Эллиптические цилиндрические координаты - Elliptic cylindrical coordinates - Wikipedia

Координатные поверхности эллиптических цилиндрических координат. Желтый лист - это призма полугиперболы, соответствующей ν = -45 °, а красная трубка - это эллиптическая призма, соответствующая μ = 1. Синий лист соответствует z= 1. Три поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой) с Декартовы координаты примерно (2,182, -1,661, 1,0). Фокусы эллипса и гиперболы лежат на Икс = ±2.0.

Эллиптические цилиндрические координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате проецирования двухмерного эллиптическая система координат в перпендикулярном ${\displaystyle z}$-направление. Следовательно координатные поверхности находятся призмы конфокального эллипсы и гиперболы. Два фокусы ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ обычно считаются фиксированными на ${\displaystyle -a}$ и${\displaystyle +a}$соответственно на ${\displaystyle x}$ось Декартова система координат.

Основное определение

Наиболее распространенное определение эллиптических цилиндрических координат ${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$ является

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$

${\displaystyle z=z}$

куда ${\displaystyle \mu }$ неотрицательное действительное число и ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ]}$.

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическая идентичность

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

показывает, что кривые постоянного ${\displaystyle \mu }$ форма эллипсы, тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

показывает, что кривые постоянного ${\displaystyle \nu }$ форма гиперболы.

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для эллиптических цилиндрических координат ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ равны

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

тогда как оставшийся коэффициент масштабирования ${\displaystyle h_{z}=1}$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}$

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ можно выразить в координатах ${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Альтернативное определение

Альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптических координат ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ иногда используются, где ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ и ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$. Следовательно, кривые постоянного ${\displaystyle \sigma }$ эллипсы, а кривые постоянной ${\displaystyle \tau }$ являются гиперболами. Координата ${\displaystyle \tau }$ должен принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как ${\displaystyle \sigma }$ координата должна быть больше или равна единице.

Координаты ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ имеют простое отношение к расстояниям до фокусов ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$. Для любой точки на плоскости (x, y) сумма ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ расстояний до очагов равно ${\displaystyle 2a\sigma }$, а их разница ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ равно ${\displaystyle 2a\tau }$Таким образом, расстояние до ${\displaystyle F_{1}}$ является ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, а расстояние до ${\displaystyle F_{2}}$ является ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$. (Напомним, что ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ расположены в ${\displaystyle x=-a}$ и ${\displaystyle x=+a}$, соответственно.)

Недостатком этих координат является то, что они не имеют преобразования 1 к 1 для Декартовы координаты

${\displaystyle x=a\sigma \tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ находятся

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

и, конечно же, ${\displaystyle h_{z}=1}$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема становится

${\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}$

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ можно выразить в координатах ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Приложения

Классические приложения эллиптических цилиндрических координат заключаются в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца, для которых эллиптические цилиндрические координаты допускают разделение переменных. Типичным примером может служить электрическое поле окружает плоскую проводящую пластину шириной ${\displaystyle 2a}$.

Трехмерный волновое уравнение, выраженная в эллиптических цилиндрических координатах, может быть решена путем разделения переменных, что приводит к Дифференциальные уравнения Матьё.

Также могут быть полезны геометрические свойства эллиптических координат. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle \mathbf {q} }$ эта сумма к фиксированному вектору ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$, где подынтегральное выражение зависело от длин векторов ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ и ${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$. (В таком случае можно было бы разместить ${\displaystyle \mathbf {r} }$ между двумя фокусами и выровнен с ${\displaystyle x}$-ось, т.е. ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$.) Для конкретности, ${\displaystyle \mathbf {r} }$, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle \mathbf {q} }$ может представлять импульсы частицы и продуктов ее разложения, соответственно, и подынтегральное выражение может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов).

Библиография

• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 657. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.182 –183. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 179. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 97. LCCN  67025285.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN  0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k для ξ_k.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Координаты эллиптического цилиндра (η, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 17–20 (таблица 1.03). ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание эллиптических цилиндрических координат