}}}=0,}$

куда ${displaystyle mathbf {q} _{i},mathbf {p} _{i}}$ координаты и импульс для ${displaystyle i}$-я частица с массой ${displaystyle m}$, а суммарная сила, действующая на ${displaystyle i}$-я частица

${displaystyle mathbf {F} _{i}=-sum _{j=1eq i}^{N}{frac {partial Phi _{ij}}{partial mathbf {q} _{i}}}-{frac {partial Phi _{i}^{ ext{ext}}}{partial mathbf {q} _{i}}},}$

куда ${displaystyle Phi _{ij}(mathbf {q} _{i},mathbf {q} _{j})}$ - парный потенциал взаимодействия между частицами, а ${displaystyle Phi ^{ ext{ext}}(mathbf {q} _{i})}$ - потенциал внешнего поля. Путем интегрирования по части переменных уравнение Лиувилля может быть преобразовано в цепочку уравнений, где первое уравнение связывает эволюцию одночастичной функции плотности вероятности с двухчастичной функцией плотности вероятности, второе уравнение связывает двухчастичную вероятность функция плотности с трехчастичной функцией плотности вероятности и, как правило, s-е уравнение связывает s-частичная функция плотности вероятности

${displaystyle f_{s}(mathbf {q} _{1}dots mathbf {q} _{s},mathbf {p} _{1}dots mathbf {p} _{s},t)=int f_{N}(mathbf {q} _{1}dots mathbf {q} _{N},mathbf {p} _{1}dots mathbf {p} _{N},t),dmathbf {q} _{s+1}dots dmathbf {q} _{N},dmathbf {p} _{s+1}dots dmathbf {p} _{N}}$

с (s + 1) -частичная функция плотности вероятности:

${displaystyle {frac {partial f_{s}}{partial t}}+sum _{i=1}^{s}{frac {mathbf {p} _{i}}{m}}{frac {partial f_{s}}{partial mathbf {q} _{i}}}-sum _{i=1}^{s}left(sum _{j=1eq i}^{s}{frac {partial Phi _{ij}}{partial mathbf {q} _{i}}}+{frac {partial Phi _{i}^{ext}}{partial mathbf {q} _{i}}}ight){frac {partial f_{s}}{partial mathbf {p} _{i}}}=(N-s)sum _{i=1}^{s}int {frac {partial Phi _{i,s+1}}{partial mathbf {q} _{i}}}{frac {partial f_{s+1}}{partial mathbf {p} _{i}}},dmathbf {q} _{s+1},dmathbf {p} _{s+1}.}$

Уравнение выше для s-функция распределения частиц получается интегрированием уравнения Лиувилля по переменным ${displaystyle mathbf {q} _{s+1}dots mathbf {q} _{N},mathbf {p} _{s+1}dots mathbf {p} _{N}}$. Проблема с приведенным выше уравнением в том, что оно не закрыто. Решать ${displaystyle f_{s}}$, нужно знать ${displaystyle f_{s+1}}$, что, в свою очередь, требует решения ${displaystyle f_{s+2}}$ и вплоть до полного уравнения Лиувилля. Однако можно решить ${displaystyle f_{s}}$, если ${displaystyle f_{s+1}}$ можно смоделировать. Одним из таких случаев является Уравнение Больцмана за ${displaystyle f_{1}(mathbf {q} _{1},mathbf {p} _{1},t)}$, куда ${displaystyle f_{2}(mathbf {q} _{1},mathbf {q} _{2},mathbf {p} _{1},mathbf {p} _{2},t)}$ моделируется на основе гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz). Фактически, в уравнении Больцмана ${displaystyle f_{2}=f_{2}(mathbf {p} _{1},mathbf {p_{2}} ,t)}$ - интеграл столкновений. Этот предельный процесс получения уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля известен как Предел Больцмана – Града.^[1]

Физическая интерпретация и приложения

Схематично уравнение Лиувилля дает нам эволюцию во времени для всего ${displaystyle N}$-система частиц в виде ${displaystyle Df_{N}=0}$, который выражает несжимаемый поток плотности вероятности в фазовом пространстве. Затем мы определяем приведенные функции распределения постепенно, интегрируя степени свободы другой частицы. ${displaystyle f_{s}sim int f_{s+1}}$. Уравнение в иерархии BBGKY говорит нам, что эволюция во времени для такого ${displaystyle f_{s}}$ следовательно, задается уравнением типа Лиувилля, но с поправочным членом, который представляет силовое влияние ${displaystyle N-s}$ подавленные частицы

${displaystyle Df_{s}propto { ext{div}}_{mathbf {p} }langle { ext{grad}}_{mathbf {q} }Phi _{i,s+1}angle _{f_{s+1}}.}$

Проблема решения иерархии уравнений BBGKY столь же сложна, как и решение исходного уравнения Лиувилля, но приближения для иерархии BBGKY (которые позволяют усечение цепочки в конечную систему уравнений) могут быть легко сделаны. Достоинство этих уравнений в том, что высшие функции распределения ${displaystyle f_{s+2},f_{s+3},dots }$ повлиять на временную эволюцию ${displaystyle f_{s}}$ только неявно через ${displaystyle f_{s+1}.}$ Обрезка цепочки BBGKY - обычная отправная точка для многих приложений кинетической теории, которые можно использовать для вывода классических^[2][3] или квантовый^[4] кинетические уравнения. В частности, усечение по первому уравнению или первым двум уравнениям можно использовать для получения классического и квантового Уравнения Больцмана и поправки первого порядка к уравнениям Больцмана. Другие приближения, такие как предположение, что функция вероятности плотности зависит только от относительного расстояния между частицами, или предположение о гидродинамическом режиме, также могут сделать цепочку BBGKY доступной для решения.^[5]

Библиография

s-функции распределения частиц были введены в классическую статистическую механику Дж. Ивоном в 1935 г.^[6] Иерархия уравнений ББГКИ для s-Функции распределения частиц были выписаны и применены для вывода кинетических уравнений Боголюбовым в статье, полученной в июле 1945 г. и опубликованной в 1946 г. на русском языке.^[2] и на английском.^[3] Кинетическая теория переноса рассмотрена Кирквудом в статье^[7] получены в октябре 1945 г. и опубликованы в марте 1946 г., а также в последующих статьях.^[8] Первая статья Борна и Грина, посвященная общей кинетической теории жидкостей, была получена в феврале 1946 года и опубликована 31 декабря 1946 года.^[9]

Смотрите также

• Уравнение Фоккера – Планка
• Уравнение Власова

Рекомендации

1. Гарольд Град (1949). К кинетической теории разреженных газов. Сообщения по чистой и прикладной математике, 2 (4), 331–407.
2. Н. Н. Боголюбов (1946). «Кинетические уравнения». Журнал экспериментальной и теоретической физики (на русском). 16 (8): 691–702.
3. Н. Н. Боголюбов (1946). «Кинетические уравнения». Журнал физики СССР. 10 (3): 265–274.
4. Н. Н. Боголюбов, К. П. Гуров (1947). «Кинетические уравнения в квантовой механике». Журнал экспериментальной и теоретической физики (на русском). 17 (7): 614–628.
5. Харрис, С. (2004). Введение в теорию уравнения Больцмана. Курьерская корпорация.
6. Дж. Ивон (1935): Статистическая теория жидкостей и воды (на французском языке), Actual. Sci. & Indust. № 203 (Париж, Герман).
7. Джон Г. Кирквуд (Март 1946 г.). «Статистическая механическая теория транспортных процессов I. Общая теория». Журнал химической физики. 14 (3): 180–201. Bibcode:1946ЖЧФ..14..180К. Дои:10.1063/1.1724117.
8. Джон Г. Кирквуд (Январь 1947 г.). «Статистическая механическая теория транспортных процессов II. Транспорт в газах». Журнал химической физики. 15 (1): 72–76. Bibcode:1947ЖЧФ..15 ... 72К. Дои:10.1063/1.1746292.
9. М. Борн и Х. С. Грин (31 декабря 1946 г.). "Общая кинетическая теория жидкостей I. Функции распределения молекул". Proc. Рой. Soc. А. 188 (1012): 10–18. Bibcode:1946RSPSA.188 ... 10B. Дои:10.1098 / RSPA.1946.0093. PMID  20282515.