Конические координаты - Conical coordinates

Координатные поверхности конических координат. Константы б и c были выбраны 1 и 2 соответственно. Красная сфера представляет р = 2, синий эллиптический конус выровнен с вертикальной z-ось представляет μ = cosh (1), а желтый эллиптический конус выровнен с (зеленым) Икс-ось соответствует ν² = 2/3. Три поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой) с Декартовы координаты примерно (1,26, -0,78, 1,34). Эллиптические конусы пересекают сферу в виде кривых тако.

Конические координаты являются трехмерными ортогональный система координат состоящий из концентрических сфер (описываемых их радиусом р) и двумя семействами перпендикулярных конусов, выровненных по z- и Икс-axes соответственно.

Основные определения

Конические координаты ${displaystyle (r,mu ,u )}$ определены

${displaystyle x={frac {rmu u }{bc}}}$

${displaystyle y={frac {r}{b}}{sqrt {frac {left(mu ^{2}-b^{2}ight)left(u ^{2}-b^{2}ight)}{left(b^{2}-c^{2}ight)}}}}$

${displaystyle z={frac {r}{c}}{sqrt {frac {left(mu ^{2}-c^{2}ight)left(u ^{2}-c^{2}ight)}{left(c^{2}-b^{2}ight)}}}}$

со следующими ограничениями на координаты

${displaystyle u ^{2}<c^{2}<mu ^{2}<b^{2}.}$

Поверхности постоянного р сферы этого радиуса с центром в начале координат

${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

тогда как поверхности постоянного ${displaystyle mu }$ и ${displaystyle u }$ взаимно перпендикулярные конусы

${displaystyle {frac {x^{2}}{mu ^{2}}}+{frac {y^{2}}{mu ^{2}-b^{2}}}+{frac {z^{2}}{mu ^{2}-c^{2}}}=0}$

и

${displaystyle {frac {x^{2}}{u ^{2}}}+{frac {y^{2}}{u ^{2}-b^{2}}}+{frac {z^{2}}{u ^{2}-c^{2}}}=0.}$

В этой системе координат оба Уравнение Лапласа и Уравнение Гельмгольца отделимы.

Коэффициенты масштабирования

Масштабный коэффициент для радиуса р является одним (час_р = 1), как в сферические координаты. Масштабные коэффициенты для двух конических координат равны

${displaystyle h_{mu }=r{sqrt {frac {mu ^{2}-u ^{2}}{left(b^{2}-mu ^{2}ight)left(mu ^{2}-c^{2}ight)}}}}$

и

${displaystyle h_{u }=r{sqrt {frac {mu ^{2}-u ^{2}}{left(b^{2}-u ^{2}ight)left(c^{2}-u ^{2}ight)}}}.}$

Конические координаты светового конуса

Был получен альтернативный набор (неортогональных) конических координат.^[1]

${displaystyle {egin{aligned}xi &=rcos(phi sin heta )psi &=rsin(phi sin heta )zeta &= heta ,end{aligned}}}$

куда ${displaystyle {r, heta ,phi }}$ находятся сферические полярные координаты. Соответствующие обратные соотношения:

${displaystyle {egin{aligned}r&={sqrt {xi ^{2}+psi ^{2}}}phi &={frac {1}{sin zeta }}arctan({frac {psi }{xi }}) heta &=zeta .end{aligned}}}$

Бесконечно малое евклидово расстояние между двумя точками в этих координатах

${displaystyle {egin{aligned}ds^{2}&=dxi ^{2}+dpsi ^{2}+(xi ^{2}+psi ^{2})(1+arctan({frac {psi }{xi }})^{2}cot zeta ^{2})dzeta ^{2}&+2psi arctan({frac {psi }{xi }})cot zeta dxi dzeta -2xi arctan({frac {psi }{xi }})cot zeta dpsi dzeta .end{aligned}}}$

${displaystyle xi }$ и ${displaystyle psi }$ - ортогональные координаты на поверхности конуса, задаваемые формулами ${displaystyle zeta ={frac {pi }{4}}}$.Если путь между любыми двумя точками ограничен этой поверхностью, то геодезическое расстояние между любыми двумя точками

${displaystyle {xi _{1},psi _{1},zeta _{1}={frac {pi }{4}}}}$ и ${displaystyle {xi _{2},psi _{2},zeta _{2}={frac {pi }{4}}}}$ является

${displaystyle s_{12}^{2}=(xi _{1}-xi _{2})^{2}+(psi _{1}-psi _{2})^{2}.}$

Рекомендации

1. Дрейк, Сэмюэл Пиктон; Андерсон, Брайан Д. О .; Ю, Чанбинь (20.07.2009). «Причинно-следственная связь электромагнитных сигналов с использованием определителя Кэли-Менгера». Письма по прикладной физике. 95 (3): 034106. arXiv:0908.3143. Bibcode:2009ApPhL..95c4106D. Дои:10.1063/1.3180815. ISSN  0003-6951.

Библиография

• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 659. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.183 –184. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 179. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 991–100. LCCN  67025285.
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. С. 118–119. ASIN B000MBRNX4.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Конические координаты (r, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 37–40 (Таблица 1.09). ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание конических координат