Параболоидальные координаты - Paraboloidal coordinates - Wikipedia

Параболоидальные координаты трехмерны ортогональные координаты ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ которые обобщают двумерные параболические координаты. Они обладают эллиптическими параболоиды как однокоординатные поверхности. Таким образом, их следует отличать от параболические цилиндрические координаты и параболические координаты вращения, оба из которых также являются обобщениями двумерных параболических координат. Координатные поверхности первых представляют собой параболические цилиндры, а координатные поверхности вторых - круговой параболоиды.

В отличие от цилиндрических и вращательных параболических координат, но аналогично соответствующим эллипсоидальные координаты, координатные поверхности параболоидальной системы координат равны нет получается путем вращения или проецирования любой двумерной ортогональной системы координат.

Координатные поверхности трехмерных параболоидальных координат.

Основные формулы

Декартовы координаты ${\displaystyle (x,y,z)}$ может быть получен из эллипсоидальных координат ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ уравнениями^[1]

${\displaystyle x^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)}$

${\displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -b-c}$

с

${\displaystyle \mu >b>\lambda >c>\nu >0}$

Следовательно, поверхности постоянного ${\displaystyle \mu }$ - открывающиеся вниз эллиптические параболоиды:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu )}$

Аналогично, поверхности постоянного ${\displaystyle \nu }$ находятся вверх раскрывающиеся эллиптические параболоиды,

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )}$

тогда как поверхности постоянного ${\displaystyle \lambda }$ являются гиперболическими параболоидами:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}$

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для параболоидальных координат ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ находятся^[2]

${\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

Дифференциальные операторы

Общие дифференциальные операторы можно выразить в координатах ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы для этих операторов, которые применимы к любым трехмерным ортогональным координатам. Например, оператор градиента является

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$

и Лапласиан является

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}$

Приложения

Параболоидальные координаты могут быть полезны для решения некоторых уравнения в частных производных. Например, Уравнение лапласа и Уравнение Гельмгольца оба отделяемый в параболоидальных координатах. Следовательно, координаты могут использоваться для решения этих уравнений в геометриях с параболоидальной симметрией, то есть с граничными условиями, заданными на сечениях параболоидов.

Уравнение Гельмгольца имеет вид ${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$. Принимая ${\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}$, разделенные уравнения имеют вид^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ - две константы разделения. Аналогичным образом разделенные уравнения для уравнения Лапласа можно получить, задав ${\displaystyle k=0}$ в приведенном выше.

Каждое из разделенных уравнений можно записать в виде Уравнение Бэра. Однако прямое решение уравнений затруднено отчасти потому, что константы разделения ${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ появляются одновременно во всех трех уравнениях.

Следуя описанному выше подходу, параболоидальные координаты использовались для решения электрическое поле окружающий проведение параболоид.^[4]

Рекомендации

1. Юн, LCLY; М, Уиллатцен (2011), Разделимые краевые задачи в физике, Wiley-VCH, с. 217, ISBN  978-3-527-63492-7
2. Виллатцен и Юн (2011), стр. 219
3. Виллатцен и Юн (2011), стр. 227
4. Дугген, L; Willatzen, M; Вун, Л. К. Лев Ян (2012), "Краевая задача Лапласа в параболоидальных координатах", Европейский журнал физики, 33 (3): 689--696, Дои:10.1088/0143-0807/33/3/689

Библиография

• Лью Ян Вун, LC, Willatzen M (2011). Разделимые краевые задачи в физике. Wiley-VCH. ISBN  978-3-527-41020-0.
• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 664. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.184 –185. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. С. 119–120.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 98. LCCN  67025285.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN  0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k для ξ_k.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Параболоидальные координаты (μ, ν, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 44–48 (Таблица 1.11). ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание конфокальных параболоидальных координат