Уравнение Власова - Vlasov equation - Wikipedia

В Уравнение Власова это дифференциальное уравнение описывая эволюцию во времени функция распределения из плазма состоящий из заряженные частицы с дальнодействующим взаимодействием, например Кулон. Впервые уравнение для описания плазмы было предложено Анатолий Власов в 1938 г.^[1][2] и позже подробно обсужден им в монографии.^[3]

Трудности стандартного кинетического подхода

Во-первых, Власов утверждает, что стандарт кинетический подход, основанный на Уравнение Больцмана имеет трудности в применении к описанию плазмы с дальнодействующими Кулоновское взаимодействие. Он отмечает следующие проблемы, возникающие при применении кинетической теории, основанной на парных столкновениях, к динамике плазмы:

1. Теория парных столкновений не согласуется с открытием Рэлей, Ирвинг Ленгмюр и Леви Тонкс собственных колебаний в электронной плазме.
2. Теория парных столкновений формально неприменима к кулоновскому взаимодействию из-за расходимости кинетических членов.
3. Теория парных столкновений не может объяснить эксперименты Харрисона Меррилла и Гарольда Уэбба по аномальному рассеянию электронов в газовой плазме.^[4]

Власов предполагает, что эти трудности происходят из-за дальнодействия кулоновского взаимодействия. Он начинает с бесстолкновительное уравнение Больцмана (иногда называемое уравнением Власова, анахронично в этом контексте), в обобщенные координаты:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}{\operatorname {d} t}}=0,}$

явно PDE:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} }{\operatorname {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,}$

и адаптировал его к случаю плазмы, что привело к системе уравнений, показанной ниже.^[5] Здесь ж - общая функция распределения частиц с импульс п в координаты р и учитывая время т.

Система уравнений Власова – Максвелла (гауссовы единицы)

Вместо кинетического описания взаимодействия заряженных частиц в плазме на основе столкновений, Власов использует самосогласованное коллективное поле, создаваемое заряженными частицами плазмы. Такое описание использует функции распределения ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ и ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ за электроны и (положительная) плазма ионы. Функция распределения ${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ для видов α описывает количество частиц вида α имея примерно импульс ${\displaystyle \mathbf {p} }$ недалеко от позиция ${\displaystyle \mathbf {r} }$ вовремя т. Вместо уравнения Больцмана была предложена следующая система уравнений для описания заряженных компонентов плазмы (электронов и положительных ионов):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i}e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})d^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})d^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right)^{1/2}}}}$

Здесь е это элементарный заряд (${\displaystyle e>0}$), c это скорость света, м_я - масса иона, ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$ представляют коллективное самосогласованное электромагнитное поле, созданное в точке ${\displaystyle \mathbf {r} }$ в момент времени т всеми частицами плазмы. Существенное отличие этой системы уравнений от уравнений для частиц во внешнем электромагнитном поле состоит в том, что самосогласованное электромагнитное поле сложным образом зависит от функций распределения электронов и ионов. ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ и ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$.

Уравнение Власова – Пуассона.

Уравнения Власова – Пуассона являются приближением уравнений Власова – Максвелла в нерелятивистском пределе нулевого магнитного поля:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,}$

и Уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +\rho =0.}$

Здесь q_α - электрический заряд частицы, м_α - масса частицы, ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$ самосогласованный электрическое поле, ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$ самосогласованный электрический потенциал и ρ это электрический заряд плотность.

Уравнения Власова – Пуассона используются для описания различных явлений в плазме, в частности Демпфирование Ландау и распределения в двухслойный плазмы, где они обязательно сильно неМаксвелловский и поэтому недоступны для жидкостных моделей.

Уравнения моментов

В жидкостных описаниях плазмы (см. плазменное моделирование и магнитогидродинамика (MHD)) не учитывается распределение скоростей. Это достигается заменой ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$ с плазменными моментами, такими как числовая плотность п, скорость потока ты и давление п.^[6] Их называют плазменными моментами, потому что п-й момент ${\displaystyle f}$ можно найти, интегрировав ${\displaystyle v^{n}f}$ по скорости. Эти переменные являются только функциями положения и времени, что означает, что некоторая информация теряется. В теории мультифлюидов различные виды частиц рассматриваются как разные жидкости с разным давлением, плотностью и скоростью потока. Уравнения, управляющие моментами плазмы, называются уравнениями момента или жидкости.

Ниже представлены два наиболее часто используемых уравнения моментов (в Единицы СИ ). Вывод уравнений моментов из уравнения Власова не требует никаких предположений о функции распределения.

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности описывает, как плотность изменяется со временем. Его можно найти интегрированием уравнения Власова по всему пространству скоростей.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}fd^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)d^{3}v=0}$

После некоторых расчетов получается

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.}$

Числовая плотность п, а плотность импульса пты, - моменты нулевого и первого порядка:

${\displaystyle n=\int fd^{3}v}$

${\displaystyle n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} fd^{3}v}$

Уравнение импульса

Скорость изменения импульса частицы определяется уравнением Лоренца:

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

Используя это уравнение и уравнение Власова, уравнение импульса для каждой жидкости становится

${\displaystyle mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$,

куда ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ - тензор давления. В материальная производная является

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

Тензор давления определяется как масса частицы, умноженная на ковариационная матрица скорости:

${\displaystyle p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})fd^{3}v.}$

Приближение вмороженности

Что касается идеальный МГД, плазму можно рассматривать как связанную с силовыми линиями магнитного поля при выполнении определенных условий. Часто говорят, что силовые линии магнитного поля вморожены в плазму. Условия вмороженности могут быть получены из уравнения Власова.

Представляем весы Т, Л и V для времени, расстояния и скорости соответственно. Они представляют собой величины различных параметров, которые дают большие изменения в ${\displaystyle f}$. В целом мы имеем в виду, что

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.}$

Затем мы пишем

${\displaystyle t^{\prime }={\frac {t}{T}}\quad \mathbf {r} ^{\prime }={\frac {\mathbf {r} }{L}}\quad \mathbf {v} ^{\prime }={\frac {\mathbf {v} }{V}}.}$

Уравнение Власова теперь можно записать

${\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} ^{\prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} ^{\prime }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0.}$

Пока никаких приближений сделано не было. Чтобы продолжить, мы установили ${\displaystyle V=R\omega _{g}}$, куда ${\displaystyle \omega _{g}=qB/m}$ это гироскопическая частота и р это гирорадиус. Разделив на ω_грамм, мы получили

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} ^{\prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0}$

Если ${\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T}$ и ${\displaystyle R\ll L}$, два первых члена будут намного меньше, чем ${\displaystyle f}$ поскольку ${\displaystyle \partial f/\partial t^{\prime }\sim f,v^{\prime }\lesssim 1}$ и ${\displaystyle \partial f/\partial \mathbf {r} ^{\prime }\sim f}$ из-за определений Т, Л и V над. Поскольку последний член порядка ${\displaystyle f}$, мы можем пренебречь двумя первыми членами и написать

${\displaystyle \left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0}$

Это уравнение можно разложить на выровненную по полю и перпендикулярную часть:

${\displaystyle \mathbf {E} _{\|}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\|}}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$

Следующий шаг - написать ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v} }$, куда

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }}$

Вскоре станет понятно, зачем это делается. С этой заменой получаем

${\displaystyle \mathbf {E} _{\|}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\|}}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$

Если параллельное электрическое поле мало,

${\displaystyle (\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$

Это уравнение означает, что распределение гиротропное.^[7] Средняя скорость гиротропного распределения равна нулю. Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ совпадает со средней скоростью, ты, и у нас есть

${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0}$

Подводя итог, можно сказать, что период гироскопа и радиус гироскопа должны быть намного меньше, чем типичные времена и длины, которые дают большие изменения в функции распределения. Радиус гироскопа часто оценивается заменой V с тепловая скорость или Альфвеновская скорость. В последнем случае р часто называют инерционной длиной. Условия вморожения необходимо оценивать для каждого вида частиц отдельно. Поскольку электроны имеют гораздо меньшие период гироскопа и радиус гироскопа, чем ионы, условия вмороженности будут выполняться чаще.

Смотрите также

• Список статей по плазме (физике)
• Уравнение Фоккера – Планка

Рекомендации

1. А. А. Власов (1938). «О вибрационных свойствах электронного газа». J. Exp. Теор. Phys. (на русском). 8 (3): 291.
2. А. А. Власов (1968). «Колебательные свойства электронного газа». Успехи СССР.. 10 (6): 721–733. Bibcode:1968СвФУ..10..721В. Дои:10.1070 / PU1968v010n06ABEH003709.
3. А. А. Власов (1945). Теория колебательных свойств электронного газа и ее приложения..
4. Х. Дж. Меррилл и Х. У. Уэбб (1939). «Рассеяние электронов и колебания плазмы». Физический обзор. 55 (12): 1191. Bibcode:1939ПхРв ... 55.1191М. Дои:10.1103 / PhysRev.55.1191.
5. Энон, М. (1982). «Уравнение Власова?». Астрономия и астрофизика. 114 (1): 211–212. Bibcode:1982A & A ... 114..211H.
6. Baumjohann, W .; Треуман, Р. А. (1997). Основы физики космической плазмы. Imperial College Press. ISBN  1-86094-079-X.
7. Clemmow, P.C .; Догерти, Джон П. (1969). Электродинамика частиц и плазмы. Аддисон-Уэсли Паб. Co. выпуски: cMUlGV7CWTQC.

дальнейшее чтение

• Власов, А.А. (1961). «Теория многих частиц и ее приложение к плазме». Нью-Йорк. Bibcode:1961temc.book ..... V.