Пограничный слой Блазиуса - Blasius boundary layer

В физика и механика жидкости, а Пограничный слой Блазиуса (названный в честь Пол Рихард Генрих Блазиус ) описывает устойчивую двумерную ламинарную пограничный слой который формируется на полубесконечной пластине, которая удерживается параллельно постоянному однонаправленному потоку. Позднее Фолкнер и Скан обобщили решение Блазиуса для клинового потока (Пограничный слой Фолкнера – Скана ), т.е. потоки, в которых пластина не параллельна потоку.

Уравнения пограничного слоя Прандтля

А схематический диаграмма профиля течения Блазиуса. Продольная составляющая скорости ${displaystyle u(eta )/U(x)}$ показана как функция переменной подобия ${displaystyle eta }$.

Используя аргументы масштабирования, Людвиг Прандтль^[1] утверждал, что около половины терминов в Уравнения Навье-Стокса пренебрежимо малы в пограничных потоках (за исключением небольшой области вблизи передней кромки пластины). Это приводит к сокращенной системе уравнений, известной как уравнения пограничного слоя. Для установившегося потока несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью и плотностью они гласят:

Преемственность: ${displaystyle {dfrac {partial u}{partial x}}+{dfrac {partial v}{partial y}}=0}$

${displaystyle x}$-Момент: ${displaystyle u{dfrac {partial u}{partial x}}+v{dfrac {partial u}{partial y}}=-{dfrac {1}{ho }}{dfrac {partial p}{partial x}}+{u }{dfrac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}}$

${displaystyle y}$-Момент: ${displaystyle {dfrac {partial p}{partial y}}=0}$

Здесь система координат выбрана с ${displaystyle x}$ указывающий параллельно пластине по направлению потока и ${displaystyle y}$ координата, указывающая в сторону набегающего потока, ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ являются ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ компоненты скорости, ${displaystyle p}$ это давление, ${displaystyle ho }$ это плотность и ${displaystyle u }$ это кинематическая вязкость.

В ${displaystyle y}$-импульсное уравнение подразумевает, что давление в пограничном слое должно быть равно давлению набегающего потока для любого данного ${displaystyle x}$ координировать. Поскольку профиль скорости в набегающем потоке однороден, завихренность отсутствует, поэтому простой Уравнение Бернулли может применяться в этом высоком Число Рейнольдса предел${displaystyle {dfrac {p}{ho }}+{dfrac {U^{2}}{2}}=}$ константор, после дифференцирования:${displaystyle {dfrac {1}{ho }}{dfrac {dp}{dx}}=-U{dfrac {dU}{dx}}}$Вот ${displaystyle U(x)}$ - скорость жидкости вне пограничного слоя и является решением Уравнения Эйлера (гидродинамика).

Фон Карман Интеграл импульса а интеграл энергии для профиля Блазиуса сводится к

${displaystyle {frac { au _{w}}{ho U^{2}}}={frac {partial delta _{2}}{partial x}}+{frac {v_{w}}{U}}}$

${displaystyle {frac {2varepsilon }{ho U^{3}}}={frac {partial delta _{3}}{partial x}}+{frac {v_{w}}{U}}}$

где ${displaystyle au _{w}}$ напряжение сдвига стенки, ${displaystyle v_{w}}$ - скорость нагнетания / всасывания стенки, ${displaystyle varepsilon }$ - скорость диссипации энергии, ${displaystyle delta _{2}}$ - толщина импульса и ${displaystyle delta _{3}}$ - энергетическая толщина.

Был найден ряд решений подобия этого уравнения для различных типов течения, включая пограничные слои плоских пластин. Период, термин сходство относится к тому свойству, что профили скорости в разных точках потока одинаковы, за исключением масштабного коэффициента. Эти решения часто представляют в виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнение Блазиуса - пограничный слой первого порядка

Блазиус^[2] предложил решение подобия для случая, когда скорость набегающего потока постоянна, ${displaystyle U(x)=U={ ext{constant}},dU/dx=0}$, что соответствует пограничному слою над плоской пластиной, ориентированной параллельно свободному потоку. Автомодельное решение существует, поскольку уравнения и граничные условия инвариантны относительно преобразования

${displaystyle xightarrow c^{2}x,quad yightarrow cy,quad uightarrow u,quad vightarrow {frac {v}{c}}}$

где ${displaystyle c}$ - любая положительная постоянная. Он ввел автомодельные переменные

Разработка пограничного слоя Блазиуса (без масштаба). Профиль скорости ${displaystyle f'}$ отображается красным в выбранных местах вдоль пластины. Синие линии в порядке сверху вниз представляют линию скорости 99% свободного потока (${displaystyle delta _{99\%},eta approx 3.5}$), толщина вытеснения (${displaystyle delta _{*},eta approx 1.21}$) и ${displaystyle delta (x)}$ (${displaystyle eta =1}$). Увидеть Толщина пограничного слоя для более подробного объяснения.

${displaystyle eta ={dfrac {y}{delta (x)}}=y{sqrt {dfrac {U}{u x}}},quad psi ={sqrt {u Ux}}f(eta )}$

где ${displaystyle delta (x)propto {sqrt {u x/U}}}$ это толщина пограничного слоя и ${displaystyle psi }$ это функция потока, в котором недавно введенная нормализованная функция потока, ${displaystyle f(eta )}$, является только функцией переменной подобия. Это приводит непосредственно к составляющим скорости

${displaystyle u(x,y)={dfrac {partial psi }{partial y}}=Uf'(eta ),quad v(x,y)=-{dfrac {partial psi }{partial x}}={frac {1}{2}}{sqrt {dfrac {u U}{x}}}[eta f'(eta )-f(eta )]}$

Где штрих означает вывод по ${displaystyle eta }$. Подстановка в уравнение импульса дает уравнение Блазиуса

${displaystyle 2f'''+f''f=0}$

Граничные условия - это условие противоскольжения, непроницаемость стенки и скорость набегающего потока вне пограничного слоя

${displaystyle u(x,0)=0ightarrow f'(0)=0}$

${displaystyle v(x,0)=0ightarrow f(0)=0}$

${displaystyle u(x,infty )=Uightarrow f'(infty )=1}$

Это нелинейный обыкновенное дифференциальное уравнение который можно решить численно, например с метод стрельбы.

Предельная форма для малых ${displaystyle eta <<1}$ является

${displaystyle f(eta )={frac {1}{2}}alpha eta ^{2}+O(eta ^{5}),qquad alpha =0.4696}$

и предельная форма для больших ${displaystyle eta >>1}$ является

${displaystyle f(eta )=eta -eta +Oleft((eta -eta )^{-2}e^{-{frac {1}{2}}(eta -eta )^{2}}ight),qquad eta =1.21678}$

Подходящими параметрами для сравнения с экспериментальными наблюдениями являются толщина вытеснения. ${displaystyle delta ^{*}}$, толщина импульса ${displaystyle heta }$ напряжение сдвига стенки ${displaystyle au _{w}}$ и сила сопротивления ${displaystyle F}$ действующий на длине ${displaystyle l}$ пластины, которые даны для профиля Блазиуса

${displaystyle delta ^{*}=int _{0}^{infty }left(1-{frac {u}{U}}ight)dy=1.72{sqrt {frac {u x}{U}}}}$

${displaystyle heta =int _{0}^{infty }{frac {u}{U}}left(1-{frac {u}{U}}ight)dy=0.665{sqrt {frac {u x}{U}}}}$

${displaystyle au _{w}=mu left({frac {partial u}{partial y}}ight)_{y=0}=0.332{sqrt {frac {ho mu U^{3}}{x}}}}$

${displaystyle F=2int _{0}^{l} au _{w}dx=1.328{sqrt {ho mu lU^{3}}}}$

Фактор ${displaystyle 2}$ в формуле силы сопротивления необходимо учитывать обе стороны пластины.

Уникальность решения Блазиуса

Решение Блазиуса не уникально с математической точки зрения,^[3]:131 так как Людвиг Прандтль сам отметил это в своем теорема транспонирования и проанализирован рядом исследователей, таких как Кейт Стюартсон, Пол А. Либби.^[4] К этому решению может быть добавлена ​​любая из бесконечного дискретного набора собственных функций, каждая из которых удовлетворяет линейно возмущенному уравнению с однородными условиями и экспоненциальным убыванием на бесконечности. Первая из этих собственных функций оказывается ${displaystyle x}$ производная от решения Блазиуса первого порядка, которая представляет собой неопределенность в эффективном местоположении начала координат.

Пограничный слой второго порядка

Это приближение пограничного слоя предсказывает ненулевую вертикальную скорость вдали от стены, которую необходимо учитывать в следующем порядке: внешний невязкий слой и соответствующее решение внутреннего пограничного слоя, которое, в свою очередь, предсказывает новую вертикальную скорость и так далее. Вертикальная скорость на бесконечности для задачи о пограничном слое первого порядка из уравнения Блазиуса равна

${displaystyle v=0.86{sqrt {frac {u U}{x}}}}$

Решение для пограничного слоя второго порядка равно нулю. Решение для внешнего невязкого и внутреннего пограничного слоя:^[3]:134

${displaystyle psi (x,y)sim {egin{cases}y-{sqrt {frac {u }{Ux}}}eta Re {sqrt {2(x+iy)}},&{ ext{outer }}{sqrt {2u Ux}}f(eta )+0,&{ ext{inner}}end{cases}}}$

Опять же, как и в краевой задаче первого порядка, к этому решению можно добавить любое из бесконечного множества собственных решений. Во всем решении ${displaystyle Re=Ux/u }$ можно рассматривать как Число Рейнольдса.

Пограничный слой третьего порядка

Поскольку внутренняя проблема второго порядка равна нулю, соответствующие поправки к задаче третьего порядка равны нулю, т.е. внешняя задача третьего порядка такая же, как внешняя задача второго порядка.^[3]:139 Решение для поправки третьего порядка не имеет точного выражения, но расширение внутреннего пограничного слоя имеет вид

${displaystyle psi (x,y)sim {sqrt {2u Ux}}f(eta )+0+left({frac {u }{Ux}}ight)^{3/2}left[log left({frac {Ux}{u }}ight){sqrt {frac {x}{2}}}f_{32}(eta )+{frac {1}{sqrt {2x}}}f_{31}(eta )ight]+cdot cdot cdot }$

где ${displaystyle f_{32}}$ - первое собственное решение пограничного слоя первого порядка (т.е. ${displaystyle x}$ производная от решения Блазиуса первого порядка) и решение для ${displaystyle f_{31}}$ неединственна, и проблема остается с неопределенной константой.

Пограничный слой Блазиуса с отсосом

Отсос - один из распространенных методов отсрочки отрыва пограничного слоя.^[5] Рассмотрим равномерную скорость всасывания у стены. ${displaystyle v(0)=-V}$. Брайан Туэйтс^[6] показал, что решение этой проблемы такое же, как решение Блазиуса без всасывания для расстояний, очень близких к передней кромке. Представляем трансформацию

${displaystyle psi ={sqrt {2Uu x}}f(xi ,eta ),quad xi =V{sqrt {frac {x}{2Uu }}},quad eta ={sqrt {frac {U}{2u x}}}y}$

в уравнения пограничного слоя приводит к

${displaystyle u=U{frac {partial f}{partial eta }},quad v=-{sqrt {frac {Uu }{2x}}}left(f+xi {frac {partial f}{partial xi }}-eta {frac {partial f}{partial eta }}ight),}$

${displaystyle {frac {partial ^{3}f}{partial eta ^{3}}}+f{frac {partial ^{2}f}{partial eta ^{2}}}+xi left({frac {partial f}{partial xi }}{frac {partial ^{2}f}{partial eta ^{2}}}-{frac {partial ^{2}f}{partial xi partial eta }}{frac {partial f}{partial eta }}ight)=0}$

с граничными условиями,

${displaystyle f(xi ,0)=xi ,quad {frac {partial f}{partial eta }}(xi ,0)=0,quad {frac {partial f}{partial eta }}(xi ,infty )=0.}$

Преобразование фон Мизеса

Иглиш получил полное численное решение в 1944 году.^[7] Если дальше фон Мизес трансформация^[8] вводится

${displaystyle sigma =2xi ,quad psi -Vx={frac {Uu }{2V}}sigma au ^{2},quad phi ={frac {4u^{2}}{U^{2}}},quad chi =U^{2}-u^{2}=U^{2}left(1-{frac {V}{4}}ight),}$

тогда уравнения становятся

${displaystyle {sqrt {phi }}{frac {partial ^{2}phi }{partial au ^{2}}}+left(2sigma au + au ^{3}-{frac {sqrt {phi }}{ au }}ight){frac {partial phi }{partial au }}=2sigma au ^{2}{frac {partial phi }{partial sigma }}}$

с граничными условиями,

${displaystyle phi (0, au )=4,quad phi (sigma ,0)=0,quad phi (sigma ,infty )=4.}$

Эта параболическое уравнение в частных производных можно пройти, начиная с ${displaystyle sigma =0}$ численно.

Асимптотический профиль всасывания

Поскольку конвекция из-за всасывания и диффузия из-за твердой стенки действуют в противоположном направлении, профиль достигнет устойчивого решения на большом расстоянии, в отличие от профиля Блазиуса, где пограничный слой растет бесконечно. Решение было впервые получено Гриффит и Ф.В. Мередит.^[9] Для расстояний от передней кромки пластины ${displaystyle xgg u U/V^{2}}$, как толщина пограничного слоя, так и решение не зависят от ${displaystyle x}$ данный

${displaystyle delta ={frac {u }{V}},quad u=U(1-e^{-yV/u }),quad v=-V.}$

Стюартсон^[10] исследовали согласование полного решения с асимптотическим профилем всасывания.

Сжимаемый пограничный слой Блазиуса

Здесь пограничный слой Блазиуса с заданным удельная энтальпия ${displaystyle h}$ у стены изучается. В плотность ${displaystyle ho }$, вязкость ${displaystyle mu }$ и теплопроводность ${displaystyle kappa }$ здесь уже не постоянны. Уравнение сохранения массы, импульса и энергии становится

${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial (ho u)}{partial x}}+{frac {partial (ho v)}{partial y}}&=0,ho left(u{frac {partial u}{partial x}}+v{frac {partial u}{partial y}}ight)&={frac {partial }{partial y}}left(mu {frac {partial u}{partial y}}ight),ho left(u{frac {partial h}{partial x}}+v{frac {partial h}{partial y}}ight)&={frac {partial }{partial y}}left({frac {mu }{Pr}}{frac {partial h}{partial y}}ight)+mu left({frac {partial u}{partial y}}ight)^{2}end{aligned}}}$

где ${displaystyle Pr=c_{p_{infty }}mu _{infty }/kappa _{infty }}$ это Число Прандтля с суффиксом ${displaystyle infty }$ представляющие свойства, оцениваемые на бесконечности. Граничные условия становятся

${displaystyle u=v=h-h_{w}(x)=0 { ext{for}} y=0}$,

${displaystyle u-U=h-h_{infty }=0 { ext{for}} y=infty { ext{or}} x=0}$.

В отличие от несжимаемого пограничного слоя решение подобия существует только в том случае, если преобразование

${displaystyle xightarrow c^{2}x,quad yightarrow cy,quad uightarrow u,quad vightarrow {frac {v}{c}},quad hightarrow h,quad ho ightarrow ho ,quad mu ightarrow mu }$

выполняется, и это возможно, только если ${displaystyle h_{w}={ ext{constant}}}$.

Преобразование Ховарта

Сжимаемый пограничный слой Блазиуса

Вводя автомодельные переменные, используя Преобразование Ховарта – Дородницына

${displaystyle eta ={sqrt {frac {U}{2u _{infty }x}}}int _{0}^{y}{frac {ho }{ho _{infty }}}dy,quad f(eta )={frac {psi }{sqrt {2u _{infty }Ux}}},quad { ilde {h}}(eta )={frac {h}{h_{infty }}},quad { ilde {h}}_{w}={frac {h_{w}}{h_{infty }}},quad { ilde {ho }}={frac {ho }{ho _{infty }}},quad { ilde {mu }}={frac {mu }{mu _{infty }}}}$

уравнения сводятся к

${displaystyle {egin{aligned}2({ ilde {ho }}{ ilde {mu }}f'')'+ff''=0,({ ilde {ho }}{ ilde {mu }}{ ilde {h}}')'+Prf{ ilde {h}}'+Pr(gamma -1)M^{2}{ ilde {ho }}{ ilde {mu }}f''^{2}=0end{aligned}}}$

где ${displaystyle gamma }$ это коэффициент удельной теплоемкости и ${displaystyle M=U/c_{infty }}$ это число Маха, где ${displaystyle c_{infty }}$ это скорость звука. Уравнение можно решить один раз ${displaystyle { ilde {ho }}={ ilde {ho }}({ ilde {h}}), { ilde {mu }}={ ilde {mu }}({ ilde {h}})}$ указаны. Граничные условия:

${displaystyle f(0)=f'(0)= heta (0)-{ ilde {h}}_{w}=f'(infty )-1={ ilde {h}}(infty )-1=0.}$

Обычно используемые выражения для воздуха: ${displaystyle gamma =1.4, Pr=0.7, { ilde {ho }}={ ilde {h}}^{-1}, { ilde {mu }}={ ilde {h}}^{2/3}}$. Если ${displaystyle c_{p}}$ постоянно, то ${displaystyle { ilde {h}}={ ilde { heta }}=T/T_{infty }}$. Температура внутри пограничного слоя будет увеличиваться, даже если температура пластины поддерживается на той же температуре, что и температура окружающей среды, из-за диссипативного нагрева и, конечно, эти эффекты диссипации проявляются только тогда, когда число Маха ${displaystyle M}$ большой.

Пограничный слой Блазиуса первого порядка в параболических координатах

Поскольку уравнения пограничного слоя имеют вид Параболическое уравнение в частных производных, естественные координаты задачи: параболические координаты.^[3]:142 Превращение из Декартовы координаты ${displaystyle (x,y)}$ к параболические координаты ${displaystyle (xi ,eta )}$ дан кем-то

${displaystyle x+iy={frac {1}{2}}(xi +ieta )^{2},quad x={frac {1}{2}}(xi ^{2}-eta ^{2}),quad y=xi eta }$.

Смотрите также

• Пограничный слой Фолкнера – Скан
• Проблема Эммонса

внешние ссылки

• [1] - Английский перевод оригинальной статьи Блазиуса - Технический меморандум NACA 1256.

Сноски

1. Прандтль, Л. (1904). "Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verhandlinger 3. Int. Математика. Kongr. Гейдельберг: 484–491.
2. Блазиус, Х. (1908). "Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung". З. Энгью. Математика. Phys. 56: 1–37.
3. Ван Дайк, Милтон (1975). Методы возмущений в механике жидкости. Параболический пресс. ISBN  9780915760015.
4. Либби, Пол А. и Герберт Фокс. «Некоторые решения теории возмущений в теории ламинарного пограничного слоя». Журнал гидромеханики 17.3 (1963): 433-449.
5. Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963 год.
6. Туэйтс, Брайан. О некоторых типах пограничного течения с непрерывным поверхностным отсосом. Канцелярия HM, 1946 год.
7. Иглиш, Рудольф. Exakte Berechnung der Laminaren Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absaugung. Ольденбург, 1944 год.
8. Фон Мизес, Ричард. "Bemerkungen zur hydrodynamik". З. Энгью. Математика. Mech 7 (1927): 425-429.
9. Гриффит А.А. и Ф.В. Мередит. «Возможное улучшение характеристик самолета за счет использования всасывания пограничного слоя». Отчет о создании Royal Aircraft № E 3501 (1936 г.): 12.
10. Стюартсон, К. "Об асимптотических разложениях в теории пограничных слоев". Исследования по прикладной математике 36.1-4 (1957): 173-191.

использованная литература

• Parlange, J. Y .; Braddock, R.D .; Сандер, Г. (1981). «Аналитические приближения к решению уравнения Блазиуса». Acta Mech. 38 (1–2): 119–125. Bibcode:1981AcMec..38..119P. Дои:10.1007 / BF01351467.
• Позрикидис, К. (1998). Введение в теоретическую и вычислительную гидродинамику. Оксфорд. ISBN  978-0-19-509320-9.
• Шлихтинг, Х. (2004). Теория пограничного слоя. Springer. ISBN  978-3-540-66270-9.
• Уилкокс, Дэвид С. Основы механики жидкости DCW Industries Inc. 2007 г.
• Бойд, Джон П. (1999), «Функция Блазиуса в комплексной плоскости», Экспериментальная математика, 8 (4): 381–394, Дои:10.1080/10586458.1999.10504626, ISSN  1058-6458, Г-Н  1737233