Бисферические координаты - Bispherical coordinates - Wikipedia

Иллюстрация бисферических координат, которые получаются вращением двумерного биполярная система координат вокруг оси, соединяющей два его очага. Очаги расположены на расстоянии 1 от вертикали. z-ось. Красный самопересекающийся тор - это изоповерхность σ = 45 °, синяя сфера - это изоповерхность τ = 0,5, а желтая полуплоскость - изоповерхность φ = 60 °. Зеленая полуплоскость отмечает Икс-z плоскость, от которой отсчитывается φ. Черная точка расположена на пересечении красной, синей и желтой изоповерхностей с декартовыми координатами примерно (0,841, -1,456, 1,239).

Бисферические координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате вращения двумерного биполярная система координат вокруг оси, соединяющей два очага. Таким образом, два фокусы ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ в биполярные координаты остаются точки (на ${\displaystyle z}$-axis, ось вращения) в бисферической системе координат.

Определение

Наиболее распространенное определение бисферических координат ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ является

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

где ${\displaystyle \sigma }$ координата точки ${\displaystyle P}$ равен углу ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ и ${\displaystyle \tau }$ координата равна натуральный логарифм отношения расстояний ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ в фокусы

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

Координатные поверхности

Поверхности постоянного ${\displaystyle \sigma }$ соответствуют пересекающимся торам разных радиусов

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

все они проходят через фокусы, но не концентрически. Поверхности постоянного ${\displaystyle \tau }$ являются непересекающимися сферами разного радиуса

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

которые окружают фокусы. Центры постоянных-${\displaystyle \tau }$ сферы лежат вдоль ${\displaystyle z}$-ось, тогда как постоянная-${\displaystyle \sigma }$ торы центрированы в ${\displaystyle xy}$ самолет.

Обратные формулы

Формулы обратного преобразования:

${\displaystyle \sigma =\arccos \left({\dfrac {R^{2}-a^{2}}{Q}}\right)}$

${\displaystyle \tau =\operatorname {arsinh} \left({\dfrac {2az}{Q}}\right)}$

${\displaystyle \phi =\operatorname {atan} \left({\dfrac {y}{x}}\right)}$

куда ${\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ и ${\displaystyle Q={\sqrt {(R^{2}+a^{2})^{2}-(2az)^{2}}}.}$

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для бисферических координат ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle \tau }$ равны

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

тогда как коэффициент азимутального масштаба равен

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Таким образом, бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

а лапласиан равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ можно выразить в координатах ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Приложения

Классические приложения бисферических координат заключаются в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа, для которых бисферические координаты позволяют разделение переменных. Тем не менее Уравнение Гельмгольца не разделима в бисферических координатах. Типичным примером может служить электрическое поле окружающие две проводящие сферы разного радиуса.

Рекомендации

Библиография

• Морзе PM, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 665–666.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 182. LCCN  59014456.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 113. ISBN  0-86720-293-9.
• Moon PH, Спенсер DE (1988). «Бисферические координаты (η, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 110–112 (Раздел IV, E4Rx). ISBN  0-387-02732-7.

внешняя ссылка

• MathWorld описание бисферических координат