Интегральное уравнение Вольтерра - Volterra integral equation

В математика, то Интегральные уравнения Вольтерра особый тип интегральные уравнения.^[1] Они делятся на две группы: первого и второго типа.

Линейное уравнение Вольтерра первого рода имеет вид

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$

куда ƒ - заданная функция и Икс - неизвестная функция, которую необходимо решить. Линейное уравнение Вольтерра второго рода имеет вид

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.}$

В теория операторов, И в Теория Фредгольма, соответствующие операторы называются Операторы Вольтерра. Полезный метод решения таких уравнений - Метод разложения Адомиана, связано с Георгий Адомян.

Линейное интегральное уравнение Вольтерра - это свертка уравнение, если

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(t-s)x(s)\,ds.}$

Функция ${\displaystyle K}$ в интеграле называется ядро. Такие уравнения можно анализировать и решать с помощью Преобразование Лапласа техники.

Интегральные уравнения Вольтерра были введены Вито Вольтерра а затем изучил Траян Лалеску в своей диссертации 1908 г. Sur les équations de Volterra, написанные под руководством Эмиль Пикар. В 1911 году Лалеску написал первую книгу по интегральным уравнениям.

Интегральные уравнения Вольтерра находят применение в демография, изучение вязкоупругий материалы, а в актуарная наука сквозь уравнение восстановления.^[2]

Преобразование уравнения Вольтерра первого рода во второй.

Линейное уравнение Вольтерра первого рода всегда можно свести к линейному уравнению Вольтерра второго рода, полагая, что ${\displaystyle K(t,t)\neq 0}$. Взяв производную от уравнения Вольтерра первого рода, мы получаем:

$${\displaystyle {df \over {dt}}=\int _{a}^{t}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds+K(t,t)x(t)}$$

Разделение на ${\displaystyle K(t,t)}$ дает:

$${\displaystyle x(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds}$$

Определение ${\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}}$ и ${\textstyle {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}}$ завершает преобразование уравнения первого рода в линейное уравнение Вольтерра второго рода.

Численное решение с использованием правила трапеции

Стандартным методом вычисления численного решения линейного уравнения Вольтерра второго рода является метод трапеция, что для равноотстоящих подинтервалов ${\displaystyle \Delta x}$ дан кем-то:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]}$$

Предполагая, что интервалы между интервалами равны, интегральный компонент уравнения Вольтерра может быть аппроксимирован следующим образом:

$${\displaystyle \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]}$$

Определение ${\displaystyle x_{i}=x(s_{i})}$, ${\displaystyle f_{i}=f(t_{i})}$, и ${\displaystyle K_{ij}=K(t_{i},s_{j})}$, имеем систему линейных уравнений:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=f_{0}\\x_{1}&=f_{1}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\right)\\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\right)\\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}}$$

Это эквивалентно матрица уравнение:

$${\displaystyle x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f}$$

Для ядер с хорошим поведением хорошо работает правило трапеции.

Применение: теория разорения

Одна из областей, где появляются интегральные уравнения Вольтерра, находится в теория разорения, исследование риска неплатежеспособности в актуарной науке. Цель состоит в том, чтобы количественно оценить вероятность разорения ${\displaystyle \psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]}$, куда ${\displaystyle u}$ начальный излишек и ${\displaystyle \tau (u)}$ время разорения. в классическая модель теории разорения, чистая денежная позиция ${\displaystyle X_{t}}$ является функцией начального излишка, премиальный доход, полученный по ставке ${\displaystyle c}$, и исходящие претензии ${\displaystyle \xi }$:

$${\displaystyle X_{t}=u+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i},\quad t\geq 0}$$

куда ${\displaystyle N_{t}}$ это Пуассоновский процесс по количеству претензий с интенсивностью ${\displaystyle \lambda }$. В этих условиях вероятность разорения может быть представлена ​​интегральным уравнением Вольтерра вида^[3]:

$${\displaystyle \psi (u)={\lambda \over {c}}\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}}\int _{0}^{u}\psi (u-x)S(x)dx}$$

куда ${\displaystyle S(\cdot )}$ это функция выживания распределения требований.

Смотрите также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Интегральное уравнение
• Интегро-дифференциальное уравнение

Рекомендации

1. Полянин, Андрей Д .; Манжиров, Александр В. (2008). Справочник интегральных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC. ISBN  978-1584885078.
2. Бруннер, Герман (2017). Интегральные уравнения Вольтерра: введение в теорию и приложения. Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1107098725.
3. «Конспект лекций по теории риска» (PDF). Школа математики, статистики и актуарных наук. Кентский университет. 20 февраля 2010 г. С. 17–22.

дальнейшее чтение

• Траян Лалеску, Введение à la teorie des égrales. Avec une préface de É. Пикард, Париж: A. Hermann et Fils, 1912. VII + 152 с.
• «Уравнение Вольтерра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Интегральное уравнение Вольтерра первого рода". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегральное уравнение Вольтерра второго рода». MathWorld.
• Интегральные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.2. Уравнения Вольтерра». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.