Параболические координаты - Parabolic coordinates

Параболические координаты являются двумерными ортогональный система координат в которой координатные линии находятся конфокальный параболы. Трехмерная версия параболических координат получается вращением двумерного система относительно оси симметрии парабол.

Параболические координаты нашли множество приложений, например, при обработке Эффект Старка и теория потенциала краев.

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты ${ Displaystyle ( сигма, тау)}$ определяются уравнениями в декартовых координатах:

{ Displaystyle х = сигма тау}

{ displaystyle y = { frac {1} {2}} left ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} right)}

Кривые постоянной ${ displaystyle sigma}$ образуют конфокальные параболы

{ displaystyle 2y = { frac {x ^ {2}} { sigma ^ {2}}} - sigma ^ {2}}

которые открываются вверх (т.е. ${ displaystyle + y}$ ), а кривые постоянной ${ Displaystyle тау}$ образуют конфокальные параболы

{ displaystyle 2y = - { frac {x ^ {2}} { tau ^ {2}}} + tau ^ {2}}

которые открываются вниз (т.е. ${ displaystyle -y}$ ). Фокусы всех этих парабол находятся в начале координат.

Двумерные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для параболических координат ${ Displaystyle ( сигма, тау)}$ равны

{ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}}

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

{ displaystyle dA = left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} right) d sigma d tau}

и Лапласиан равно

{ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} left ({ frac { partial ^ {2} Phi} { partial sigma ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} Phi} { partial tau ^ {2}}} right)}

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( сигма, тау)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Трехмерные параболические координаты

Координатные поверхности трехмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует τ = 2, синий параболоид соответствует σ = 1, а желтая полуплоскость соответствует φ = -60 °. Три поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой) с Декартовы координаты примерно (1.0, -1.732, 1.5).

Двумерные параболические координаты образуют основу для двух наборов трехмерных ортогональные координаты. В параболические цилиндрические координаты производятся путем проецирования в ${ displaystyle z}$ -направление. Вращение вокруг оси симметрии парабол создает набор конфокальных параболоидов, систему координат трехмерных параболических координат. Выражается в декартовых координатах:

{ Displaystyle х = сигма тау соз varphi}

{ Displaystyle у = сигма тау грех varphi}

{ displaystyle z = { frac {1} {2}} left ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} right)}

где параболы теперь выровнены с ${ displaystyle z}$ - ось, вокруг которой производилось вращение. Следовательно, азимутальный угол ${ displaystyle phi}$ определено

{ displaystyle tan varphi = { frac {y} {x}}}

Поверхности постоянного ${ displaystyle sigma}$ образуют конфокальные параболоиды

{ displaystyle 2z = { frac {x ^ {2} + y ^ {2}} { sigma ^ {2}}} - sigma ^ {2}}

которые открываются вверх (т.е. ${ displaystyle + z}$ ), а поверхности постоянных ${ Displaystyle тау}$ образуют конфокальные параболоиды

{ displaystyle 2z = - { frac {x ^ {2} + y ^ {2}} { tau ^ {2}}} + tau ^ {2}}

которые открываются вниз (т.е. ${ displaystyle -z}$ ). Фокусы всех этих параболоидов расположены в начале координат.

В Риманов метрический тензор связанная с этой системой координат

{ displaystyle g_ {ij} = { begin {bmatrix} sigma ^ {2} + tau ^ {2} & 0 & 0 0 & sigma ^ {2} + tau ^ {2} & 0 0 & 0 & sigma ^ {2} tau ^ {2} end {bmatrix}}}

Трехмерные масштабные коэффициенты

Коэффициенты трехмерного масштабирования:

{ displaystyle h _ { sigma} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}}

{ Displaystyle ч _ { тау} = { sqrt { sigma ^ {2} + тау ^ {2}}}}

{ displaystyle h _ { varphi} = sigma tau}

Видно, что масштабные коэффициенты ${ displaystyle h _ { sigma}}$ и ${ displaystyle h _ { tau}}$ такие же, как и в двумерном случае. Бесконечно малый элемент объема тогда

{ displaystyle dV = h _ { sigma} h _ { tau} h _ { varphi} , d sigma , d tau , d varphi = sigma tau left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} right) , d sigma , d tau , d varphi}

а лапласиан равен

{ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} left [{ frac {1} { sigma}} { frac { partial} { partial sigma}} left ( sigma { frac { partial Phi} { partial sigma}} right) + { frac {1} { tau}} { frac { partial} { partial tau}} left ( tau { frac { partial Phi} { partial tau}} right) right] + { frac {1} { sigma ^ {2} tau ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} Phi} { partial varphi ^ {2}}}}

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( сигма, тау, фи)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Смотрите также

Библиография

Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 660. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.185–186. LCCN 55010911.
Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 180. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 96. LCCN 67025285.
Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k для ξ_k.
Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Параболические координаты (μ, ν, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 34–36 (Таблица 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.