Биполярные координаты - Bipolar coordinates

Смотрите также: двухцентровые биполярные координаты

Биполярная система координат

Биполярные координаты являются двумерными ортогональный система координат на основе Аполлонические круги.^[1] Как ни странно, этот же термин иногда используется для двухцентровые биполярные координаты. Также существует третья система, основанная на двух полюсах (двуугольные координаты ).

Термин «биполярный» иногда используется для описания других кривых, имеющих две особые точки (фокусы), таких как эллипсы, гиперболы, и Кассини овалы. Однако срок биполярные координаты зарезервирован для координат, описанных здесь, и никогда не используется для систем, связанных с этими другими кривыми, такими как эллиптические координаты.

Геометрическая интерпретация биполярных координат. Угол σ образован двумя фокусами и точкой п, в то время как τ - логарифм отношения расстояний до фокусов. Соответствующие кружки постоянной σ и τ показаны красным и синим цветом соответственно и пересекаются под прямым углом (пурпурный прямоугольник); они ортогональны.

Определение

Система основана на двух фокусы F₁ и F₂. Ссылаясь на рисунок справа, σ-координата точки п равен углу F₁ п F₂, а τ-координата равна натуральный логарифм отношения расстояний d₁ и d₂:

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

Если в декартовой системе фокусы расположены в (-а, 0) и (а, 0) координаты точки п находятся

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Координата τ колеблется от ${\displaystyle -\infty }$ (для точек, близких к F₁) к ${\displaystyle \infty }$ (для точек, близких к F₂). Координата σ определяется только по модулю 2π, и лучше всего принимать его в диапазоне от -π к π, приняв его как отрицательное значение острого угла F₁ п F₂ если п находится в нижней полуплоскости.

Доказательство ортогональности системы координат

Уравнения для Икс и у можно объединить, чтобы дать

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right).}$^[2][3]

(Это можно доказать, сначала дифференцируя x и y относительно сигмы и тау, а затем изменив логику приведенного ниже раздела для нахождения масштабных коэффициентов.) Это уравнение показывает, что σ и τ - действительная и мнимая части аналитической функции x + iy (с логарифмическими точками ветвления в фокусах), что в свою очередь доказывает (обращаясь к общей теории конформное отображение ) ( Уравнения Коши-Римана ), что эти конкретные кривые σ и τ пересекаются под прямым углом, т.е. что система координат ортогональна. Это можно доказать, сначала дифференцируя x и y относительно сигмы и тау, а затем обращая логику раздела ниже для нахождения масштабных коэффициентов.

Кривые постоянной σ и τ

Кривые постоянной σ соответствуют неконцентрическим окружностям

${\displaystyle x^{2}+\left(y-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

которые пересекаются в двух фокусах. Центры постоянных-σ круги лежат на у-ось. Круги позитива σ сосредоточены над Икс-оси, тогда как отрицательные σ лежат ниже оси. Как величина |σ|- π/ 2 уменьшается, радиус окружностей уменьшается, а центр приближается к началу координат (0, 0), что достигается при |σ| = π/ 2. (Исходя из элементарной геометрии, все треугольники на окружности с двумя вершинами на противоположных концах диаметра являются прямоугольными треугольниками.)

Кривые постоянной ${\displaystyle \tau }$ непересекающиеся окружности разного радиуса

${\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

которые окружают фокусы, но опять же не концентрически. Центры постоянных-τ круги лежат на Икс-ось. Круги позитива τ лежат в правой части плоскости (Икс > 0), а кружки отрицательного τ лежат в левой части плоскости (Икс <0). В τ = 0 кривая соответствует у-ось (Икс = 0). Поскольку величина τ увеличивается, радиус кругов уменьшается, а их центры приближаются к фокусам.

Взаимные отношения

Переход от декартовых координат к биполярным координатам можно осуществить по следующим формулам:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}$

и

${\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

У координат также есть тождества:

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}$

и

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.}$

что является пределом, который можно получить x = 0 из определения в разделе выше. А при x = 0 все ограничения выглядят вполне обыденно.

Коэффициенты масштабирования

Чтобы получить масштабные коэффициенты для биполярных координат, возьмем дифференциал уравнения для ${\displaystyle x+iy}$, который дает

${\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).}$

Умножение этого уравнения на его комплексно сопряженное дает

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Используя тригонометрические тождества для произведений синусов и косинусов, получаем

${\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,}$

откуда следует, что

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Следовательно, масштабные коэффициенты для σ и τ равны, и задаются

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Многие результаты теперь быстро следуют из общих формул для ортогональные координаты Таким образом, элемент бесконечно малой площади равен

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau ,}$

и Лапласиан дан кем-то

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

Выражения для ${\displaystyle \nabla f}$, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$, и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ может быть выражено путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Приложения

Классические приложения биполярных координат заключаются в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца, для которых биполярные координаты позволяют разделение переменных. Примером может служить электрическое поле окружающие два параллельных цилиндрических проводника неравных диаметров.

Полярные плоттеры используйте биполярные координаты для описания путей рисования, необходимых для рисования целевого изображения.

Расширение до 3-х измерений

Биполярные координаты составляют основу нескольких наборов трехмерных ортогональные координаты.

• В биполярные цилиндрические координаты производятся переносом биполярных координат вдоль z- ось, то есть ось вне плоскости.

• В бисферические координаты производятся вращением биполярных координат вокруг Икс-ось, т.е. ось, соединяющая фокусы.

• В тороидальные координаты производятся вращением биполярных координат вокруг у- ось, т. е. ось, разделяющая фокусы.

Рекомендации

1. Эрик В. Вайсштейн, Компакт-диск с краткой энциклопедией математики, Биполярные координаты, CD-ROM edition 1.0, 20 мая 1999 г. В архиве 12 декабря 2007 г. Wayback Machine
2. Полянин, Андрей Дмитриевич (2002). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых. CRC Press. п. 476. ISBN  1-58488-299-9.
3. Хаппель, Джон; Бреннер, Ховард (1983). Гидродинамика с низким числом Рейнольдса: для специальных применений в средах с твердыми частицами. Механика жидкостей и транспортных процессов. 1. Springer. п. 497. ISBN  978-90-247-2877-0.

• «Биполярные координаты», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Korn GA и Korn TM. (1961) Математический справочник для ученых и инженеров, Макгроу-Хилл.