Параболические цилиндрические координаты - Parabolic cylindrical coordinates - Wikipedia

Координатные поверхности параболических цилиндрических координат. Красный параболический цилиндр соответствует σ = 2, а желтый параболический цилиндр соответствует τ = 1. Синяя плоскость соответствует z= 2. Эти поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой), которая имеет Декартовы координаты примерно (2, -1,5, 2).

В математика, параболические цилиндрические координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате проецирования двухмерного параболическая система координат в перпендикулярном ${\displaystyle z}$-направление. Следовательно координатные поверхности находятся конфокальный параболический цилиндры. Параболические цилиндрические координаты нашли множество приложений, например, теория потенциала краев.

Основное определение

Параболическая система координат, показывающая кривые постоянных σ и τ, горизонтальная и вертикальная оси представляют собой координаты x и y соответственно. Эти координаты проецируются по оси z, поэтому эта диаграмма будет сохраняться для любого значения координаты z.

Параболические цилиндрические координаты (σ, τ, z) определены в терминах Декартовы координаты (Икс, у, z) к:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Поверхности постоянного σ образуют конфокальные параболические цилиндры

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

которые открыты для +у, а поверхности постоянного τ образуют конфокальные параболические цилиндры

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

которые открываются в обратном направлении, т.е. −у. Фокусы всех этих параболических цилиндров расположены вдоль линии, определяемой Икс = у = 0. Радиус р также имеет простую формулу

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

что оказывается полезным в решении Уравнение Гамильтона – Якоби в параболических координатах для обратный квадрат центральная сила проблема механика; для получения дополнительной информации см. Вектор Лапласа – Рунге – Ленца. статья.

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для параболических цилиндрических координат σ и τ находятся:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}}$

Дифференциальные элементы

Бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz}$

Дифференциальное смещение определяется как:

${\displaystyle d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}} }$

Дифференциальная нормальная площадь определяется как:

${\displaystyle d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}} }$

Del

Позволять ж - скалярное поле. В градиент дан кем-то

${\displaystyle \nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} }$

В Лапласиан дан кем-то

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

Позволять А быть векторным полем вида:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

В расхождение дан кем-то

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}}$

В завиток дан кем-то

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}\right)\mathbf {\hat {z}} }$

Остальные дифференциальные операторы можно выразить в координатах (σ, τ) подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Связь с другими системами координат

Отношение к цилиндрические координаты (ρ, φ, z):

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Параболические единичные векторы, выраженные через декартовы единичные векторы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}$

Гармоники параболического цилиндра

Поскольку все поверхности постоянного σ, τ и z находятся коникоиды, Уравнение Лапласа разделимо в параболических цилиндрических координатах. Используя технику разделение переменных, разделенное решение уравнения Лапласа может быть записано:

${\displaystyle V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)}$

и уравнение Лапласа, разделенное на V, написано:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$

Поскольку Z уравнение отдельно от остальных, мы можем написать

${\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}$

куда м постоянно. Z(z) есть решение:

${\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}}$

Подстановка −м² за ${\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}$, Уравнение Лапласа теперь можно записать:

${\displaystyle \left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}$

Теперь мы можем отделить S и Т функции и ввести другую константу п² чтобы получить:

${\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}$

${\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}$

Решениями этих уравнений являются функции параболического цилиндра

${\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}$

${\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}$

Гармоники параболического цилиндра для (м, п) теперь продукт решений. Комбинация уменьшит количество констант, и общее решение уравнения Лапласа может быть записано:

${\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}}$

Приложения

Классические приложения параболических цилиндрических координат находятся в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца, для которых такие координаты позволяют разделение переменных. Типичным примером может служить электрическое поле окружает плоскую полубесконечную проводящую пластину.

Смотрите также

• Параболические координаты
• Ортогональная система координат
• Криволинейные координаты

Библиография

• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.186 –187. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 181. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 96. LCCN  67025285.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN  0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k для ξ_k.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Координаты параболического цилиндра (μ, ν, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 21–24 (Таблица 1.04). ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание параболических цилиндрических координат