Метод разложения Адомиана - Adomian decomposition method

В Метод разложения Адомиана (ADM) полуаналитический метод решения обычный и частичный нелинейный дифференциальные уравнения. Метод был разработан с 1970-х по 1990-е гг. Георгий Адомян, председатель Центра прикладной математики Университет Джорджии.^[1] Его можно расширить до стохастические системы используя Ито интеграл.^[2] Целью этого метода является построение единой теории решения уравнения в частных производных (PDE); цель, которая была заменена более общей теорией метод гомотопического анализа.^[3] Важнейшим аспектом метода является использование «многочленов Адомиана», которые допускают сходимость решения нелинейной части уравнения без простой линеаризации системы. Эти многочлены математически обобщить до Серия Маклорена о произвольном внешнем параметре; что дает методу решения больше гибкости, чем прямой Серия Тейлор расширение.^[4]

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Метод Адомиана хорошо подходит для решения Задачи Коши, важный класс проблем, который включает первоначальные условия проблемы.

Приложение к нелинейной системе первого порядка

Пример задачи начальных условий для обыкновенного дифференциального уравнения следующий:

${\displaystyle y^{\prime }(t)+y^{2}(t)=-1,}$

${\displaystyle y(0)=0.}$

Для решения проблемы используется дифференциальный оператор высшей степени (здесь записывается как L) ставится с левой стороны следующим образом:

${\displaystyle Ly=-1-y^{2},}$

с L = d / dт и ${\displaystyle L^{-1}=\int _{0}^{t}()}$. Теперь предполагается, что решение представляет собой бесконечную серию вкладов:

${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots .}$

Заменив предыдущее выражение, получим:

${\displaystyle (y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )=y(0)+L^{-1}[-1-(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )^{2}].}$

Теперь мы идентифицируем у₀ с некоторым явным выражением справа, и у_я, я = 1, 2, 3, ..., с некоторым выражением справа, содержащим члены более низкого порядка, чем я. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{0}&=&\ y(0)+L^{-1}(-1)&=&-t\\&y_{1}&=&-L^{-1}(y_{0}^{2})=-L^{-1}(t^{2})&=&-t^{3}/3\\&y_{2}&=&-L^{-1}(2y_{0}y_{1})&=&-2t^{5}/15\\&y_{3}&=&-L^{-1}(y_{1}^{2}+2y_{0}y_{2})&=&-17t^{7}/315.\end{aligned}}}$

Таким образом, можно явно рассчитать любой вклад в любом порядке. Если мы согласимся с четырьмя первыми членами, аппроксимация будет следующей:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots \\&=-\left[t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {2}{15}}t^{5}+{\frac {17}{315}}t^{7}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

Приложение к уравнению Блазиуса

Второй пример с более сложными граничными условиями - это Уравнение Блазиуса для потока в пограничный слой:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}u}{\mathrm {d} x^{3}}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=0}$

При следующих условиях на границах:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0\\u^{\prime }(0)&=0\\u^{\prime }(x)&\to 1,\qquad x\to \infty \end{aligned}}}$

Линейные и нелинейные операторы теперь называются ${\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$ и ${\displaystyle N={\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$, соответственно. Тогда выражение становится:

${\displaystyle Lu+Nu=0}$

и решение в этом случае может быть выражено следующим простым образом:

${\displaystyle u=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-L^{-1}Nu}$

куда: ${\displaystyle L^{-1}\xi (x)=\int dx\int \mathrm {d} x\int \mathrm {d} x\;\;\xi (x)}$ Если:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}\\&=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N})\end{aligned}}}$

и:

${\displaystyle {\begin{aligned}&u^{0}&=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2\\&u^{1}&=&-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}u^{0''})&=&-L^{-1}A_{0}\\&u^{2}&=&-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{1}u^{0''}+u^{0}u^{1''})&=&-L^{-1}A_{1}\\&u^{3}&=&-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{2}u^{0''}+u^{1}u^{1''}+u^{0}u^{2''})&=&-L^{-1}A_{2}\\&&\cdots &\end{aligned}}}$

Полиномы Адомиана для линеаризации нелинейного члена можно систематически получить, используя следующее правило:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}f(u(\lambda ))\mid _{\lambda =0},}$

куда: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}u(\lambda )\mid _{\lambda =0}=n!u_{n}}$

Граничные условия должны применяться, как правило, в конце каждого приближения. В этом случае константы интегрирования должны быть сгруппированы в три конечные независимые константы. Однако в нашем примере три константы появляются сгруппированными с самого начала в форме, показанной в формальном решении выше. После применения первых двух граничных условий мы получим так называемый ряд Блазиуса:

${\displaystyle u={\frac {\gamma }{2}}x^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{5}}{5!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{8}}{8!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{11}}{11!}}\right)+\cdots }$

Чтобы получить γ, мы должны применить граничные условия на ∞, что можно сделать, записав ряд как аппроксимацию Паде:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{L+M}c_{n}z^{n}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{M}z^{M}}}}$

куда L = M. Предел на ${\displaystyle \infty }$ этого выражения а_L/б_M.

Если мы выберем б₀ = 1, M линейные уравнения для б коэффициенты получаются:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}c_{L-M+1}&c_{L-M+2}&\cdots &c_{L}\\c_{L-M+2}&c_{L-M+3}&\cdots &c_{L+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\c_{L}&c_{L+1}&\cdots &c_{L+M-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{M}\\b_{M-1}\\\vdots \\b_{1}\end{array}}\right]=-\left[{\begin{array}{c}c_{L+1}\\c_{L+2}\\\vdots \\c_{L+M}\end{array}}\right]}$

Тогда получаем а коэффициенты в следующей последовательности:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}\\a_{1}&=c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}&=c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\&\cdots \\a_{L}&=c_{L}+\sum _{i=1}^{\min(L,m)}b_{i}c_{L-i}.\end{aligned}}}$

В нашем примере:

${\displaystyle u'(x)=\gamma x-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{4}}{4!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{7}}{7!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{10}}{10!}}\right)}$

Что при γ = 0,0408 становится:

${\displaystyle u'(x)={\frac {0.0204+0.0379\,z-0.0059\,z^{2}-0.00004575\,z^{3}+6.357\cdot 10^{-6}z^{4}-1.291\cdot 10^{-6}z^{5}}{1-0.1429\,z-0.0000232\,z^{2}+0.0008375\,z^{3}-0.0001558\,z^{4}-1.2849\cdot 10^{-6}z^{5}}},}$

с лимитом:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }u'(x)=1.004.}$

Что примерно равно 1 (из граничного условия (3)) с точностью 4/1000.

Уравнения с частными производными

Приложение к прямоугольной системе с нелинейностью

Одна из наиболее частых проблем в физических науках - это получение решения (линейного или нелинейного) уравнения в частных производных, которое удовлетворяет набору функциональных значений на прямоугольной границе. Примером может служить следующая проблема:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-b{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=\rho (x,y)\qquad (1)}$

со следующими граничными условиями, определенными на прямоугольнике:

${\displaystyle u(x=0)=f_{1}(y)\quad {\text{and}}\quad u(x=x_{l})=f_{2}(y)\qquad {\text{(1-a)}}}$

${\displaystyle u(y=-y_{l})=g_{1}(x)\quad {\text{and}}\quad u(y=y_{l})=g_{2}(x)\qquad {\text{(1-b)}}}$

Этот вид дифференциальных уравнений в частных производных часто появляется вместе с другими в наука и инженерное дело. Например, в несжимаемая жидкость проблема потока, Уравнения Навье – Стокса должны решаться параллельно с Уравнение Пуассона для давления.

Разложение системы

Будем использовать следующие обозначения для задачи (1):

${\displaystyle L_{x}u+L_{y}u+Nu=\rho (x,y)\qquad (2)}$

куда L_Икс, L_у являются двойными производными операторами и N - нелинейный оператор.

Формальное решение (2):

${\displaystyle u=a(y)+b(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)-L_{x}^{-1}L_{y}u-L_{x}^{-1}Nu\qquad (3)}$

Теперь развернем u как набор вкладов в решение, которое мы имеем:

${\displaystyle u=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots }$

Подставив в (3) и установив взаимно однозначное соответствие между вкладами в левой части и членами в правой части, мы получаем следующую итерационную схему:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}&=a_{0}(y)+b_{0}(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)\\u_{1}&=a_{1}(y)+b_{1}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{0}+b\int dxA_{0}\\&\cdots \\u_{n}&=a_{n}(y)+b_{n}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{n-1}+b\int dxA_{n-1}\quad 0<n<\infty \end{aligned}}}$

где пара {а_п(у), б_п(у)} является решением следующей системы уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}(x=0)&=f_{1}(y)\\\varphi ^{n}(x=x_{l})&=f_{2}(y),\end{aligned}}}$

Вот ${\displaystyle \varphi ^{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}u_{i}}$ это паппроксимант-го порядка решения и N u последовательно расширяется в многочлены Адомиана:

${\displaystyle {\begin{aligned}Nu&=-b\partial _{x}u^{2}=-b\partial _{x}(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}(u_{0}u_{0}+2u_{0}u_{1}+u_{1}u_{1}+2u_{0}u_{2}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}\sum _{n=1}^{\infty }A(n-1),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle A_{n}=\sum _{\nu =1}^{n}C(\nu ,n)f^{(\nu )}(u_{0})}$ и ж(ты) = ты² в примере (1).

Здесь C(ν, п) являются произведениями (или суммой произведений) ν компонентов ты чьи индексы в сумме составляют п, деленное на факториал числа повторяющихся индексов. Систематически упорядочивать разложение - это всего лишь практическое правило, чтобы быть уверенным, что все появляющиеся комбинации рано или поздно будут использованы.

В ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}}$ равна сумме обобщенного ряда Тейлора о ты₀.^[1]

Для примера (1) многочлены Адомиана:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=u_{0}^{2}\\A_{1}&=2u_{0}u_{1}\\A_{2}&=u_{1}^{2}+2u_{0}u_{2}\\A_{3}&=2u_{1}u_{2}+2u_{0}u_{3}\\&\cdots \end{aligned}}}$

Возможны и другие варианты выражения А_п.

Серийные решения

Шерруо установил, что члены ряда, полученные методом Адомиана, стремятся к нулю как 1 / (мин)! если м - порядок старшего линейного дифференциального оператора и что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi ^{n}=u}$.^[5] С помощью этого метода решение может быть найдено путем систематического интегрирования по любому из двух направлений: в Икс-направление мы бы использовали выражение (3); в альтернативе у-direction мы бы использовали следующее выражение:

${\displaystyle u=c(x)+d(x)y+L_{y}^{-1}\rho (x,y)-L_{y}^{-1}L_{x}u-L_{y}^{-1}Nu}$

куда: c(Икс), d(Икс) получается из граничных условий при у = - у_л и у = у_л:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y=-y_{l})&=g_{1}(x)\\u(y=y_{l})&=g_{2}(x)\end{aligned}}}$

Если мы назовем два соответствующих решения x-частное решение и y-частичное решение, одним из самых интересных следствий метода является то, что x-частное решение использует только два граничных условия (1-a) и y-частичное решение использует только условия (1-b).

Таким образом, один из двух наборов граничных функций {ж₁, ж₂} или же {грамм₁, грамм₂} избыточно, и это означает, что уравнение в частных производных с граничными условиями на прямоугольнике не может иметь произвольных граничных условий на границах, поскольку условия на Икс = Икс₁, Икс = Икс₂ должны соответствовать требованиям у = у₁ и у = у₂.

Примером для пояснения этого момента является решение задачи Пуассона со следующими граничными условиями:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x=0)&=f_{1}(y)=0\\u(x=x_{l})&=f_{2}(y)=0\end{aligned}}}$

Используя метод Адомиана и символьный процессор (например, Mathematica или же Клен ) нетрудно получить приближение третьего порядка к решению. Этот аппроксимант имеет погрешность менее 5 × 10⁻¹⁶ в любой точке, что может быть доказано подстановкой в ​​исходной задаче и отображением абсолютного значения полученной невязки как функции от (Икс, у).^[6]

Решение на у = -0,25 и у = 0,25 задается специальными функциями, которые в данном случае:

${\displaystyle g_{1}(x)=0.0520833\,x-0.347222\,x^{3}+9.25186\times 10^{-17}x^{4}+0.833333\,x^{5}-0.555556\,x^{6}}$

и грамм₂(Икс) = грамм₁(Икс) соответственно.

Если теперь выполнить (двойное) интегрирование в у-направлении с использованием этих двух граничных функций будет получено то же решение, которое удовлетворяет ты(Икс=0, у) = 0 и ты(Икс=0.5, у) = 0 и не может удовлетворять никакому другому условию на этих границах.

Некоторые люди удивлены этими результатами; кажется странным, что не все начально-граничные условия необходимо явно использовать для решения дифференциальной системы. Однако хорошо известно, что любой эллиптическое уравнение имеет одно и только одно решение для любых функциональных условий на четырех сторонах прямоугольника при условии, что на краях нет разрывов. Причина заблуждения в том, что ученые и инженеры обычно думают в граничных условиях в терминах слабая конвергенция в Гильбертово пространство (расстояние до граничной функции достаточно мало для практических целей). Напротив, задачи Коши предполагают двухточечную сходимость к заданной граничной функции и всем ее производным (и это довольно сильное условие!). Для первых функция удовлетворяет граничному условию, когда площадь (или другое функциональное расстояние) между ним и истинной функцией, заданной на границе, настолько мало, насколько желательно; для вторых, однако, функция должна стремиться к истинной функции, наложенной в любой точке интервала.

Прокомментированная задача Пуассона не имеет решения ни для каких функциональных граничных условий. ж₁, ж₂, грамм₁, грамм₂; однако, учитывая ж₁, ж₂ всегда можно найти граничные функции грамм₁^*, грамм₂^* так близко к грамм₁, грамм₂ желаемым (в смысле слабой сходимости), для которого проблема имеет решение. Это свойство позволяет решать задачу Пуассона и многие другие задачи с произвольными граничными условиями, но никогда для аналитических функций, точно заданных на границах. Читатель может убедиться в высокой чувствительности решений УЧП к малым изменениям граничных условий, если: решение этой задачи, интегрируя по Икс-направление, при этом граничные функции немного отличаются, хотя визуально не различимы. Например, решение с граничными условиями:

${\displaystyle f_{1,2}(y)=0.00413682-0.0813801\,y^{2}+0.260416\,y^{4}-0.277778\,y^{6}}$

в Икс = 0 и Икс = 0,5, и решение с граничными условиями:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1,2}(y)=0.00413683&-0.00040048\,y-0.0813802\,y^{2}+0.0101279\,y^{3}+0.260417\,y^{4}\\&-0.0694455\,y^{5}-0.277778\,y^{6}+0.15873\,y^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

в Икс = 0 и Икс = 0,5, производят боковые функции с разной выпуклостью знаков, даже если обе функции визуально неразличимы.

Решения эллиптических задач и других дифференциальных уравнений в частных производных очень чувствительны к небольшим изменениям граничной функции, налагаемой, когда используются только две стороны. И эту чувствительность нелегко совместить с моделями, которые, как предполагается, представляют реальные системы, которые описываются посредством измерений, содержащих экспериментальные ошибки, и обычно выражаются как начально-краевые задачи в гильбертовом пространстве.

Улучшения метода декомпозиции

Сообщалось как минимум о трех методах^[6][7][8] для получения граничных функций грамм₁^*, грамм₂^* которые совместимы с любым боковым набором условий {ж₁, ж₂} наложено. Это позволяет найти аналитическое решение любой граничной задачи УЧП на замкнутом прямоугольнике с требуемой точностью, что позволяет решать широкий круг задач, которые стандартный метод Адомиана не мог решить.

Первый возмущает две граничные функции, наложенные на Икс = 0 и Икс = Икс₁ (условие 1-а) с Nмногочлен -го порядка от у: п₁, п₂ таким образом, что: ж₁' = ж₁ + п₁, ж₂' = ж₂ + п₂, где нормы двух функций возмущения меньше точности, необходимой на границах. Эти п₁, п₂ зависят от набора полиномиальных коэффициентов c_я, я = 1, ..., N. Затем применяется метод Адомиана и получаются функции на четырех границах, которые зависят от набора c_я, я = 1, ..., N. Наконец, граничная функция F(c₁, c₂, ..., c_N) определяется как сумма этих четырех функций, а расстояние между F(c₁, c₂, ..., c_N), а действительные граничные функции ((1-a) и (1-b)) минимизированы. Таким образом, задача свелась к глобальной минимизации функции F(c₁, c₂, ..., c_N), который имеет глобальный минимум для некоторой комбинации параметров c_я, я = 1, ..., N. Этот минимум может быть найден с помощью генетического алгоритма или другого метода оптимизации, например, предложенного Cherruault (1999).^[9]

Второй метод получения аналитических аппроксимаций начально-краевых задач - это сочетание адомианского разложения со спектральными методами.^[7]

Наконец, третий метод, предложенный Гарсиа-Оливаресом, основан на наложении аналитических решений на четырех границах, но модификации исходного дифференциального оператора таким образом, что он отличается от исходного только в узкой области, близкой к границам, и он заставляет решение точно удовлетворять аналитическим условиям на четырех границах.^[8]

Галерея

Рекомендации

1. Адомян Г. (1994). Решение пограничных задач физики: метод декомпозиции. Kluwer Academic Publishers.
2. Адомян, Г. (1986). Нелинейные стохастические операторные уравнения. Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-0-12-044375-8. [1]
3. Ляо, С.Дж. (2012), Метод гомотопического анализа в нелинейном дифференциальном уравнении., Берлин и Пекин: Springer & Higher Education Press, ISBN  978-3642251313 [2]
4. Вазваз, Абдул-Маджид (2009). Уравнения с частными производными и теория уединенных волн. Пресса о высшем образовании. п. 15. ISBN  978-90-5809-369-1.
5. Cherruault, Y. (1989), "Конвергенция метода Адомиана", Kybernetes, 18 (2): 31–38, Дои:10.1108 / eb005812
6. Гарсия-Оливарес, А. (2003), "Аналитическое решение уравнений в частных производных с разложением Адомиана", Kybernetes, 32 (3): 354–368, Дои:10.1108/03684920310458584 [3]
7. Гарсия-Оливарес, А.(2002), "Аналитические аппроксимации нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных с помощью тау-методов", Математика и компьютеры в моделировании, 61: 35–45, Дои:10.1016 / s0378-4754 (02) 00133-7, HDL:10261/51182 [4]
8. Гарсия-Оливарес, А. (2003), "Аналитическое решение нелинейных уравнений физики в частных производных", Kybernetes, 32 (4): 548–560, Дои:10.1108/03684920310463939, HDL:10261/51176 [DOI: 10.1108 / 03684920310463939] [5]
9. Шерруо, Ю. (1999). Оптимизация, локальные и глобальные методы. Прессы Universitaires de France. ISBN  978-2-13-049910-7.